Hư ớng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khố i B Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Câu 1. Cho hàm số: 3 2 3 3 x 3y x m m= − + a) Khảo sát hàm số khi m = 1. 3 2 3x 3y x= − + - TXĐ: D = R - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 ' 3x 6xy = − ; 2 ' 0 3x 6x 0y = ⇔ − = 0 2 x x = ⇔ = + Bảng biến thiên: Học sinh tự vẽ + Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;0)−∞ và (2; )+ ∞ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; 2) + Cực trị: 2 CT x = ; 1 CT y = − ; D 0 C x = ; D 3 C y = - Vẽ đồ thị: + Giao Ox: 3 2 0 3x 3 0 y x = ⇔ − + = + Giao Oy: 0 3x y= → = Đồ thị: Học sinh tự vẽ b) y = x 3 – 3mx 2 +3m 3 Để hàm số có hai cực trị ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt y’ = 3x 2 - 6mx y’ = 0 ⇔ 3x 2 - 6mx = 0 ⇔ 0 2 x x m = = Để hàm số có 2 cực trị 0m⇔ ≠ Khi đó A(0;3m 3 ); B(2m;-m 3 ) Tam giác )AB có diện tích bằng 48 S ABC = 1 (0; ). 2 d AB AB Ta có: 3 2 3 2 3 2 1 3 3 ( )(3 6 ) 3 2 3 3 m x mx m x x mx m m x− + = − − + − ⇒ Phương trình cực trị y = - 2m 2 x + 3m 3 ⇔ 2m 2 x + y - 3m 3 = 0 (d) d (O;AB) = d (O;d) = 3 4 3 4 1 m m − + HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN Hư ớng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khố i B Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - 2 6 4 16AB m m= + 3 2 6 4 3 2 6 4 6 2 6 2 4 4 3 1 . . 4 16 48 2 4 1 3 4 16 96. 4 1 9 (4 16 ) 96 (4 1) 16 2 m m m m m m m m m m m m m m − ⇒ + = + ⇔ − + = + ⇔ + = + ⇔ = ⇔ = ± Câu 2. 2 2(cos 3 sin ).cos cos 3sin 1 (2cos 1) 2 3sin cos cos 3 sin cos 2 3 sin 2 cos 3 sin 1 3 1 3 cos 2 sin 2 cos sin 2 2 2 2 sin(2 ) sin( ) 6 6 2 2 2 6 6 3 ( 5 2 2 2 2 6 6 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k x x k x k x x k x k π π π π π π π π π π π + = − + ⇔ − + = − ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ + = − + = − + = ⇔ ⇔ ∈ + = + + = + )Z Câu 3. Giải bất phương trình: x + 1 + 2 4 1x x− + ≥ 3 x ĐK: 2 4 1 0 2 3 0 x x x x − + = <=> ≥ + ≥ . Khi đó ta có: x + 1 + 2 4 1x x− + ≥ 3 x .(*) x + 1 ≥ 3 x - 2 4 1x x− + . TH1: 3 x - 2 4 1x x− + ≤ 0. 3 x ≤ 2 4 1x x− + 9x≤ x 2 -4x+1 x≥ 13+ 165 2 (vì x ≥ 2+ 3 ). Khi đó (*) luôn đúng. TH2: 3 x - 2 4 1x x− + > 0 13- 165 2 < x < 13+ 165 2 (*) (x+1) 2 ≥ (3 x - 2 4 1x x− + ) 2 0 ≥ 3x - 6 2 ( 4 1)x x x− + Hư ớng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khố i B Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - x 2 ≤ 4x(x 2 -4x+1) 4x 2 – 17x + 4≥ 0 x≥ 4; x ≤ 1 4 ( Do x ≥ 2+ 3 ). Kết hợp với điều kiện => 4 ≤ x< 13+ 165 2 . Kết luận: x≥4. Câu 4. Tính tích phân 1 3 4 2 0 x 3x 2 x I d x = + + ∫ Đặt 2 x t= dx 2 dt x⇒ = Đổi cận ta có: 1 1 2 0 0 1 . 1 . 2 3 2 2 ( 1).( 2) t dt t dt I t t t t = = + + + + ∫ ∫ 1 0 1 2 1 ( ) 2 2 1 dt t t = − + + ∫ 1 1 1 2ln 2 ln 1 0 0 2 t t = + − + 1 1 9 (2ln3 3ln 2) ln 2 2 8 = − = . Câu 5. Hình vẽ: Học sinh tự vẽ △ SAC = △ SBC (c.c.c) (1) H là hình chiếu của A trên SC (2) Từ (1) và (2) suy ra: H cũng là hình chiếu của B trên SC. ( ) BH SC SC ABH AH SC ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Gọi M là trung điểm AC thì (SM AC⊥ △ SAC cân) 2 2 2 2 15 7 4 16 4 a a SM SA AM a= − = − = 15 4 a BH AH= = ⇒△ ABH cân tại H. Gọi K là trung điểm của AB thì HK AB⊥ 2 2 2 2 2 15 11 16 4 4 1 1 11 11 . . 2 2 4 8 ABH a a a HK AH AK a a S HK AB a = − = − = = = = △ 2 3 1 1 7 11 7 11 . . . 3 3 4 8 96 ABH ABH a a a V SH S= = = △ △ Hư ớng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khố i B Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Câu 6. Ta có: 1= x 2 +y 2 +z 2 =(x+y+z) 2 – 2(xy+yz+zx) ⇒ xy+yz+zx= 1 2 − . ⇒ x 3 +y 3 +z 3 =(x+y+z) 3 – 3(xy-y)(y+z)(z+x) = 0 – 3(-z)(-x)(-y) = 3xyz. P= (x 2 +y 2 +z 2 )( x 3 +y 3 +z 3 ) - x 2 y 3 - x 2 z 3 - y 2 z 3 - y 2 z 3 - z 2 x 3 - z 2 y 3 = 3xyz - x 2 y 2 (x+y) - z 2 y 2 (z+y) - x 2 z 2 (x+z) = 3xyz - x 2 y 2 z - z 2 y 2 x - x 2 z 2 y = 3xyz + xyz(x+y+yz+zx) = 5 . 2 xyz Vì x+y+z=0 nên trong 3 số phải có ít nhất một số ≥ 0, một số ≤ 0. TH1: Nếu có một số ≤ 0, hai số ≥ 0 thì P ≤ 0. TH2: Nếu có một số ≥ 0, hai số ≤ 0, thì không mất tính tổng quát, có thể giả sử x ≥ 0 và y ≤ 0, z ≤ 0. Đặt a = x, b = -y, c = -z thì a, b, c ≥ 0 và : 2 2 2 (1) 1 (2) 5 2 a b c a b c P abc = + + + = = Từ (1), (2) có : (b+c) 2 +b 2 +c 2 = 1. b 2 +bc+c 2 = 1 2 (b+c) 2 – bc = 1 2 bc = (b+c) 2 - 1 2 P= 3 5 5 5 1 ( ) [( ) ( )] 2 2 2 2 abc b c bc b c b c= + = + − + Mà 1= (b+c) 2 +b 2 +c 2 ≥ (b+c) 2 + 2 2 ( ) 3 ( ) 2 2 b c b c + = + ⇒b+c ≤ 2 3 . Đặt t = b+c thì 0≤t ≤ 2 3 . P= 3 5 1 ( ) 2 2 t t− P’= 2 15 5 0 2 4 t − = t = 1 6 ± . Nên P ≤ 5 6 6 . Dấu “=” xảy ra khi 2 2 2 1 3 6 1 2 t b c b c b bc c = + = <=> = = + + = Vậy MaxP = 5 6 6 khi 1 6 2 6 y z x − = = = Hư ớng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khố i B Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Câu 7.a. Gọi (C) là đường tròn cần tìm, có tâm I, bán kính R. ( 1 C ) có tâm O (0; 0) và bán kính 1 R = 2 Ta có: IO ⊥ AB Mà AB ⊥ d => IO // d. Phương trình IO là: 0x y x y − = ⇔ = Tọa độ I có dạng I (a; a) Do I ∈ 2 ( )C nên: 2 2a 12a+18=0 − ⇔ a = 3 hay I (3; 3) Mà (C) tiếp xúc d nên R = d [I; d] 2 2 3 3 4 2 2 1 ( 1) − − = = + − Phương trình (C): 2 2 ( 3) ( 3) 8x y − + − = . Câu 8.a. 1 2 : 2 (1 2 ; ; 2 ) x t d y t z t I d I t t t = + = = − ∈ ⇒ + − Ta có: 2 2 2 IA IB R = = ⇔ (1-2t) 2 +(1-t) 2 +(2t) 2 =(-3-2t) 2 +(3-t) 2 +(2+2t) 2 ⇔ t = -1 ⇒ I(1; -1; 2) ⇒ R 2 = 17 Vậy (S): 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) 17x y z − + + + − = Câu 9.a. Số cách chọn 4 học sinh là: 4 25 C Số cách chọn 4 học sinh mà không có nam là: 4 10 C Số cách chọn 4 học sinh mà không có nữ là: 4 15 C Vậy xác suất gọi 4 học sinh có cả nam và nữ là: 4 4 4 25 10 15 4 15 0,875 C C C P C − − = = . Câu 7.b. Hình vẽ: Học sinh tự vẽ Từ phương trình đường tròn: 2 2 4 x y + = ⇒ bán kính 2R = và tâm O (0; 0) Gọi A (-a; 0) ; D (0; b) (a; b > 0) Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2OH OA OD a b = + ⇔ = + 2 2 2 2 4a 4b a b ⇔ + = (1) Hư ớng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khố i B Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - Theo giả thiết: AC = 2 BD ⇔ 2a = 2.2b ⇔ a = 2b. (2) Từ (1) và (2) 2 2 2 2 4a 4 2 b a b a b + = ⇔ = 2 2 a 20 5b = ⇔ = Vậy phương trình (E) là: 2 2 1 20 5 x y = = . Câu 8.b. Gọi (P) cắt Ox tại B(b;0;0) ; cắt Oy tại C(0;c;0) Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 1 3 x y z b c + + = Phương trình đường thẳng AM đi qua A(0;0;3) và có vec-tơ chỉ phương (1;2; 3) AM U AM= − 2 3 3 x t y t t R z t = = ∈ = − Trọng tâm △ ABC: ( ; ;1) 3 3 b c G G ∈ đường thẳng AM 3 2 2 4 3 2 1 3 3 3 b t b c t c t t = = ⇔ = ⇔ = = − = Vậy phương trình mặt phẳng (P): 1 6 3 4 12 0 2 4 3 x y z x y z+ + = ⇔ + + − = Câu 9.b. 2 2 3 4 0z iz− − = 2 ' ' 1b ac∆ = − = 1 2 3 1 3 1 z i z i = + = − Viết dạng lượng giác: 1 3 1 ( os isin ) 2( os isin ) 3 3 z i r c c π π ϕ ϕ = + = + = + 2 1 3 2 2 3 1 1 3 2( ) 2( os isin ) 2 2 3 3 z i i i c π π = − = − + = − + = + Giáo viên : Tổ Toán Hocmai.vn Nguồn : Hocmai.vn . 1 2 bc = (b+ c) 2 - 1 2 P= 3 5 5 5 1 ( ) [( ) ( )] 2 2 2 2 abc b c bc b c b c= + = + − + Mà 1= (b+ c) 2 +b 2 +c 2 ≥ (b+ c) 2 + 2 2 ( ) 3 ( ) 2 2 b c b c + = + b+ c ≤ 2 3 . Đặt t = b+ c. a = x, b = -y, c = -z thì a, b, c ≥ 0 và : 2 2 2 (1) 1 (2) 5 2 a b c a b c P abc = + + + = = Từ (1), (2) có : (b+ c) 2 +b 2 +c 2 = 1. b 2 +bc+c 2 = 1 2 (b+ c) 2 – bc = 1 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM HỌC 2011 -2012 MÔN: TOÁN Hư ớng dẫn giải đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 Môn Toán - Khố i B Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học