B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 1 1.SỐGIẢNGUYÊNTỐ. 1. 1. 1. 1.1. 1. 1. 1.Đị Đị Đị Định nh nh nhl l l lý ý ý ýnh nh nh nhỏ ỏ ỏ ỏFermat: Fermat: Fermat: Fermat: Nếuplàmộtsốnguyêntốvàakhôngchiahếtchopthìa p-1 ≡ 1(modp). Ch Ch Ch Chứ ứ ứ ứng ng ng ngminh minh minh minh.Xéthệ(p-1)sốnguyêna,2a, ,(p-1)a.Cácsốnàyđềukhôngchia hếtchopvàđôimộtkhôngđồngdưvớinhautheomodulop.Xéthệthặngdư dươngbénhấtmoduloplà1,2, ,p-1. Ta có:a.2a (p-1)a ≡ (p-1)!(modp), Tứclàa p-1 (p-1)! ≡ (p-1)!(modp)do((p-1)!,p)=1nêntacóa p-1 ≡ 1(modp). 1. 1. 1. 1.2. 2. 2. 2.S S S Số ố ố ốgi gi gi giả ả ả ảnguy nguy nguy nguyê ê ê ên n n nt t t tố ố ố ố. . . . ĐịnhlýnhỏFermatkhẳngđịnhvớimọisốnguyêntốpvàmọisốtựnhiêna; tacó: . Nếumệnhđềtươngtựđúngvớihợpsố n vàvớisốtựnhiên a nàođó: thìnđượcgọilàsốgiảnguyêntốcơsở a . 1.3. 1.3. 1.3. 1.3.Đị Đị Đị Định nh nh nhngh ngh ngh nghĩ ĩ ĩ ĩa a a aalàmộtsốtựnhiênchotrước,hợpsốnthỏamãn . Thìnlàsốgiảnguyêntốcơsởa. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ. . . .Sốnguyên341làmộtsốgiảnguyêntốsơsở2.Thậtvậ y, tacó341=11.31 nên341làhợpsố,và(11,2)=1,(31,2)=1.ÁpdụngđịnhlýnhỏFermatcó: 2 10 ≡ 1(mod11)suyra2 340 ≡ 1(mod11); 2 30 ≡ 1(mod31)nên2 330 ≡ 1(mod31). Mặtkhác2 5 ≡ 1(mod31)nên2 10 ≡ 1(mod31)suyra2 340 ≡ 1(mod31). Vậy2 340 ≡ 1(mod341).Nên341làmộtsốgiảnguyêntốcơsở2. Nh Nh Nh Nhậ ậ ậ ận n n nx x x xé é é ét: t: t: t:341làsốgiảnguyêntốcơsở2nhỏnhất. Bằngcáchtươngtựtacũngcó561làmộtsốgiảnguyêntốcơsở2. Thậtvậycó561=3.11.17nênlàmộthợpsốvà(3,2)=(11,2)=(17,2)=1do đóápdụngđịnhlýnhỏFermatcó: 2 2 ≡ 1(mod3)⇒2 560 ≡ 1(mod3) B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 2 2 10 ≡ 1(mod11) ⇒ 2 560 ≡ 1(mod11). 2 16 ≡ 1(mod17) ⇒ 2 560 ≡ 1(mod17). Vậy2 560 ≡ 1(mod561) ⇒ 561làsốgiảnguyêntốcơsở2. 1.3.1. 1.3.1. 1.3.1. 1.3.1.Đị Đị Đị Định nh nh nhl l l lý ý ý ý. . . .Cóvôsốsốgiảnguyêntốcơsở2. Ch Ch Ch Chứ ứ ứ ứng ng ng ngminh. minh. minh. minh. Giảsửnlàmộtsốgiảnguyêntốcơsở2,tasẽchứngminh2 n -1cũnglàsốgiả nguyêntốcơsở2.Theogiảthiếtnlàsốgiảnguyêntốcơsở2nênnlàhợpsố,suy ratồntạihaisốtựnhiênp,qsaocho1<p,q<nsaochon=pq. Và2 n-1 ≡ 1(modn) Ta có:m=2 n -1=2 pq -1=(2 p -1)(2 p(q-1) +2 p(q-2) + +1). Nênmlàhợpsố. Donlàsốgiảnguyêntốcơsở2nên2 n ≡ 2(modn) ⇒ 2 n -2 ≡ 0(modn) ⇒ 2 p -2=kn. Màm=2 n -1nênm-1=2 p -2=kn ⇒ 2 m-1 =2 kn . ⇒ 2 m-1 -1=2 kn -1=(2 n -1)(2 n(k-1) +2 n(k-2) + +1). ⇒ 2 m-1 -1=m(2 n(k-1) +2 n(k-2) + +1). ⇒ mlàướccủa2 m-1 -1nên2 m-1 -1 ≡ 0(modm) ⇒ 2 m-1 ≡ 1(modm).Vậymlà sốgiảnguyêntốcơsở2. 1.4. 1.4. 1.4. 1.4.S S S Số ố ố ốCarmichael. Carmichael. Carmichael. Carmichael. 1.4.1. 1.4.1. 1.4.1. 1.4.1.Đị Đị Đị Định nh nh nhngh ngh ngh nghĩ ĩ ĩ ĩa. a. a. a.Hợpsốnthỏamãnđồngdưthứcb n-1 ≡ 1(modn)vớimọisố nguyêndươngbsaocho(n,b)=1đượcgọilàsốCarmichael. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ: : : :Số561=3.11.17làsốCarmichael. Thậtvậyvớimọisốnguyêndươngb saocho(b,561)thì(b,3)=(b,11)=(b,17)=1ápdụngđịnhlýnhỏFermattacó b 2 ≡ 1(mod3) ⇒ b 560 ≡ 1(mod3); b 10 ≡ 1(mod11) ⇒ b 560 ≡ 1(mod11); b 16 ≡ 1(mod17 ⇒ b 560 ≡ 1(mod17) nênb 560 ≡ 1(mod561)Vậy561làsốCarmichael. 1.4.2. 1.4.2. 1.4.2. 1.4.2.Đị Đị Đị Định nh nh nhl l l lý ý ý ý. . . .SốtựnhiênnlàsốCarmichaelkhivàchỉkhin=q 1 q 2 q n ,trongđó B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 3 q j ,(j=1,2 n)làcácsốnguyêntốkhácnhauthỏamãnq j -1làướccủan-1. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ: : : :561=3.11.17và(3-1);(11-1);(17-1)làướccủa560nên561làsố Carmichael. Tươngtự1729=7.13.19có(7-1);(13-1);(19-1)làướccủa1728nên1729làsố Carmichael. Số6601=7.23.41có(7-1);(23-1);(41-1)làướccủa6600nên6601làsố Carmichael V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ: : : :Nếu6m+1,12m+1,18m+1đềulàsốnguyêntốthìN= (6m+1)(12m+1)(18m+1)làsốCarmichael. Thậtvậyđặtp=6m+1thì12m+1=2p-1;18m+1=3p-2khiđótacóp;2p-1; 3p-2làcácsốnguyêntốvàN=p(2p-1)(3p-2). N-1=6p 3 -7p 2 +2p-1=(p-1)(6p 2 -p+1),Vậyp-1làướccủaN-1. Mặtkháccó 6p 2 ≡ 0(mod2); Vìplàsốnguyêntốlớnhơn2nên-p ≡ -1(mod2)nên-p+1 ≡ 0(mod2). Vậy6p 2 -p+1 ≡ 0(mod2)suyra2p-1-1=2(p-1)làướccủaN-1. 6p 2 ≡ 0(mod3) p=6m+1 ≡ 1(mod3)nên-p ≡ -1(mod3) ⇒ -p+1 ≡ 0(mod3) Vậy6p 2 -p+1 ≡ 0(mod3)suyra3p-2-1=3(p-1)làướccủaN-1 N=(6m+1)(12m+1)(18m+1)làsốCarmichael. Tươngtựtacó:1729=7.13.19=(6.1+1)(12.1+1)(18.1+1)nên1729làsố Carmicheal. 294409=37.73.109=(6.6+1)(12.6+1)(18.6+1)nên294409làsốCarmichael. 1.4.3. 1.4.3. 1.4.3. 1.4.3.Đị Đị Đị Định nh nh nhl l l lý ý ý ý. . . .TồntạivôhạnsốCarmichael. 1.4.4. 1.4.4. 1.4.4. 1.4.4.Đị Đị Đị Định nh nh nhL L L Lý ý ý ý. . . .Giảsửn=q 1 q 2 q k ,trongđóq j ,(j=1,2 n)làcácsốnguyêntố khácnhauvànlàsốCarmichaelkhiđók ≥ 3. Ch Ch Ch Chứ ứ ứ ứng ng ng ngminh. minh. minh. minh. Ta chứngminhbằngphảnchứng.Giảsửn=pq,p<q.Vìnlàsố Carmicheal,theođịnhlý4.2tacón-1 ≡ 0(mod(q-1)) B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 4 Mặtkhácn-1=p(q-1+1)-1=p(q-1)+(p-1) ≡ 0(mod(q-1)) Dođóq-1làướcp-1điềunàytráivớigiảthiếtp<q. Vậygiảsửsainênk ≥ 3 Nh Nh Nh Nhậ ậ ậ ận n n nx x x xé é é ét t t t:561làsốCarmichaelnhỏnhất. 1.5. 1.5. 1.5. 1.5.Ki Ki Ki Kiể ể ể ểm m m mtra tra tra traMiller. Miller. Miller. Miller. Giảsửnlàsốnguyêndươnglẻ,n-1=2 s .ttrongđóslàsốnguyênkhôngâmt làsốnguyênlẻ. Ta nóintrảiquađượckiểmtraMillercơsởbnếu: hoặcb t ≡ 1(modn)hoặc t j b 2 ≡ -1(modn)vớijnàođó( 1 0− ≤ ≤ s j ). 1.6. 1.6. 1.6. 1.6.S S S Số ố ố ốgi gi gi giả ả ả ảnguy nguy nguy nguyê ê ê ên n n nt t t tố ố ố ốm m m mạ ạ ạ ạnh. nh. nh. nh. 1.6.1. 1.6.1. 1.6.1. 1.6.1.Đị Đị Đị Định nh nh nhngh ngh ngh nghĩ ĩ ĩ ĩa: a: a: a:Sốnguyênnđượcgọilàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởbnếunó làhợpsốvàtrảiquađượckiểmtraMillercơsởb. 1.6.2. 1.6.2. 1.6.2. 1.6.2.Đị Đị Đị Định nh nh nhl l l lý ý ý ý. . . .Tồntạivôsốsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2 Ch Ch Ch Chứ ứ ứ ứng ng ng ngminh. minh. minh. minh.Giảsửnlàsốgiảnguyêntốcơsở2tasẽchứngminhN=2 n -1là sốgiảnguyêntốmạnhcơsở2. Thậtvậynlàsốgiảnguyêntốcơsở2nên2 n-1 ≡ 1(modn) ⇒ 2 n-1 -1 ≡ 0(modn). Ta có2 n-1 -1=nk. Mặtkhácnlàhợpsốnênn=dt KhiđóN=2 n -1=2 dt -1=(2 d -1)(2 d(t-1) +2 d(t-2) + +1).Nên2 d -1làướccủaN nênNlàhợpsố. N-1=2 n -2=2(2 n-1 -1)=2nk ⇒ 2 1 2 − N =2 nk = k n ) 2(≡ 1(modN).(theo chứngminhtồntạivôsốsốgiảnguyêntốcơsở2) Vậyvớimọisốgiảnguyêntốncơsở2thìN=2 n -1làmộtsốgiảnguyêntố mạnhcơsở2,màdonlàvôsốnênNlàvôsố. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ. . . .CMR2047làsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2. Ta có:2047làsốlẻvà2047=23.89 2047-1=2046=2.3.11.31=2 1 (3.11.31). Do2 11 =2048 ≡ 1(mod2047)nên ) 2047 (mod1 31. 3 ) 11 2(≡ B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 5 ⇒ 2 3.11.31 ≡ 1(mod2047).Vậy2047làsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2. 1.6.3. 1.6.3. 1.6.3. 1.6.3.Đị Đị Đị Định nh nh nhl l l lý ý ý ý: : : : Mọisốgiảnguyêntốmạnhcơsở2đềulàsốgiảnguyêntốcơsở2. B B B BẢ Ả Ả ẢNG NG NG NGC C C CÁ Á Á ÁC C C CS S S SỐ Ố Ố ỐGI GI GI GIẢ Ả Ả ẢNGUY NGUY NGUY NGUYÊ Ê Ê ÊN N N NT T T TỐ Ố Ố ỐC C C CƠ Ơ Ơ ƠS S S SỞ Ở Ở Ở2 2 2 2(60số) (CácsốinđậmlàsốCarmichael). 34111·31 561 561 561 5613·11·17 6453·5·43 1105 1105 1105 11055·13·17 138719·73 1729 1729 1729 17297·13·19 19053·5·127 204723·89 2465 2465 2465 24655·17·29 270137·73 2821 2821 2821 28217·13·31 327729·113 403337·109 436917·257 43713·31·47 468131·151 546143·127 6601 6601 6601 66017·23·41 795773·109 832153·157 84813·11·257 8911 8911 8911 89117·19·67 10.26131·331 10.585 10.585 10.585 10.5855·29·73 11.3055·7·17·19 12.8013·17·251 13.7417·13·151 13.74759·233 13.98111·31·41 14.49143·337 15.70923·683 15.841 15.841 15.841 15.8417·31·73 16.7055·13·257 18.7053·5·29·43 18.72197·193 19.95171·281 23.0013·11·17·41 33.1533·43·257 34.9455·29·241 35.33389·397 39.8655·7·17·67 41.041 41.041 41.041 41.0417·11·13·41 41.6655·13·641 42.799127·337 B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 6 23.37797·241 25.7613·31·277 29.341 29.341 29.341 29.34113·37·61 30.1217·13·331 30.88917·23·79 31.41789·353 31.60973·433 31.621103·307 46.657 46.657 46.657 46.65713·37·97 49.141157·313 49.981151·331 52.633 52.633 52.633 52.6337·73·103 55.2453·5·29·127 57.4217·13·631 60.701101·601 60.78789·683 (Tríchtừen.Wikipedia.org/wiki/Fermat_pseudoprime) B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 7 2. 2. 2. 2.TH TH TH THỰ Ự Ự ỰC C C CH H H HÀ À À ÀNH NH NH NHKI KI KI KIỂ Ể Ể ỂM M M MTRA TRA TRA TRAB B B BẰ Ằ Ằ ẰNG NG NG NGMAPLE. MAPLE. MAPLE. MAPLE. 2. 2. 2. 2.1. 1. 1. 1.Ki Ki Ki Kiể ể ể ểm m m mtra tra tra tras s s số ố ố ốgi gi gi giả ả ả ảnguy nguy nguy nguyê ê ê ên n n nt t t tố ố ố ố. . . . Đểkiểmtraxemsốncóphảilàsốgiảnguyêntốcơsởbkhông?. Trướctiêntakiểmtraxemncólàhợpsốkhôngbằnglệnh: [>isprime(n); [>isprime(n); [>isprime(n); [>isprime(n); ↵ Nếu true true true true thìnlàsốnguyêntố,khôngphảilàsốgiảnguyêntốcơsởb; Nếu false false false false nlàhợpsốthìtakiểmtrađiềukiệnb n -b ≡ 0(modn)bằnglệnh: [>is(b^n [>is(b^n [>is(b^n [>is(b^n- - - -b b b bmod mod mod modn n n n= = = =0); 0); 0); 0); ↵ Nếu true true true true thìnlàsốgiảnguyêntốcơsởb; Nếu false false false false nkhônglàsốgiảnguyêntốcơsởb Hoặclàsaukhikiểmtranlàhợpsốtacũngcókiểmtrađiềukiện b n -b ≡ 0(modn)bằnglệnh: [>b&^n [>b&^n [>b&^n [>b&^n- - - -b b b bmod mod mod modn n n n; ; ; ; ↵ Nếukếtquảlà0thìnlàsốgiảnguyêntốcơsởb. Nếukếtquảkhác0thìnkhônglàsốgiảnguyêntốcơsởb. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ. . . .Số561cólàsốgiảnguyêntốcơsở2không? [>isprime(561); ↵ False [is(2^561-2mod2=0); ↵ True Vậy561làsốgiảnguyêntốsơsở2. 2.2 2.2 2.2 2.2Ki Ki Ki Kiể ể ể ểm m m mtra tra tra tras s s số ố ố ốCarmichael. Carmichael. Carmichael. Carmichael. ĐểkiểmtrancólàsốCarmichealkhôngtathựchiện. B B B Bướ ướ ướ ước c c c1. 1. 1. 1.phântíchnthànhsốnguyêntốbằnglệnh: [>ifactor(n); [>ifactor(n); [>ifactor(n); [>ifactor(n); ↵ Nếunlàtíchcủak(k ≥ 3)thừasốnguyêntốkhácnhauthìtatiếptụcbước2. NgượclạinkhôngphảilàsốCarmichael. B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 8 B B B Bướ ướ ướ ước c c c2. 2. 2. 2.Lậpdanhsáchcácthừasốnguyêntốbằnglệnh: [>q:=[q [>q:=[q [>q:=[q [>q:=[q 1 1 1 1 ,q ,q ,q ,q 2 2 2 2 , ,q , ,q , ,q , ,q k k k k ]; ]; ]; ]; ↵ q:=[q 1 ,q 2 , ,q k ] B B B Bướ ướ ướ ước c c c3. 3. 3. 3.Tiếnhànhphépchian-1choq i -1bằnglệnh: [>[seq(irem(n [>[seq(irem(n [>[seq(irem(n [>[seq(irem(n-1, -1, -1, -1,q[i]-1,i=1 nops(q)))]; q[i]-1,i=1 nops(q)))]; q[i]-1,i=1 nops(q)))]; q[i]-1,i=1 nops(q)))]; ↵ Nếukếtquảlà[0,0, ,0]thìnlàsốCarmichael. Nếutồntạimộtthànhphầnkhác0thìnkhônglàsốCarmichael. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ. . . .Kiểmtraxem6601cólàsốCarmichaelkhông? [>ifactor(6601); ↵ (7)(23)(41) [>q:=[7,23,41]; ↵ q:=[7,23,41] [>[seq(irem(6600,q[i]-1,i=1 nops(q)))]; ↵ [0,0,0] Vậy6601làsốCarmichael. 2.3 2.3 2.3 2.3Ki Ki Ki Kiể ể ể ểm m m mtra tra tra tras s s số ố ố ốgi gi gi giả ả ả ảnguy nguy nguy nguyê ê ê ên n n nt t t tố ố ố ốm m m mạ ạ ạ ạnh. nh. nh. nh. Chonlàsốnguyêndươnglẻ,blàmộtsốtưnhiênchotrước.Đểkiểmtraxem ncólàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởbkhôngtathựchiệncácbướcsau. B B B Bướ ướ ướ ước c c c1. 1. 1. 1.Kiểmtranlàhợpsốbằnglệnh: [>isprime(n); [>isprime(n); [>isprime(n); [>isprime(n); ↵ Nếutrue true true truethìnkhônglàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởb. Nếufalse false false falsethìnlàhợpsố. B B B Bướ ướ ướ ước c c c2. 2. 2. 2.Phântíchn-1thànhthừasốnguyêntốbằnglệnh. [>ifactor(n-1); [>ifactor(n-1); [>ifactor(n-1); [>ifactor(n-1); ↵ Kếtquảthuđượclà2 s t(slàsốtựnhiênbấtkỳ) B B B Bướ ướ ướ ước c c c3. 3. 3. 3.Kiểmtrađiềukiệnb t -1 ≡ 0(modn),bằnglệnh [>is(b^t [>is(b^t [>is(b^t [>is(b^t- - - -1 1 1 1mod mod mod modn n n n= = = =0) 0) 0) 0); ; ; ; ↵ Nếukếtquảlàtrue true true truethìnlàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởb. B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 9 Nếukếtquảlàfalse false false falsetakiểmtrađiềukiện) (mod0 1 2 n t j b ≡ +vớij=0,1, ,s-1. Bằnglệnh[>seq(b&^((2^j)*t) [>seq(b&^((2^j)*t) [>seq(b&^((2^j)*t) [>seq(b&^((2^j)*t)+ + + +1 1 1 1mod mod mod modn, n, n, n,j=0, ,s-1); j=0, ,s-1); j=0, ,s-1); j=0, ,s-1); ↵ Nếukếtquảlàdãycácsốcómộtphầntửbằng0thìnlàsốgiảnguyêntốmạnhcơ sởb,ngượclạinkhônglàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởb. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ. . . .Kiểmtraxem2047cólàsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2không? [>isprime(2047); ↵ False [>ifactor(2046); ↵ (2)(3)(11)(31) [>2&^(3*11*31)-1mod2047=0;↵ True Vậy2047làsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ. . . .Kiểmtraxem25326001cólàsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2không? [>isprime(25326001); ↵ False [>ifactor(25326000); ↵ (2) 4 (3) 3 (5) 3 (7)(67) [>2&^(3^3*5^3*7*67)-1mod25326001=0; ↵ False [>seq(2&^((2 j )*3^3*5^3*7*67)+1mod25326001,j=0,1,2,3); ↵ 0,2,2,2 Vậy25326001làsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2. B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 10 T T T TÀ À À ÀI I I ILI LI LI LIỆ Ệ Ệ ỆU U U UTHAM THAM THAM THAMKH KH KH KHẢ Ả Ả ẢO O O O [1]HàHuyKhoái,PhạmHuyĐiển(2003),Sốhọcthuậttoán,NXBĐạihọcQuốc giaHàNội. [2]NguyễnThànhQuang(2011)Sốhọchiệnđại,TrườngĐạihọcVinh. . j ). 1.6. 1.6. 1.6. 1.6.S S S Số ố ố ốgi gi gi giả ả ả ảnguy nguy nguy nguyê ê ê ên n n nt t t tố ố ố ốm m m mạ ạ ạ ạnh. nh. nh. nh. 1.6.1. 1.6.1. 1.6.1. 1.6.1.Đị Đị Đị Định nh nh nhngh ngh ngh nghĩ ĩ ĩ ĩa: a: a: a:Sốnguyênnđượcgọilàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởbnếunó làhợpsốvàtrảiquađượckiểmtraMillercơsởb. 1.6.2. 1.6.2. 1.6.2. 1.6.2.Đị Đị Đị Định nh nh nhl l l lý ý ý ý. . . .Tồntạivôsốsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2 Ch Ch Ch Chứ ứ ứ ứng ng ng ngminh. minh. minh. minh.Giảsửnlàsốgiảnguyêntốcơsở2tasẽchứngminhN=2 n -1là sốgiảnguyêntốmạnhcơsở2. Thậtvậynlàsốgiảnguyêntốcơsở2nên2 n-1 ≡ 1(modn) ⇒ 2 n-1 -1 ≡ 0(modn). Ta có2 n-1 -1=nk. Mặtkhácnlàhợpsốnênn=dt KhiđóN=2 n -1=2 dt -1=(2 d -1)(2 d(t-1) +2 d(t-2) +. +1).Nên2 d -1làướccủaN nênNlàhợpsố. N-1=2 n -2=2(2 n-1 -1)=2nk ⇒ 2 1 2 − N =2 nk = k n ) 2(≡ 1(modN).(theo chứngminhtồntạivôsốsốgiảnguyêntốcơsở2) Vậyvớimọisốgiảnguyêntốncơsở2thìN=2 n -1làmộtsốgiảnguyêntố mạnhcơsở2,màdonlàvôsốnênNlàv số. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ. . . .CMR2047làsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2. Ta có:2047làsốlẻvà2047=23.89 2047-1=2046=2.3.11.31=2 1 (3.11.31). Do2 11 =2048 ≡ 1(mod2047)nên ). (p-1)a ≡ (p-1)!(modp), Tứclàa p-1 (p-1)! ≡ (p-1)!(modp)do((p-1)!,p)=1nêntacóa p-1 ≡ 1(modp). 1. 1. 1. 1.2. 2. 2. 2.S S S Số ố ố ốgi gi gi giả ả ả ảnguy nguy nguy nguyê ê ê ên n n nt t t tố ố ố ố. . . . ĐịnhlýnhỏFermatkhẳngđịnhvớimọisốnguyêntốpvàmọisốtựnhiêna; tacó: . Nếumệnhđềtươngtựđúngvớihợpsố n vàvớisốtựnhiên a nàođó: thìnđượcgọilàsốgiảnguyêntốcơsở a . 1.3. 1.3. 1.3. 1.3.Đị Đị Đị Định nh nh nhngh ngh ngh nghĩ ĩ ĩ ĩa a a aalàmộtsốtựnhiênchotrước,hợpsốnthỏamãn . Thìnlàsốgiảnguyêntốcơsởa. V V V Ví í í íd d d dụ ụ ụ ụ. . . .S nguyên3 41làmộtsốgiảnguyêntốsơsở2.Thậtvậ y, tacó341=11.31 nên341làhợpsố,và(11,2)=1,(31,2)=1.ÁpdụngđịnhlýnhỏFermatcó: 2 10 ≡ 1(mod11)suyra2 340 ≡ 1(mod11); 2 30 ≡ 1(mod31)nên2 330 ≡ 1(mod31). Mặtkhác2 5 ≡ 1(mod31)nên2 10 ≡ 1(mod31)suyra2 340 ≡ 1(mod31). Vậy2 340 ≡ 1(mod341).Nên341làmộtsốgiảnguyêntốcơsở2. Nh Nh Nh Nhậ ậ ậ ận n n nx x x xé é é ét: t: t: t:341làsốgiảnguyêntốcơsở2nhỏnhất. Bằngcáchtươngtựtacũngcó561làmộtsốgiảnguyêntốcơsở2. Thậtvậycó561=3.11.17nênlàmộthợpsốvà(3,2)=(11,2)=(17,2)=1do đóápdụngđịnhlýnhỏFermatcó: 2 2 ≡ 1(mod3)⇒2 560 ≡ 1(mod3) B B B BÀ À À ÀI I I ITHU THU THU THUHO HO HO HOẠ Ạ Ạ ẠCH CH CH CHM M M MÔ Ô Ô ÔN N N NS S S SỐ Ố Ố ỐH H H HỌ Ọ Ọ ỌC C C CHI HI HI HIỆ Ệ Ệ ỆN N N NĐẠ ĐẠ ĐẠ ĐẠI I I I Nguy Nguy Nguy Nguyễ ễ ễ ễn n n nL L L Lê ê ê êMinh Minh Minh MinhCao Cao Cao Caoh h h họ ọ ọ ọc c c c20 20 20 20Đạ Đạ Đạ Đại i i is s s số ố ố ốv v v và à à àL L L Lý ý ý ýthuy thuy thuy thuyế ế ế ết t t ts s s số ố ố ố 2 2 10 ≡ 1(mod11) ⇒ 2 560 ≡ 1(mod11). 2 16 ≡ 1(mod17) ⇒ 2 560 ≡ 1(mod17). Vậy2 560 ≡ 1(mod561) ⇒ 561làsốgiảnguyêntốcơsở2. 1.3.1. 1.3.1. 1.3.1. 1.3.1.Đị Đị Đị Định nh nh nhl l l lý ý ý ý. . . .Cóvôsốsốgiảnguyêntốcơsở2. Ch Ch Ch Chứ ứ ứ ứng ng ng ngminh. minh. minh. minh. Giảsửnlàmộtsốgiảnguyêntốcơsở2,tasẽchứngminh2 n -1cũnglàs giả nguyêntốcơsở2.Theogiảthiếtnlàsốgiảnguyêntốcơsở2nênnlàhợpsố,suy ratồntạihaisốtựnhiênp,qsaocho1<p,q<nsaochon=pq. Và2 n-1 ≡ 1(modn) Ta có:m=2 n -1=2 pq -1=(2 p -1)(2 p(q-1) +2 p(q-2) +