Học lượng giác rất dễ

 ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 1 A. CÔNG TH I. CÔNG THC LG 1. H thn     +   a = 1    = 1 -   a ( hoặc   a =1 -    )     ;     ;  . =   .   =1  1+   =     ; 1+   =     2. Công thc cng         =   ;        =          =   ;      =   3. Công thc bii tng thành tích   a b a b cosa cosb 2cos .cos 22 +- += ; a b a b cosa cosb 2sin .sin 22 +- - = -   a b a b sin a sin b 2sin .cos 22 +- += ; a b a b sin a sin b 2cos .sin 22 +- -=       ;        Công thc b sung: +)                +)                4. Công thc bii tích thành tng   ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 2                                                             5. Công th  ( ) ( ) 22 sin 2a 2sin a.cosa sin a cosa 1 1 sin a cosa= = + - = - -  2 2 2 2 cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a= - = - = -         ;          3 sin 3a 3sin a 4sin a=- ; 3 cos3a 4cos a 3cosa=- 5. Công thc h bc  2 2 2 1 cos2a cot g a cos a 2 1 cot g a + == + ; 2 2 2 1 cos2a tg a sin a 2 1 tg a - == + IIN    , đk: -1a Đặt a = sin ta có:       , k  ng hc bit:       ;       +       +    , đk: -1a Đặt a = cos ta có: , k   ng hc bit:    +;  ;        ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 3    , a (   +) Đặt a = tan ta có: , k ng hc bit: ;    +;    +    , a () Đặt a = cot  ta có: , k ng hc bit:    +;    +;    +  1. PT thun nht bc nhi vi sin và cos ( PT c n )   ; điều kiện: 2 2 2 0a b c (1) Cách gii : Chia hai vế của pt (1) cho 22 ab ta được : 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c xx a b a b a b     (*) Với 22 a ab  = sin  ; 22 b ab  = cos  ; 22 c ab  = cos  (*)  cosx. cos  + sinx. sin  = cos   cos( x -  ) = cos   2 2 xk xk                  2 2 xk xk                Chú ý 1:(1) có nghiệm  2 2 2 0a b c ( hay         ) Chú ý 2: Thường áp dụng các công thức sau:        =   ;        =     ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 4 Ví d mu: Gii các PT sau: VD1:    (1) Gii: Nhận thấy          nên PT đã cho có nghiệm. Chia 2 vế của PT cho 22 ab =          ta có: (1)                       =                             ’ với k ậy        ’ với k Chú ý: Có thể đưa về hàm sin bằng cách giải 2 là: (1)                       =                              ’ với k ậy           ’ với k VD2:     (2) Gii: Nhận thấy            nên PT đã cho có nghiệm. Chia 2 vế của PT cho 22 ab =          ta có: (2)                      =                             ’ với k  ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 5 ậy        ’ với k VD3:    (3) Gii: Nhận thấy          nên PT đã cho có nghiệm. Chia 2 vế của PT cho 22 ab =        ta có: (3)           Vì      +     =1 nên đặt cos =   , sin=   Thì PT (3) tương đương (3)  cos            =    ậy                   ’ với k VD4:             (4) ( Đề ĐH Khối D 2007 ) Gii: Ta có:          =    + 2      +     = 1+  PT đã cho tương đương với (4)  1+                                                     Vậy            ’ với k VD5:       (5) Gii: Nhận thấy              nên PT đã cho có nghiệm.  ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 6 Chia 2 vế của PT cho 22 ab =          ta có: (5)                     =     =                              ’ với k                       ,với k Vậy           ,với k BÀI TP T LUYN (BTTL) 1).       2). 2 =  +    3).    +  =   4). (     - (          = 0 5).          6).  -    - 7).    =  8). +    =   ng cp bc hai vi sinx và cosx  Dng PT:           (2) Cách gii : Cách 1 * Xét cosx = 0 2 xk       sin 2 x = 1 (2)  a = d (*) + Nếu (*) đúng thì 2 xk    là nghiệm của (2)  ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 7 + Nếu (*) không đúng thì 2 xk    không là nghiệm của (2) * Xét cosx  0 Chia hai vế của pt (2) cho cos 2 x ta đưa pt (2) về dạng : A.tan 2 x + B.tanx + C = 0 .Đến đây ta giải pt bậc hai theo tan . Cách 2 Ta có : a.sin 2 x + b.sinx.cosx + c.cos 2 x = d (*) Dùng các công thức : 2.sin .cos sin2x x x , 22 1 cos2 1 cos2 cos ,sin 22 xx xx   Đưa (*) về dạng : .sin2 os2A x Bc x C Đến đây ta giải phương trình thuần nhất bậc nhất đối với sin và cos Ví d mu: Gii các PT sau: VD1:    -       (1) Vì  = 0 không phải là nghiệm nên chia cả 2 vế của (1) cho    ta được: (1)1- 2            Đặt t = tan ta có PT:            Với t = 0  , , với k Với t =         , với k VD2:          (2) Gii: Ta có (1)sin(            - sin   +      = 0           = 0          ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 8 (2.1)      , với k (2.2)              = 0 (               +2 = 0 (Vì        Vậy PT có nghiệm là:      , với k 3i xng Gồm 2 dạng sau:    +  +  = 0    +  +  = 0 c 1.                                                , với t      Biến đổi đưa về PT bậc 2 ẩn t. c 2. Giải PT bậc 2 ẩn t. Từ đó suy ra nghiệm . Chú ý: Điều kiện t      để loại nghiệm Ví d mu: Gii các PT sau: VD1.   - – 3 = 0 (1) Gii: Đặt sin + cos =      , với t      (*)    = 1+2           PT được viết thành: (1)       – 3 = 0                Với  thì:       = 1      =    =                                , k   ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 9 Vậy nghiệm của PT là: ,     , với k  VD2. -1 +    +    =   .sin2 (2) (2)  -1 +          =   .sin2 Đặt sin + cos =      , với t      Thì   = 1+2           . Vậy PT (2) trở thành: (2)  -1 + t.       =          -2 + t.       = 3          - 3  – 3 – 1 = 0              = 0            Với t = 1 thì       = 1          =                              , k   Với t =     thì       =                =                                   , k  , với      =  Vậy PT đã cho có 4 họ nghiệm:     ,      ,       , k  , với      =  VD3.     =  +  (3) Điều kiện:      Lúc đó (3) tương đương với: (3)      =   +        =       =    ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 10 Đặt sin + cos =      , với t      và    1 ( do mẫu phải ) Thì   = 1+2           . Vậy PT (3) trở thành: (3)    =         -  - 2 = 0 ( hiển nhiên t = 1 không là nghiệm )                 = 0            Với                               , k   Vậy nghiệm của PT là :      , k                   Điều kiện:   0 Lúc đó PT (4) tương đương với              +   – 1 = 0               -                                    -                                                              = 0                                                                                                           [...]... GIẢI PTLG I DẠNG 1: SỬ DỤNG TRỰC TIẾP P G CƠ BẢN P ƣơng p áp: Dùng một số phép biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: ( ( ) )( ) √ ( Đề ĐH Khối A 2009 ) Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 11 H c n p n H c Giải: Điều kiện: sin C uyên đề: ƣợng Giác và sin (*) Với điều kiện trên PT đã cho tương đương: ( cos √ x= = sin2x + √ cos2x hoặc x = ) √ ( ) = cos(... H c + sinx C uyên đề: ƣợng Giác =4 [ ), thỏa điều kiện (1) (Với k sinx + cosx = √ Giải PT ) = √ cos9x √ cos( cos9x = cos( [ ) ( [ ) ( ) , Với k 2sin4x = sinx + √ Giải PT sin4x = sin4x = sin( [ ( + √ cosx ) ,k ) [ ,k sin5x + 2 Giải PT =1 ( Đề ĐH Khối B 2013 ) sin5x + cos2x = 0 cos( 5x + )= cos2x Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 13 H c n p n H c [ C uyên đề: ƣợng Giác ,k [ ,k ) 2(cosx + √... =0 [ ,( ( ) ) Đối chiếu điều kiện (*), PT đã cho có nghiệm là: Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 20 H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác ) ,( ( Đề ĐH Khối A 2005 ) Giải: PT đã cho tương đương với: ( ( ) ( ) ( ) )= 0 cos8x + cos4x – 2 = 0 [ (them bớt 1 lượng) + cos4x – 3 = 0 ( hạ bậc cos8x ) (loại) Vậy cos4x = 1 x=k ) ,( ( Đề ĐH Khối B 2003 ) Giải: Điều kiện , (*) Với điều kiện trên PT tương... phép biến đổi đế nhóm các thừa số chung lại với nhau tạo thành 1 PT tích Chú ý : Giả sử PT tích số có dạng: Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc ( ) ( ) ( ) ( ) 14 H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác P ƣơng p áp g ải: Một tích số bằng 0 thì phải có ít một thừa số bằng 0 Do đó: ( ) [ ( ) ( ) (*) ( ) ( ) ( ) Ta lần lươt giải các PT (1), (2), … , (n) Hợp các tập nghiệm của n PT này là tập nghiệm... nghiệm thứ hai ( chỉ có 3 họ nghiệm: [ ) chứa trong tập nghiệm thứ nhất ( ) Nên PT ,k Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 15 H c n p n H c ( 1 + tanx = 2√ Giải: Điều kiện: cosx C uyên đề: ƣợng Giác ) ( Đề ĐH Khối A 2013 ) Phương trình đã cho tương đương với: 1 + = 2(sinx + cosx) cosx + sinx = 2cosx(sinx+cosx) = 0 (sinx + cosx)(2cosx - 1) = 0 ( ) [ ( ) PT (1) ( √ )=0 PT (2) =k x= x=- , với k... sinx = 0 Giải: PT đã cho tương đương với: – sinx =0 2cos2x.sinx + cos2x = 0 cos2x.(2sinx + 1) = 0 [ PT (1) ( ) ( ) x= , (k ) Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 16 H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác [ PT (2) ) , (k Vậy nghiệm của PT đã cho là: x = , ) , (k , và ( Đề ĐH Khối B 2011 ) + sinx + cosx Giải: PT đã cho tương đương với: 2 + sinx + cosx ) (2 sinx(2 + sinx + cosx ) sinx(cos2x + sinx +... Khối D 2012 ) √ cos2x.(2sinx + 2cosx - √ ) = 0 [ √ ( ) ( ) Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 17 H c n p n H c PT (1) 2x = +k PT (2) sinx + cosx = ) ( x= cos(x - ) √ ) ( [ C uyên đề: ƣợng Giác Vậy các nghiệm của PT là: x = √ Giải: Điều kiện: sinx ) ( , ( Đề ĐH Khối A 2011 ) 0 (*) Nhận xét: = 2√ Do đó PT đã cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x ) ) 1 sin2x + cos2x = 2√ cosx ( do sinx... với: sin2x + 2cosx – sinx -1 = 0 2sinx.cosx +2cosx – sinx -1 = 0 2cosx(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0 (sinx + 1)( 2cosx – 1) = 0 Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 18 H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác ( ) ( ) [ ) ( + PT (1) ) ( + PT (2) Đối chiếu điều kiện (*), vậy nghiệm của PT đã cho là: ) ( + BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 ( 2) (ĐS: x = ) x= (ĐS: x = 3) 3 – tanx(tanx... x Cách 1: PT đã cho tương đương với: 2 + =2 2 ) 2(1 + cos2x = 0 + +1–1=0 2x = = +1( [ x= ( Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc ạ ) –1=0 ) 19 H c n p n H c Chú ý : Đối với PT C uyên đề: ƣợng Giác ta không nên giải trực tiếp theo PT bậc hai vì khi giải có tới 4 nghiệm khi so sánh với điều kiện sẽ phức tạp, ( dĩ nhiên cũng có thể giải như vậy sau đó so sánhvới điều kiện ) Cách 1: PT đã cho tương...H c n p n H c C uyên đề: ƣợng Giác ( ( ( [ ) ) ) , k (4.1) ( √ (4.2) ) ,k Xét PT (4.3): Đặt ( sin + cos = √ ), ( = 1+2 Thì [ √ với t √ ] và 1 ) Vậy PT (4.3) trở thành: + √ ( √ [ ( Vậy √ ) ) ( ) ( √ √ ) √ ,k Vậy PT đã cho có các họ . 1: S DNG TRC TIN  Dùng một số phép biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải Ví d mu: Gii các PT sau:             . bii tích thành tng   ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 2           .        ng Giác Truy cập: www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc 3    , a (   +)