SỞ G D & Đ T N G H Ệ A N Đ Ề T H I T H Ử Đ Ạ I H Ọ C L Ầ N T H Ứ H A I N Ă M 2013 TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU M ô n : T O Á N ; K h ối D . Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề). I. Phần chung cho tất cả thí sinh: Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số x 1 y x 1 (H) 1. Khảo sát sự biến t hiên và vẽ đ ồ t h ị ( H ) c ủ a h à m s ố. 2. Lậ p p h ư ơ n g t r ì n h đường thẳng (d) đi qua M ( , 1 2 1 2 ) và cắt (H) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB. Câu II (2.0 điểm) 1. Giải hệ p hươn g trì n h : x x y y x y - x 3 3 8 2 2 2 1 . 2. Giải phương trình si n 2 x 3 c o s 2 x 6 2 si n x 1 0 4 . Câu III ( 1 , 0 đ i ể m ) Tính: 3 2 0 x 1 x x 1 I d Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, BAD 0 120 và SA (ABCD), SA= a 3 . Tính thể t í c h k h ố i c h óp S.ABCD và khoảng cách giữ a AD và SB. Câu V (1.0 điểm ) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 3. Chứn g m inh rằn g : a b c b c a 2 2 2 3 1 1 1 2 II. Phần riên g: A. Theo chương trình chuẩn: Câu VIa(1,0 điểm) T r o n g m ặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạ n h AB: x – 3y + 7 = 0, đ ư ờn g c a o A H : x – 5y +11 = 0 và M (1,0) là trung điểm AC. Lập phương trì n h c ạ n h BC . Câu VIIa (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) x y z+1 1 2 1 2 và hai mặt phẳn g (P 1 ) : x + y - 2 z + 5 = 0 , ( P 2 ): 2x – y + z + 2 = 0. Viết p hươ n g trì n h m ặt cầu tâm I thuộ c (d) và tiếp xú c v ới c ả hai mặt phẳn g ( P 1 ), (P 2 ). Câu VIIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: z = 2 và z = 2 – z B. Theo chương trình nâng cao: Câu VIb (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) có phương trì n h : x y 2 2 1 9 5 . Gọi F 1 , F 2 là hai tiêu điểm của (E). Tì m điểm M ( E ) s a o c h o M F 1 = 2MF 2 Câu VIIb(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 10x + 2y + 26x–113= 0 và hai đường thẳng (d 1 ) x+5 y z +13 1 2 3 2 và (d 2 ) : x t y t z 7 3 1 2 8 . Hãy viết phương trình mặt phẳn g (P ) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với cả (d 1 ) , (d 2 ) . Câu VIIIb ( 1,0 điểm).Tìm số phức z thỏa mãn: z 5 và (z+i) 2 là số thuần ảo. ****************************** Hết ********************************* Họ và tên: ……………………………………. SBD: ………………………… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM – MÔN TOÁN, KHỐI D - 2013 Câu Đáp án Điểm Câu 1 (2 điểm) 1. (1 điểm) +) Tập xác định: D = ¡ \{1} +) Sự biến thiên: -) Chiều biến thiên: 2 2 y' 0 , x 1 (x 1) => h/s nghịch biến trên (- ; 1) và (1;+ ), -) Cực trị: Không có. -) Giới hạn: x 1 x 1 x lim y 1, l im y ,lim y Vậy tiệm cận ngang là y = 1 , t i ệm cận đứng là x = 1 -) Bảng biến thiên: x – 1 + y’ – – y 1 + – 1 +) Đồ thị: 2.(1 điểm): Gọi A( 0 x , 0 y ) (H), khi đó B (– 1– 0 x ,– 1– 0 y ) (H) nên ta có hệ phương tr ì n h 0 0 0 0 0 0 x 1 y x 1 1 x 1 1 y 1 x 1 0 0 x 0 x 1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 Với 0 x = 0 thì 0 y = – 1 nên A(– 1, 0) và B(0, – 1) Với 0 x = – 1 thì 0 y = 0 nên A(0, – 1) và B(– 1, 0) 0.25 Câu 2 (2 điểm) 1. (1 điểm). Đk : y x 0 Từ phương trình thứ nhất suy ra ( ) 3 3 2x 2x y y (*) Xét h/s đặc trưng f(t) = 3 t t . Do 2 f ' 3 t 1 0 , t . Nên h/s đồng biến trên [ 0, ) . Từ (*) suy ra y = 2x, thế vào phương trình thứ hai ta được : 2x y x 2 1 2x x 2 1 x 1 và y = 2 Vậy hệ phương trình có một nghiệm là (1, 2) 2. (1 điểm). Pt Sin2x + Cos2x = 3Sinx + Cosx + 2 os os 2 2SinxCosx 6C x 6Sinx 6C x 2 0 (Sĩn – Cosx )( Sinx + 2Cosx – 3) = 0 osx - 3 = 0(**) Sinx Cosx(*) Sinx 2C Ta có (**) vô nghiệm. Giải (*) ta được nghiệm x k ,k 4 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 Câu 3 (1 điểm) Đặt t = x + 1 => dt = dx, khi x = 0 => t = 1, x = 3 => t = 4 => 3 4 4 2 2 2 0 1 1 x 1 (t 1 ) t 2t 2 I d(x) dt dt x 1 t t = 5 3 1 2 2 2 4 2 4 106 ( t t 4t ) 5 3 15 1 0.25 0.5 0.25 Câu 4 (1 điểm) +) Do · BAD 0 120 nên ABC V đều cạnh a S s u y r a d t ( A B C D ) = 2 . A B C S = 2 a 3 2 S . AB C D V = 1 3 .SA.dt(ABCD) A H D = 1 3 a 3 . 2 3 a 3 a 2 2 (đvtt). B I C 0.25 0.25 +) Ta có d(AD,SB) = d(AD, (SBC))=d(A,(SBC)) Gọi I là trung điểm BC suy ra AI BC Do BC SA, BC AI BC ( S A I ) Từ A hạ AH SI A H (SBC) d(A, (SBC)) = AH Do SAI vuông tại A nên AH = 2 2 SA.AI 15 a 5 S A A I Vậy k/c(AD,SB) = a 15 5 0.25 0.25 Câu 5 (1 điểm) Do a, b, c > 0, a + b + c = 3 nên 2 2 2 a b c 1 b 1 c 1 a = 2 2 2 a b 1 b c 1 c a 1 3 1 b 4 1 c 4 1 a 4 2 3 3 (a b c ) 2 2 . Vậy P 3 2 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 0.5 0.5 CT Chuẩn (3 điểm) VIa. (1 điểm). Tọa độ A là nghiệm hệ pt x 3y 7 0 x 5y 11 0 A(-1;2). Do M(1;0) là trung điểm AC suy ra C(3;-2) Do AH AH n ( 1 ; 5 ) u (5;1) r r .Vì BC AH nên BC có B C n ( 5 ; 1 ) r Vậy pt đường BC là: 5(x - 3) + ( y + 2 ) = 0 5x + y – 13 = 0 VIIa. (1 điểm) Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu cần tìm, do I d nên a 2b 2 0 a b 1 c 1 2 1 2 a c 1 0 (1) Vì mặt cầu (S) tiếp xúc v ới ( 1 P ), ( 2 P ) nên k/c(I ,( 1 P )) = k/c (I,( 2 P ))=R a b 2c 5 2a b c 2 a 2b 3c 3 3 a c 7 6 6 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được 8 7 5 20 a ,b ,c R 3 3 3 3 6 1 0 a 4,b 1 , c 5 R 6 Vậy có 2 mặt cầu thỏa mãn điều kiện bài toán là: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2 2 2 8 7 5 2 0 0 (x ) (y ) (z ) 3 3 3 2 7 và 2 2 2 5 0 (x 4) (y 1) (z 5 ) 3 VIIIa. (1 điểm). Gọi z = a +bi 2 2 a b 2 a 1 , b 1 2a 2 Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i 0.25 0.5 0.5 CT Nâng cao (3 điểm) VIb (1 điểm). C ho p t (E ) : 2 2 x y 1 9 5 2 c 4 1 2 F ( 2;0),F (2;0) Khi đó 1 2 2 2 MF 3 x,MF 3 x 3 3 1 2 2 2 3 1 5 M F 2MF ( 3 x) 2(3 x) x ,y 3 3 2 2 Vậy 3 15 M( , ) 2 2 hoặ c 3 1 5 M( , ) 2 2 VIIb( 1 đ i ể m ) . V é c t ơ c h ỉ p h ư ơ n g c ủ a ( 1 d ) là u (2; 3;2) r , của ( 2 d ) là v (3; 2;0) r . Mặt cầu (S) có tâm I (5; –1; –13) và R = 308 . Mặt phẳng (P) cần tìm có véc tơ pháp tuyến là n u , v (4;6;5) r u r r Vậy (P) có phương trình : 4x + 6y + 5z + D = 0 Để (P) tiếp xúc với (S) thì điều kiện là : d(I,(P)) = 2 0 6 6 5 D 308 308 1 6 3 6 2 5 D 1 0 3 D 205 Vậy có 2 mặt phẳng (P) cần tì m l à : 4x + 6y + 5z – 103 = 0 và 4x + 6y + 5z + 205 = 0 VIIIb (1 điểm). Gọi z = a + bi 2 2 2 2 a b 5 a (b 1) 0 2 2 2 b b 2 0 a (b 1) Với b = 1 a = 2 z = 2 + i hoặ c z = –2 + i Với b = –2 a = z = 1 – 2i hoặc z = –1 –2i 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Lưu ý : Đáp án chỉ trình bày một cách giải. nếu thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. . . Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề) . I. Phần chung cho tất cả thí sinh: Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số x 1 y x 1 (H) 1. Khảo sát sự biến t hiên và vẽ đ. mặt cầu (S) và song song với cả (d 1 ) , (d 2 ) . Câu VIIIb ( 1,0 điểm).Tìm số phức z thỏa mãn: z 5 và (z+i) 2 là số thuần ảo. ****************************** Hết *********************************. Đáp án Điểm Câu 1 (2 điểm) 1. (1 điểm) +) Tập xác định: D = ¡ {1} +) Sự biến thi n: -) Chiều biến thi n: 2 2 y' 0 , x 1 (x 1) => h/s nghịch biến trên (- ; 1)