DE VA DAP AN THI THU DAI HOC 2013

TRNGTHPTCHUYấNTNHLOCAITHITHIHCLN 1NM HC: 20122013 T:Toỏn TinhcMễN:TON (KhiA+A 1 +B+D) Thigian:180phỳt(Khụngkthigianphỏt) I.PHNCHUNGCHOTTCCCTHSINH(7.0im). Cõu1(2.0im). Chohms ( 1) 1 x m y m x + = ạ + (C m ) a)Khosỏtsbinthiờnvvth(C)cahmskhim=1. b) GiAlgiaoimcath(C m )vitrchonhcũnBlimcúhonhbng1thucthca(C m ), kvk 1 lnltlhsgúccatiptuynvi(C m )tiAvB.Tỡmttccỏcgiỏtrcathamsmsaocho|k+k 1 |t giỏtrnhnht. Cõu2(2.0im). a) Giiphngtrỡnh 2 3 2 os(2 ) 3sin( 2 ) 1 2cos ( ) 2 4 c x x x p p p - + - = - - b) Giihphngtrỡnh ( )( ) 3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 2 2 x y x x y x y y y x y x - - ỡ - + = ù ớ - = + - + ù ợ Cõu3(1.0im).Tớnhtớchphõn 1 2 0 . ( 1). x x x e x x I dx x e + + = + ũ Cõu4(1.0im). Chox,y,zlcỏcsthcdngvthomón iukin 2012xy yz zx xyz + + = Tỡm giỏtrlnnhtcabiuthc: 1 1 1 2 2 2 A x y z x y z x y z = + + + + + + + + Cõu5(1. 0im). ChotdinABCDcúABCltamgiỏcvuụngtiA,AB=a, 3,A C a DA DB DC = = = .Bit rngDBCltamgiỏcvuụngvimEnmtrờnDAsaocho 2EA ED = - uuur uuur .TớnhthtớchtdinEBCDtheoa. PHNRIấNG(3.0im).ThớsinhchclmmttronghaiphnAhoc phn B. A.Theochngtrỡnhnõngcao. Cõu6a(1.0im).TrongmtphngtoOxychotamgiỏcABCcúA(13)B(11)C(30).Lpphngtrỡnh ngthngdbitdiquaAvcựngvingthngdcngiquaAchiatamgiỏcABCthnhbaphncúdin tớchbngnhau. Cõu7a (1.0im).TronghtrcOxyzchohaingthng 1 1 2 : 2 1 1 x y z d - + = = - v 2 1 2 : 1 3 x t d y t z =- + ỡ ù = + ớ ù = ợ VitphngtrỡnhmtphngtrungtrccaMNbitrngMthucd 1 cũnNthucd 2 saochokhongcỏchMNl ngnnht. Cõu8a(1.0im).Chotp { } 2 : 7 0A x x x = ẻ - Ê Ơ chnngunhiờnrabasttpA.Tớnhxỏcsutbas cchnracútnglmtschn. B.Theochngtrỡ nhchun. Cõu6b(1.0im).TrongmtphngtoOxychohaingthngd 1 :2x+y2=0d 2 :x2y+1=0.GiA,B,Clnlt lhỡnhchiuvuụnggúccaim 5 12 ( ) 13 13 M - xungd 1 ,d 2 vtrcOx.ChngminhrngbaimA,B,Cthnghng. Cõu7b(1.0im).TronghtrcOxyzchohaingthng 1 1 2 : 2 1 1 x y z d - + = = - v 2 1 2 : 1 3 x t d y t z =- + ỡ ù = + ớ ù = ợ imMthucd 1 ,imNthucd 2 saochokhongcỏchMNlngnnht.VitphngtrỡnhmtcungkớnhMN. Cõu8b(1.0im). Cho 5 1 1 i z i + ổ ử = ỗ ữ - ố ứ chngminhrngz 5 +z 6 +z 7 +z 8 =0. HT www.VNMATH.com TRƯỜNGTHPTCHUYÊNLÀOCAI ĐÁP ÁNĐỀTHITHỬĐẠIHỌCLẦN1NĂMHỌC20122013 TổToánTinhọc MÔN:TOÁN(KHỐIA+A1+B+D) Hướngdẫnchấmgồm 5trang Lưuý: Họcsinhlàmcáchkhácđúngvẫnchođiểmtươngđươngvớibiểuđiểmchấm. Câu ý Nộidung Điểm 1 a (1điểm) Vớim=1thì: x 1 y (C) x 1 - = + 1) TXĐ:D=R\{1} 2) Sựbiếnthiên. *)Tínhđúngcácgiớihạnvàchỉrađúngcácđườngtiệmcận: *)Tínhđúngy’lậpđúngbảngbiếnthiênvàKLđúngvềtínhđơn điệu. 3)Vẽđúngđồthị. 0,25 0,25 0,25 0,25 b (1điểm) Tacó:A(m;0)và m 1 B(1; ) 2 + . Lạicó: 2 1 m y' (x 1) - = + nên 1 1 1 m k ;k 1 m 4 - = = - Suyra: 1 1 1 m 1 1 m 1 1 m k k (do . 0) 1 m 4 1 m 4 1 m 4 - - - + = + = + > - - - Mà: Cauchy 1 1 m 1 1 m 2 1, m 1 1 m 4 1 m 4 - - + ³ = " ¹ - - Dấu“=”xảyra: m 1 1 1 m m 3 1 m 4 = - é - = Û ê = - ë Vậy 1 k k + đạtgiátrịnhỏnhấtbằng1,khi mÎ{-1;3} 0,25 0,25 0,25 0,25 2 a (1điểm) 2 3 2 os(2 ) 3sin( 2 ) 1 2cos ( ) 2 4 c x x x p p p - + - = - - 3 2 osx 3 os2 os( 2 ) 2 c c x c x p Û + = - - 2 osx 3 os2 sin 2c c x x Û + = sin 2 3 os2 osx 2 2 x c x c Û - = sin (2x ) sin( x) 3 2 p p Û = 5 2 2x x+k2 3 2 18 3 ( ) 5 2x ( x) k2 2 3 2 6 x k k Z x k p p p p p p p p p p p é é = = + ê ê Û Û Î ê ê ê ê = - + = + ê ê ë ë 0,25 0,25 0,25 0,25 b (1điểm) Giảihệphươngtrình ( )( ) 3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0(1) 2 2 (2) x y x x y x y y y x y x - - ì - + = ï í - = + - + ï î Giải: www.VNMATH.com Điềukiện : , 0x y x y ³ ì í ³ î Khiđó: Xétpt(2): ( )( ) 2 2 2 (2)x y y y x y x - = + - + ( ) ( ) 2 2 (2)x y y y x y x Û - - = - + *)Nếu 0 0 0 x x y y y = ì - + = Û í = î thayvàohệptthấythỏamãn : Vậy(0;0)làmộtnghiệmcủahệphươngtrình. *)Nếu 0x y y - + ¹ khiđó. ( ) ( ) (2) 2 2 2 ( xy+ y)x y y x y x Û - = - + ( ) ( ) 2 [ 2 ( xy+ y)+1]=0y x y x Û - + ( ) 2 0 2 ( xy+ y)+1=0(vônghiêm) y x y x - = é ê Û + ê ë HPTtrởthành : 3 2 3 2 3 5.6 4.2 0(1) x=2y x y x x y - - ì - + = í î Khiđóthayx=2yvàopt(1) x 2 2 3 3 x 2 2 3 ( ) 1 0 0( ) 2 3 5.6 4.2 0(*) log 4 log 2 3 ( ) 4 2 x x x x y loai x y é = = Þ = é ê ê Û - + = Û Û ê = Þ = ê ê = ë ê ë Vậyhệptcó2nghiệm :(0;0)và 3 3 2 2 (log 4;log 2) 0,25 0,25 0,25 0,25 3 1điểm Tínhtíchphân 1 2 0 . ( 1). x x x e x x I dx x e + + = + ò Tacó: 1 2 1 1 0 0 1 x I I x x I dx dx e x = + + ò ò 123 14243 *)Tính 1 1 0 x x I dx e = ò Đặt x x u x du dx dv e dx v e - - = = ì ì Þ í í = = - î î Khiđó: 1 1 0 1 1 1 2 ( ) 1 0 0 x x x I xe e dx e e e - - - = - + = - - = - ò . *)Tính 1 2 0 1 x I dx x = + ò Đặt 2 2t x x t dx tdt = Þ = Þ = Đổicận :vớix=0thìt=0.vớix=1thìt=1. Khiđó: 1 1 1 2 2 3 2 2 2 0 0 0 1 2 2 (2 ) 2 2 2 2 0 1 1 1 t dt I dt dt t I t t t = = - = - = - + + + ò ò ò *)Tính 1 3 2 0 ; 1 dt I t = + ò Bằngcáchđặtt=tanu.Từđótínhđược 0,5 0,25 0,25 www.VNMATH.com 4 2 3 2 0 1 os tan 1 4 du c u I u p p = = + ò Kếtquả: 2 3 2 I e p = - - 4 1điểm Chox,y,zlàcácsốthựcdươngvàthoảmãn điềukiện 2012xy yz zx xyz + + = . Tìm giátrịlớnnhấtcủabiểuthức: 1 1 1 2 2 2 A x y z x y z x y z = + + + + + + + +  Chứngminhbổđề: 1 1 ( )( ) 4; , 0x y x y x y + + ³ " > 1 1 1 1 ( )(*) 4x y x y Û £ + + Dấu‘=’cókhix=y. Giảthiết: 1 1 1 2012 2012xy yz zx xyz x y z + + = Û + + = Tacó: (*) (*) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ( ) ( )(1) 2 ( ) ( ) 4 16x y z x y x z x y x z x y z = £ + £ + + + + + + + + + Hoàntoàntươngtựtacó: (*) 1 1 1 2 1 ( )(2) 2 16x y z x y z £ + + + + và (*) 1 1 1 1 2 ( )(3) 2 16x y z x y z £ + + + + Cộngvếvớivế(1);(2)và(3)tanhậnđược: 1 1 1 1 1 1 1 2012 ( ) 503 2 2 2 4 4 A x y z x y z x y z x y z = + + £ + + = = + + + + + + Alớnnhất=503đạtđượckhix=y=z=3/2012 0.25 0,25 0,25 0,25 5 (1điểm) ChotứdiệnABCDcóABClàtamgiácvuôngtạiA, AB=a, 3,A C a DA DB DC = = = .BiếtrằngDBClàtamgiác vuôngvàđiểmEnằmtrênDAthỏamãn 2EA ED = - uuur uuur .Tínhthể tíchtứdiệnEBCDtheoa.  Tacó: 1 1 3 3 DEBC DEBC D ABC DABC V DE V V V DA = = Þ = *)TínhV ABCD 0,25 A D C I B E www.VNMATH.com DoDA=DB=BCnênhìnhchiếucủaDlên(ABC)chínhlàtâm đườngtrònngoạitiếptamgiácABC,tứclàtrungđiểmIcủaBC. TatínhđượcBC=2a,từtamgiácDBCvuôngcântạiDnênchiều caoDI=1/2BC=a.Khiđó: 3 3 1 1 3 3 . . . . 3 ( ) 3 6 6 18 DABC ABC DEBC a a V DI S a a a V dvtt = = = Þ = 0,25 0,25 6a 1điểm TrongmặtphẳngtoạđộOxychotamgiácABCcóA(1;3);B( 1;1);C(3;0).Lậpphươngtrình đườngthẳngdbiếtdđiquaAvà cùngvớiđườngthẳngd’cũngđiquaAchiatamgiácABCthành baphầncódiệntíchbằngnhau.  GọiM,NlàcácđiểmthuộccạnhBCsaochoAM,ANchiatam giácABCthànhbaphầncódiệntíchbằngnhau.Khiđóbatam giácABM,AMNvàANCcócùngchiềucaoxuấtpháttừAnên. BM=MN=NC. Suyra: 1 2 ; 3 3 B M BC BN BC = = uuuur uuur uuur uuur Lạicó: (4; 1); ( 1; 1); ( 1; 1) M M N N B C B M x y BN x y = - = + - = + - uuur uuuur uuur Dovậy : 1 1 2 ( ; ) : 7 2 1 0 3 3 3 B M BC M AM x y = Þ Þ - - = uuuur uuur 2 5 1 ( ; ) : 4 7 0 3 3 3 B N BC N AN x y = Þ Þ + - = uuur uuur Kếtluận :Phươngtrìnhcầntìm :7x2y1=0và4x+y7=0 0,5 0,25 0,25 7a 1điểm TronghệtrụcOxyzchohaiđườngthẳng 1 1 2 : 2 1 1 x y z d - + = = - và 2 1 2 : 1 3 x t d y t z =- + ì ï = + í ï = î ViếtphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủaMNbiếtrằngMthuộc d 1 cònNthuộcd 2 saochokhoảngcáchMNlàngắnnhất.  GọiM(2t;1t;2+t)thuộcd 1 cònN(1+2s;1+s;3)thuộcd 2 Khiđó: (2 1 2 ; ; 5)NM t s t s t + - - - - uuuur . MNngắnnhấtkhivàchỉkhiMNlàđườngvuônggócchungcủa d 1 vàd 2 khiđó: 1 2 . 0 1 . 0 NM u t s NM u ì = ï Û = = í = ï î uuuurur uuuuruur VậyM(2;0;1)vàN(1;2;3) Mặtphẳngtrungtrực(P)củaMNđiquatrungđiểmI(3/2;1;2)của MNvànhận (1; 2; 4)NM - - uuuur làmvéctơpháptuyếnnêncódạng: 2x4y8z+29=0(P) 0,25 0,25 0,25 0,25 8a 1điểm Chotập { } 2 : 7 0A x x x = Î - £ ¥ chọnngẫunhiênrabasốtừ tậpA.Tínhxácsuấtđểbasốđượcchọnracótổnglàmộtsốchẵn.  Tacó:A={0;1;2;…;7} Khônggianmẫu: 3 8 C W = . A=‘’Biếncốlấyra3sôcótổnglàsốchẵn’’. Để3sốlấyracótổngbasốlàsốchẵnthìhoặccảbasốđềulàsố 0,25 www.VNMATH.com chẵn,hoặc1sốchẵnvà2sốlẻnên : 3 1 2 4 4 4 . A C C C W = + Khiđóxácsuấtlà: 3 1 2 4 4 4 3 8 . ( ) C C C P A C + = 0,5 0,25 6b 1điểm TrongmặtphẳngtoạđộOxychohaiđườngthẳngd 1 :2x+y2=0; d 2 :x2y+1=0.GọiA,B,Clầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa điểm 5 12 ( ; ) 13 13 M - xuốngd 1 ,d 2 vàtrụcOx.Chứngminhrằngba điểmA,B,Cthẳnghàng.  Giải. A(a;22a)thuộcd 1 ;B(2b1;b)thuộcd 2 5 38 18 12 ( ; 2 ); (2 ; ) 13 13 13 13 MA a a MB b b - - - + uuur uuur Từ 1 81 81 32 . 0 ( ; ) 65 65 65 MAu a A = Þ = Þ - uuur ur 2 24 17 24 . 0 ( ; ) 65 65 65 MB u b B = Þ = Þ - uuur uur Mặtkhác: 5 ( ;0) 13 C khiđó: 56 32 42 24 3 ( ; ); ( ; ) 65 65 65 65 4 AC BC BC AC - - Þ = - uuur uuur uuur uuur VậyA,B,Cthẳnghàng. 7b 1điểm Tươngtự(7a).TâmmặtcầulàIvàbánkínhMN/2 8b 1điểm Cho 3 1 1 i z i + æ ö = ç ÷ - è ø chứngminhrằngz 5 +z 6 +z 7 +z 8 =0.  Tacó: 5 5 5 2 5 2 1 1 2 2 1 1 2 i i i i z i i i i æ ö + + + æ ö æ ö = = = = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - è ø è ø è ø Dođó:z 5 +z 6 +z 7 +z 8 =z 5 (1+z+z 2 +z 3 )=(i) 5 (1+i+i 2 +i 3 )=0 0,5 0,5 www.VNMATH.com . TRNGTHPTCHUYấNTNHLOCAITHITHIHCLN 1NM HC: 201 22013 T:Toỏn TinhcMễN:TON (KhiA+A 1 +B+D) Thigian:180phỳt(Khụngkthigianphỏt) I.PHNCHUNGCHOTTCCCTHSINH(7.0im). Cõu1(2.0im) î ViếtphươngtrìnhmặtphẳngtrungtrựccủaMNbiếtrằngM thu c d 1 cònN thu cd 2 saochokhoảngcáchMNlàngắnnhất.  GọiM(2t;1t;2+t) thu cd 1 cònN(1+2s;1+s;3) thu cd 2 Khiđó: (2. uuur .Tínhthể tíchtứdiệnEBCDtheoa.  Tacó: 1 1 3 3 DEBC DEBC D ABC DABC V DE V V V DA = = Þ = *)TínhV ABCD 0,25 A D C I B E www.VNMATH.com DoDA=DB=BCnênhìnhchiếucủaDlên(ABC)chínhlàtâm đườngtrònngoạitiếptamgiácABC,tứclàtrungđiểmIcủaBC. TatínhđượcBC=2a,từtamgiácDBCvuôngcântạiDnênchiều caoDI=1/2BC=a.Khiđó: 3