ĐÁP ÁN THI VÀO LỚP 10 TP HÀ NỘI NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN @ Đáp án Câu I 1)Với x=64 thì = 8x + ⇒= = = 28 10 5 88 A 4 . 2) −+− +−+ =+ =+ = ++ 12 1 1 2 1 12 1 (1) (1) xxx xxx B xxx x xx xx + + 2(2) (1) (1) xx xx x xx xx x ++ == = ++ 2 1 + + . 3) Với x>0, ta có: 22313 3: 22 22 1 Axx x 3 x x B xx x ++ + >⇔ >⇔ >⇔ +> + 2xx⇔<⇔<4. . Kết hợp với x>0, ta được: 04x < < Câu II Đổi 30 phút = 1 2 giờ. Gọi vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là x (km/h), với x>0. Thời gian xe đi từ A đến B là 90 ()h x , vận tốc lúc về BA là 9( / ) x km h+ . Thời gian về là 90 () 9 h x + . Ta có phương trình: 90 90 1 90 90 9 10 10 1 5 92 9 2 92xx xx xx ++=⇔+=⇔+= +++ 22 36 ( ) 40 180 9 31 180 0 5( ) x TM xxxxx xL = ⎡ ⇔+=+⇔−−=⇔ ⎢ =− ⎣ . Vậy vận tốc xe máy đi từ A đến B là 36km/h. Câu III 1)Giải hệ: . 3( 1) 2( 2 ) 4 3( 1) 2( 2 ) 4 (1) 4( 1) ( 2 ) 9 8( 1) 2( 2 ) 18(2) xxy xxy xxy x xy ++ + = ++ + = ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ +− + = +− + = ⎩⎩ Cộng theo vế (1), (2) ta được: 11(x+1)=22 12 1 x x ⇔ += ⇔ = . Thế vào (1) ta suy ra: 3( . 1 1) 2(1 2 ) 4 1yy++ + =⇔=− Vậy hệ pt có nghiệm là: (; ) (1; 1)xy = − . 2) Cho 2 1 (): 2 Py x = , 2 1 (): 1 2 dymx m m =− ++ . a)Với m=1 thì (d): 3 2 yx =+. Xét PT hoành độ giao điểm: 22 1 13 230 3 22 x xx x x x =− ⎡ =+ ⇔ − −=⇔ ⎢ = ⎣ . Hai giao điểm của (P) và (d) là 19 1; , 3; 22 AB ⎛⎞⎛ − ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ . b) Xét PT hoành độ giao điểm của (d) và (P): 22 22 11 12 22 22 xmx mm x mxm m=− ++⇔− +−−=0 (*) Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x 1 , x 2 thì PT(*) có 2 nghiệm phân biệt . '0 2 20 1mm⇔Δ > ⇔ + > ⇔ >− Theo hệ thức Vi-ét thì . 12 2 12 2 22 xx m xx m m += ⎧ ⎨ =−− ⎩ Ta có: 222 2 12 12 1 2 12 12 12 2( )4 2 4( )4xx xx x x xx xx xx− =⇔ − =⇔ + − =⇔ + − =4 22 1 44(22)48 4 2 mmm m m. − ⇔− −−=⇔=−⇔= (TM) Vậy 1 . 2 m − = Câu IV 1) Vì · · 0 90AMO ANO== · AMO (T/c tiếp tuyến), do đó: , mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AMON nội tiếp. · 0 180ANO+= T K I C B N M O A 2) Xét hai tam giác đồng dạng ABN và ANC (g-g), suy ra 2 . AN AC A NABAC A BAN =⇔ = . Nếu AB=4cm, AN=6cm thì 2 9 AN AC AB = = (cm), khi đó 945BC AC AB = −=−=(cm). 3) Vì I là trung điểm của dây cung BC không đi qua tâm O nên hay , như vậy I và N cùng nhìn đoạn AO dưới góc vuông nên A, N, O, I cùng nằm trên một đường tròn đường kính AO, do đó: (hệ quả). OI BC⊥ · 0 90AIO = · · AIN AON= Mặt khác · · · 1 2 M TN MON AON== , suy ra: · · M TN AIN= và chúng ở vị trí đồng vị nên MT//AC. 4) Xét tam giác BOK vuông tại B (T/c tiếp tuyến), có đường cao BI nên mà OB=OM 2 .OB OI OK= 2 .OM OI OK⇒= OM OK OI OM ⇒= , góc MOI chung nên hai tam giác OIM và OMK đồng dạng (c.g.c) · · M IO OMK⇒= (1). Ta có: OM=ON nên (2). · · OMN ONM= Vì 4 điểm M, N, O, I cùng nằm trên 1 đường tròn đường kính AO và từ (2) nên · · · · 0 180NMOMIOMNOMIN+= += (3). Từ (1) và (3), suy ra: , do đó ba điểm M, N, K thẳng hàng hay suy ra: K luôn nằm trên đường thẳng MN cố định khi d thay đổi. · · 0 180NMO KMO+= Câu V Theo giả thiết, ta có: 111 1 1 1 6 abcabbcca +++ + + = . Do đó: 22222 222 111 11 11 11 1 1 1 31 abc ab bc ca a b c ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ++ =− +− +− +−+−+− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ 2 11 ⎞ ⎟ ⎠ 1 1 1111 1 1 1111 2323 ab bc ca a b c ab bc ca a b c ⎛⎞⎛⎞ ++++++−≥ +++++−=−= ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 1239 . 222 111 3. abc ⇒++≥ Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1. (Đpcm). Lê Văn Cường, Đỗ Y Linh Trường THPT Nguyễn Tất Thành-ĐHSP Hà Nội . · · 0 90AMO ANO== · AMO (T/c tiếp tuyến), do đó: , mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AMON nội tiếp. · 0 180ANO+= T K I C B N M O A 2) Xét hai tam giác đồng dạng ABN và ANC (g-g),. suy ra 2 . AN AC A NABAC A BAN =⇔ = . Nếu AB=4cm, AN= 6cm thì 2 9 AN AC AB = = (cm), khi đó 945BC AC AB = −=−=(cm). 3) Vì I là trung điểm của dây cung BC không đi qua tâm O nên hay , như vậy. máy lúc đi từ A đến B là x (km/h), với x>0. Thời gian xe đi từ A đến B là 90 ()h x , vận tốc lúc về BA là 9( / ) x km h+ . Thời gian về là 90 () 9 h x + . Ta có phương trình: 90 90 1