I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm ) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 32 33 2=− + +yx x mx (1), với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. b) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 465 . Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 3 sin 2 cos 2 1 3 sin 3cos x xxx−+= + . Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 22 2 (4 4 4 51)( ) 3 0 (, ) (2 7)( ) 1 0 xxyy xy xy xxy ⎧ −+− −+= ∈ ⎨ −−+= ⎩ \ . Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 1 2 0 (1)1 (1)( 1) x x xx e I dx xxe ++ − = ++ ∫ . Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S; N là trung điểm của đoạn CD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AN theo a. Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1abc = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 72 ()()() 1 Pabbcca abc =+ + ++ +++ . II. PH Ầ N RIÊNG( 3,0 điểm ): Thí sinh ch ỉ đượ c làm m ộ t trong hai phầ n riêng (ph ần A ho ặ c ph ầ n B) A. Theo chương trình chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A; D là trung điểm của đoạn AB. Biết rằng 11 5 13 5 ;, ; 33 33 IE ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trọng tâm tam giác ADC ; các đ iể m M(3; - 1), N (- 3; 0) l ầ n lượ t thu ộc các đườ ng th ẳ ng DC, AB . Tìm t ọa độ các đ iể m A, B, C biế t A có tung độ d ươ ng. Câu 8.a (1,0 đ iể m ). Trong không gian v ớ i h ệ tọ a độ Oxyz , cho m ặ t cầ u (S): 222 24650xyz xyz++−−−+= , đi ể m A (1; 2; 0) và đ i ểm B (2; 0; 1). Viế t ph ươ ng trình m ặt ph ẳ ng (ABC ), bi ết đ i ể m C thu ộc (S) và n 0 30 ACB = . Câu 9.a (1,0 điểm). Giải phương trình 3 2 23 4 3 log .log 3 log log x xxx+= + . B. Theo chươ ng trình nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): 22 1 25 9 xy + = có hai tiêu đ iể m là F 1 , F 2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF 1 F 2 bằng 4 3 . Câu 8.b (1,0 đ i ểm ). Trong không gian v ới h ệ t ọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB , CD thỏa mãn CD = 2AB và diện tích bằng 27; đỉnh A(-1;-1;0); phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 213 221 x yz−+− == . Tìm tọa độ các điểm B, C, D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ của điểm A. Câu 9.b (1,0 điểm).Cho số phức z thỏa mãn (1)(2)3 2 2 zii zi − −+ = + . Tìm phần thực và phần ảo của z 9 . HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, A1, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.VNMATH.com ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Với m = 0, ta có 32 yx 3x 2=− + +) Tập xác định: D = R. +) Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2 x0 y3x 6x;y0 x2 = ⎡ ′′ =− =⇔ ⎢ = ⎣ . 0,25 - Các khoảng đồng biến (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2). - Cực trị: hàm số đạt cực đại tại x = 0, y CĐ = 2; đạt cực tiểu tại x = 2, y CT = -1. - Giới hạn: x x lim y và lim y →+∞ →−∞ =+∞ =−∞ . 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 +) Đồ thị: 0,25 b) (1,0 điểm) Ta có 2 y3x 6x3m ′ =−+ . Đồ thị hàm số có cực trị ⇔ phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt 12 x,x ⇔ 99m 0 m1−>⇔< . Theo Định lí Viet ta có: 12 12 xx 2 xx m + = ⎧ ⎨ = ⎩ 0,25 Do x1 yy.( )2(m1)xm2 33 ′ =−+−++ nên toa độ hai điểm cực trị là: 11 A(x ; 2(m 1)x m 2)−++; 22 B(x ;2(m 1)x m 2)− ++ 0,25 22 2 3 12 AB [4(m 1) 1](x x ) 4[4(1 m) (1 m)]⇒=−+−=−+− 0,25 1 ( 2,0 điểm) Theo giả thiết : 33 4[4(1 m) (1 m)] 16.65 4(1 m) (1 m) 260 0−+−= ⇔−+−−=. m3⇔ =− 0,25 Phương trình tương đương : 2 2 3 sin x cos x (2cos x 1) 1 ( 3 sin x 3cos x) 0−−+−+= 3 sin x(2cos x 1) (2cos x 1)(cos x 2) 0⇔−−−+= 0,25 2 ( 1,0 điểm) (2cos x 1)( 3sin x cos x 2) 0⇔− −−= 0,25 x ∞+ 0 - ∞ 2 0 0 ∞− 2 -2 ∞+ 'y y + - + www.VNMATH.com 1 cos x 2 sin(x ) 1 6 ⎡ = ⎢ ⇔ ⎢ π ⎢ −= ⎢ ⎣ 0,25 xk2xk2 33 (k Z) 2 xk2xk2 62 3 ππ ⎡⎡ =± + π =± + π ⎢⎢ ⇔⇔∈ ⎢⎢ ππ π ⎢⎢ −=+ π = + π ⎢⎢ ⎣⎣ 0,25 Hệ phương trình tương đương : 22 22 22 31 4x 4xy 4y 51 (x y) 3((x y) ) 51 (x y) (x y) 11 2x 7 x y x y 7 xy xy ⎧⎧ −++ = ++ −+ = ⎪⎪ −− ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ += ++−+= ⎪⎪ −− ⎩⎩ . 0,25 Đặt axy 1 bxy xy =+ ⎧ ⎪ ⎨ =−+ ⎪ − ⎩ ; ta có hệ 22 a3;b4 a3b57 15 1 a;b ab7 22 == ⎡ ⎧ += ⎢ ⇔ ⎨ − ⎢ == += ⎩ ⎣ . 0,25 Với a = 3; b = 4 ta có: 53 13 xy3 x;y 22 1 xy 4 53 13 xy x;y 22 ⎧ ⎡ +− += == ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⇔ ⎨ −+ = ⎢ −+ ⎪ − == ⎢ ⎪ ⎣ ⎩ . 0,25 3 ( 1,0 điểm) Với 15 1 a;b 22 − == thay vào có hệ phương trình vô nghiệm. 0,25 1 x x 0 (x 1)e 1 I( )dx xe 1 x 1 + =− ++ ∫ 0,25 11 00 (1)(1) ( 11 x x dxe dx xe x + + =− + + ∫∫ 0,25 x1 0 [ln(xe 1) ln(x 1)] |=+−+ 0,25 4 ( 1,0 điểm) ln(e 1) ln 2= +− 0,25 Gọi M là trung điểm của AB,ta có SM AB AB (SMN) NM AB ⊥ ⎧ ⇒⊥ ⎨ ⊥ ⎩ . Kẻ SH MN SH (ABCD)⊥ ⇒⊥ 0,25 5 ( 1,0 điểm) Trong tam giác SMN có a3 a SM ;SN ;MN a 22 = == nên tam giác SMN vuông tại S a3 SH 4 ⇒= 3 S.ABCD ABCD 1a3 VSH.S 312 ⇒= = . 0,25 Gọi E là trung điểm của BC. Xét tam giác vuông SMN ta có 3a a HM ;HN 44 = = nên H là giao của MN và DE .Gọi K là giao điểm AN và DE . K ẻ KP SD KP AN⊥⇒⊥ nên KP là đoạn vuông góc chung của SD và AN . 0,25 Trong tam giác SDH có a5a3 . DK.SH a 30 a 30 54 KP d(SD, AN) DS 20 20 a2 2 == =⇒ = . 0,25 www.VNMATH.com Ta có: (a b)(b c)(c a) (a b c)(ab bc ca) 1+++=++ ++− 0,25 Do 22 (x y z) 3(xy yz zx) (ab bc ca) 3abc(a b c)++ ≥ + + ⇒ + + ≥ ++ ab bc ca 3(a b c)⇒++≥ ++ Suy ra 1 1 72 )(3)( − +++ +++++≥ cba cbacbaP . 0,25 Đặt 3≥⇒++= tcbat . Khi đó 1 1 72 3)( − + +=≥ t tttfP , 3 3 33t(t 1) 72 f(t) 0 2(t 1) +− ′ = ≥ + , với t3≥ . 0,25 6 ( 1,0 điểm) Do đó f ( t ) đồng biến trên [ ) 3; +∞ f(t) f(3) 44⇒≥= . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 44 khi a = b = c = 1. 0,25 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Do I DAB⊥ và // E GAB nên IDGE⊥ , mặt khác IGDE⊥ nên I là trực tâm tam giác DEG EI DC ⇒⊥ ⇒ phương trình DC: x = 3. 0,25 Gọi D (3; a). Ta có 25 3a DI ( ; );DN ( 6; a) 33 − = =− − JJG JJJG . Theo giả thiết suy ra a3 53a DI.DN 0 4 a 0 4 3 a 3 = ⎡ − ⎢ =⇔−− =⇔ ⎢ = − ⎣ JJG JJJG . 0,25 +) Với a = 3 thì D (3; 3) suy ra phương trình AB : x - 2 y + 3 = 0 44 DE ( ; ) 33 =− JJJG là véc tơ pháp tuyến của AI nên phương trình AI : x - y - 2 = 0 Tọa độ A là nghiệm của hệ )5;7( 02 032 A yx yx ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ =−− =+− , suy ra B (-1; 1), C (3; -3). 0,25 7.a ( 1,0 điểm) +) Với ) 3 4 ;3( 3 4 −=⇒−= Da 44 aD3; 33 ⎛⎞ = −⇒ − ⎜⎟ ⎝⎠ Phương trình AB: 2x + 9y + 6 = 0 Phương trình AI: 12x + 27y - 89 = 0 Tọa độ A là nghiệm của hệ 107 x 2x 9y 6 0 6 12x 27y 89 0 125 y 27 ⎧ = ⎪ ++= ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ +−= ⎩ ⎪ =− ⎪ ⎩ không thỏa mãn. 0,25 8.a ( 1,0 điểm) Do , ( ) AB S ∈ và 6AB = nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là AB r6 2sinC == 0,25 Phương trình mặt phẳng (P) là: 222 a(x 1) b(y 2) cz 0, (a b c 0)− +−+= ++≠ D o B (P) a 2b c 0 c 2b a (1)∈⇒−+=⇒=− Ta có: 22 2 2 2 222 3c d(I, (P)) R r 2c a b (2). abc ==−⇔=+ ++ Thế (1) vào (2) ta có : 22 a8ab7b 0−+ = ab cb a7b c 5b =⇒= ⎡ ⇔ ⎢ = ⇒=− ⎣ . 0,25 Với a = b = c ⇒ phương trình mp(P): x + y + z – 3 = 0. 0,25 Với a = 7 b , c = –5 b ⇒ phương trình mp(P): 7 x + y – 5 z – 9 = 0 0,25 Điều kiện xác định: x > 0. Phương trình tương đương: 23 3 2 log .log 3 3log log x xxx+ =+ 0,25 9.a ( 1,0 điểm) 23 (log x 3)(log x 1) 0⇔− −= 0,25 A D C B G E I www.VNMATH.com 2 3 log x 3 log x 1 = ⎡ ⇔ ⎢ = ⎣ 0,25 x8 x3 = ⎡ ⇔ ⎢ = ⎣ . 0,25 1212 MF MF FF a5,b3 c4 p 9 2 + + ==⇒=⇒= = 0,25 12 MF F MM 41 Spr9.d(M,Ox).8d(M,Ox)3yy3 32 ⇒=== ⇒ ==⇒=± 0,25 Do đó M ( m ;3) hoặc M ( m ;-3). 0,25 7.b ( 1,0 điểm) Vì M thuộ c ( E ) nên m = 0. Vậ y M (0;3) và M (0;-3) là hai đ i ể m thỏ a mãn bài toán. 0,25 Đường thẳng CD qua M (2;-1;3) có véc tơ chỉ phương u (2; 2;1)= G Gọ i H(2 2t; 1 2t;3 t)+−+ + là hình chiếu của A lên CD, ta có AH.u 2(3 2t) 2.2t (3 t) 0 t 1 H(0; 3; 2);d(A;CD) AH 3=++ ++=⇒=−⇒ − = = JJJG G . 0,25 Từ giả thiết có: ABCD 2S AB CD 3AB 18 AB 6;DH 3;HC 9 AH += = =⇒= = = . Đặt BA AB AB tu (2t; 2t; t) t 0(x x ) t 2 AB (4; 4; 2) B(3; 3; 2) u == ⇒> > ⇒= =⇒ = ⇒ JJJG G JJJG G . 0,25 9 HC AB (6;6;3) C(6;3;5) 6 == ⇒ JJJG JJJG 0,25 8.b ( 1,0 điểm) 3 HD AB (2;2;1) D(2;5;1) 6 =− = − − − ⇒ − − JJJG JJJG 0,25 Đặt zxyi,(x,yR) zxyi=+ ∈ ⇒=− . 0,25 (z 1)(2 i) 3 i (4 2i)z (3 i)z 2 4i (x y) (7y 3x)i 2 4i 2 z2i xy2 xy1 z1i. 7y 3x 4 −− + =⇔−−+=+⇔++−=+ + += ⎧ ⇔⇔==⇒=+ ⎨ −= ⎩ 0,25 Do đó 99 99 z ( 2) (cos sin ) 16 16i 44 ππ =+=+. 0,25 9.b ( 1,0 điểm) Phần thực của z là 16, phần ảo của z là 16. 0,25 …… H ết……. www.VNMATH.com . nên H là giao của MN và DE .Gọi K là giao điểm AN và DE . K ẻ KP SD KP AN⊥⇒⊥ nên KP là đoạn vuông góc chung của SD và AN . 0,25 Trong tam giác SDH có a5a3 . DK.SH a 30. mặt khác IGDE⊥ nên I là trực tâm tam giác DEG EI DC ⇒⊥ ⇒ phương trình DC: x = 3. 0,25 Gọi D (3; a). Ta có 25 3a DI ( ; );DN ( 6; a) 33 − = =− − JJG JJJG . Theo giả thi t suy. và phần ảo của z 9 . HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, A1, B Thời gian làm bài: 180 phút,