PDG Huyện Tiên Lãng ®Ò thi thö tuyÓn sinh vµo 10 THPT Trường THCS Hùng Thắng Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 90 phút ( không kể thời gian giao đề) (Chú ý: Đề thi gồm có hai trang) Phần I: Trắc nghiệm ( 2,0 điểm). Câu1: Căn bậc hai số học của 15 là A. - 15 ; B. 15 ; C. 225 ; D. - 225 . Câu2: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất ? A . y = 2x + 2 ; B. y = 5 ; C. y = 1 x - 3 ; D. y = 2 (1 - x) . Câu3: Điểm M( -3; - 9) thuộc đồ thị hàm số : A. y = - x 2 ; B . y = x 2 ; C. y = 1 3 x 2 ; D. y = - 1 3 x 2 . Câu4: Số nguyên k nhỏ nhất để phương trình (2k - 1)x 2 - 8x +6 = 0 vô nghiệm là: A. k = 1 ; B. k = 2 ; C. K = - 2 ; D . k = 3 . Câu5: Trên hình 1 ta có A. x = 3 và y = 3 ; B . x = 2 và y = 2 2 ; C. x = 2 3 và y = 2 ; D. Cả ba trường hợp trên đều sai. 3 1 y x Q C B D A Hình 1 Hình 2 Câu 6: Trên hình 2, AB là đường kính: · CAB = 40 0 , · BAD = 20 0 . Số đo của góc AQC là: A. 60 0 ; B. 140 0 ; C . 70 0 ; D. 30 0 . Câu 7: Độ dài cung 120 0 của đường tròn bán kính 3cm là A. π ( cm) ; B. 2 π (cm) ; C. 3 π (cm) ; D. Cả ba đáp số trên đều sai. Câu 8: Một hình nón có bán kính đáy 7cm, đường sinh 10cm. Diện tích toàn phần của hình nón là (tính với π = 22 7 ): A. 374 cm 2 ; B. 220 cm 2 ; C. 154 cm 2 ; D. Cả ba kết quả trên đều sai. Phần II: Tự luận (8,0 điểm). Câu 1(2 điểm): 1/ Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau: a ) x 2 - 6x - 27 = 0 . b ) 3x - 9 ≤ 0 . c ) 2 3 6 x y x y + = − = . 1 2 / Chứng minh đẳng thức sau: 14 7 15 5 1 2 1 3 − − + ÷ ÷ − − : 1 7 5− = - 2. Câu 2(2 điểm): : Cho phương trình x 2 + (2m - 1)x - m = 0 . (1) a) Giải phương trình (1) với m = 0. b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m. c) Gọi hai nghiệm của (1) là x 1 và x 2 .Tìm giá trị của m để A = x 1 2 + x 2 2 - 6x 1 x 2 có giá trị nhỏ nhất. Câu 3(3 điểm): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ;R) các đường cao BE,CF cắt nhau tại H. a. Chứng minh các tứ giác AEHF ; BFCE nội tiếp. b. Chứng minh AFE ACB∆ ∆: từ đó suy ra AF.AB = AE.AC. c. AH cắt BC tai K. Chứng minh EB là tia phân giác của của · FEK d. Khi B, C cố định và BC = R 3 , A di chuyển trên cung lớn BC . Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF cố định. Câu 4(1 điểm): Chứng minh rằng : 1 2 + 1 3 2 + 1 4 3 + + 1 1995 1994 < 2 . Hết 2 PDG Huyện Tiên Lãng híng dÉn chÊm ®Ò thi thö vµo 10 Trường THCS Hùng Thắng Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Phần I: Trắc nghiệm ( 2,0 điểm). câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp án B D A B D C B A Phần II: Tự luận (8,0 điểm). 1 (2đ) a) ( 0.5 điểm) ∆ ' = (-3) 2 - 1.(-27) = 9 + 27 = 36 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 1 = 9 và x 2 = -3. b) ( 0,5 điểm) 3x - 9 ≤ 0 ⇔ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 3 Vậy x ≤ 3 là nghiệm của bất phương trình c) (0,5 điểm) 2 3 6 x y x y + = − = ⇔ 3 9 6 x x y = − = ⇔ 3 6 x x y = − = ⇔ 3 3 x y = = − Vậy 3 3 x y = = − là nghiệm của hệ phương trình 2( 0,5 điểm) 14 7 15 5 1 2 1 3 − − + ÷ ÷ − − : 1 7 5− = 7( 2 1) 5( 3 1) 1 2 1 3 − − + ÷ ÷ − − . 7 5 1 − = (- 7 - 5 ) ( 7 - 5 ) = - 2 Vậy đẳng thức được chứng minh 0.25điẻm 0.25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,5 điểm 2 (2đ) a) ( 1điểm) Với m = 0 ta được pt : x 2 - x = 0 ⇔ x ( x - 1 ) = 0 x = 0 hoặc x = 1 Vậy x = 0và x = 1 là nghiệm của pt (1) khi m= 0 b) ( 0,5 điểm) Ta có ∆ = ( 2m - 1) 2 + 4m = 4m 2 - 4m + 1 + 4m = 4m 2 + 1 > 0 với mọi m Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m. c)( 0,5 điểm) . Theo hệ thức Vi - ét , ta có : 1 2 1 2 1 2x x m x x m + = − = − 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,25điểm 3 Do đó A = A = x 1 2 + x 2 2 - 6x 1 x 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 - 8x 1 x 2 = (1 - 2m) 2 + 8m = 1 - 4m + 4m 2 + 8m = 4m 2 + 4m + 1 = ( 2m + 1) 2 ≥ 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 0 khi m = - 1 2 . 0,25điểm 3 (3đ) I H F E K O B C A D Vẽ đúng hình cho câu a a. (0,75đ). Xét tứ giác AEHF có · AEH = 90 0 , · AFH = 90 0 · · AEH AFH 180⇒ + = 0 T⇒ ứ giác AEFH nội tiếp Xét tứ giác BFEC có: · · BFC BEC= = 90 0 => F, E là 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn BC dưới một góc không đổi => Tứ giác BFEC nội tiếp b. (0,75 điểm) Tứ giác BFEC nội tiếp (CM trên) => · · AFE ECB = (cùng bù với · BFE ) (0,5đ) Xét ∆ AFE và ∆ ACB có Â chung , · · AFE ACB= (CM trên) => ∆ AFE : ∆ ACB (g,g) AF AE AF.AB AE.AC AC AB ⇒ = ⇒ = c. (0,5đ) .Ta có · · · · · · FEB FCB; HEK HCK FEB KEB= = ⇒ = Suy ra EB là tia phân giác của · FEK d.(0,5đ) Đường tròn đi qua 3 điểm AEF chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF Có đường kính là AH. Kẻ đường kính AD ta có Học sinh chứng minh được BHCB là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của BC. HS Chứng minh được H,I,D thẳng hàng và OI = . 2 1 AH HS nêu được bán kính đường tròn ngoại tiếp tú giác AEHF là 2 R cố đinh . 0,5điểm 0,75điểm 0,75điểm 0,5điểm 0,5điểm 4 4 (1đ) Với k ≥ 1 ta chứng minh được công thức 1 ( 1)k k+ < 2 1 1 1k k − ÷ + . Cho k các giá trị từ 1 đến 1995 ta co: 1 2 < 2 1 1 1 2 − ÷ 1 3 2 < 2 1 1 2 3 − ÷ 1 1995 1994 < 2 1 1 1995 1994 − ÷ Cộng theo từng vế tất cả các bất phương trình cùng chiều trên ta được 1 2 + 1 3 2 + + 1 1995 1994 < 2 1 1 1995 − ÷ < 2 ( điều phải chứng minh) 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm Chú ý: - Nếu học sinh làm bài theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm. - Câu hình học, học sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm, Học sinh không vẽ hình mà vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được. 5 . Huyện Tiên Lãng ®Ò thi thö tuyÓn sinh vµo 10 THPT Trường THCS Hùng Thắng Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 90 phút ( không kể thời gian giao đề) (Chú ý: Đề thi gồm có hai. 15 là A. - 15 ; B. 15 ; C. 225 ; D. - 225 . Câu2: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất ? A . y = 2x + 2 ; B. y = 5 ; C. y = 1 x - 3 ; D. y = 2 (1 - x) . Câu3: Điểm M( -3 ; - 9) thuộc. 5 1 − = (- 7 - 5 ) ( 7 - 5 ) = - 2 Vậy đẳng thức được chứng minh 0.25điẻm 0.25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,5 điểm 2 (2đ) a) ( 1điểm) Với m = 0 ta được pt : x 2 - x = 0 ⇔ x ( x - 1 )