DE THI THU DH THPT TAM DAO-VP

TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO ĐỀ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN 4 NĂM 2012 – 2013 Môn: Toán – Khối A – Lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số 2 4 1 x y x − = + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1). Câu II (2,0 điểm): 1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 3 4 0 2011( ) 12 x xy y x y x xy y x y  − + − + − =   + + + − =   2. Giải phương trình: 8 1 3 tan 6 tan 3coscos3sin.sin 33 −=       +       − + ππ xx xxxx Câu III (1,0 điểm): Tính tích phân: 2 1 ln ln 1 ln e x I x dx x x   = +  ÷ +   ∫ Câu IV (1,0 điểm): Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K = h. Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 9 9 9 9 9 9 6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 x y y z z x P x x y y y y z z z z x x + + + = + + + + + + + + PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 4 3 4 0x y x+ + − = . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình 2 3 2 (t R) 4 2 x t y t z t = +   = − ∈   = +  . Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất. Câu VII.a (1,0 điểm): Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện iziz −+=−+ 351 .Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. B. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2,0 điểm): 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng: 2 1 0 3 3 0 ( ) ; ( ') 1 0 2 1 0 x y x y z x y z x y + + = + − + =   ∆ ∆   − + − = − + =   . Chứng minh rằng hai đường thẳng ( ∆ ) và ( '∆ ) cắt nhau. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi ( ∆ ) và ( '∆ ). Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 3 3 log 3 log log log 12 log log x y y x x x y y + = +   + = +  . Hết Họ và tên thí sinh: ……………………… ……Số báo danh: …………… …… TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LÀN 4 NĂM 2012 – 2013 Môn: Toán – Khối A – Lớp 12 Câu I.1 1.0 đ Đáp án Điểm TXĐ: D = R\{-1} Chiều biến thiên: 2 6 ' 0 x D ( 1) y x = > ∀ ∈ + => hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1)−∞ − và ( 1; )− +∞ , hàm số không có cực trị 0.25 Giới hạn: 1 1 lim 2, lim , lim x x x y y y − + →±∞ →− →− = = +∞ = −∞ => Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = 2 0.25 BBT x - ∞ -1 + ∞ y’ + + y + ∞ 2 2 - ∞ 0.25 + Đồ thị (C): 0.25 Đồ thị cắt trục hoành tại điểm ( ) 2;0 , trục tung tại điểm (0;-4) f(x)=(2x-4)/(x+1) f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng Câu II.1 1.0 đ Đáp án Điểm Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có 6 6 ;2 ; ;2 ; , 1 1 1 A a B b a b a b     − − ≠ −  ÷  ÷ + +     0.25 x y Trung điểm I của AB: I 2 2 ; 2 1 1 a b a b a b + − −   +  ÷ + +   Phương trình đường thẳng MN: x + 2y +3= 0 0.25 Có : . 0AB MN I MN  =   ∈   uuur uuuur 0.25 Giải hệ => 0 (0; 4) 2 (2;0) a A b B = −   =>   =   0.25 Câu II.1 1.0 đ Đáp án Điểm Ta cã ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 4 4 0 2011( ) 12 3 2011( ) 12 x y xy x y x xy y x y x xy y x y x y xy x y  − + − − =  − + − + − =   ⇔   + + + − =  − + + − =    0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2011( ) 2 1 0 x y xy x y x y x y x y  − + − − =  ⇔    − − − − + =     0.25 ( ) ( ) 2 4 x y x y xy x y =   ⇔  − + − − =   0.25 2 2 x y x y = =  ⇔  = = −  0.25 Câu II.2 1.0 đ Đáp án Điểm Điều kiện: 0 3 xcos 6 xcos 3 xsin 6 xsin ≠       π +       π −       π +       π − Ta có 1x 6 cot 6 xtan 3 xtan 6 xtan −=       − π       π −=       π +       π − 0.25 Phương trình 8 1 x3cosxcosx3sin.xsin 33 =+⇔ 1 cos 2x cos 2x cos 4x 1 cos 2x cos 2x cos 4x 1 2 2 2 2 8 − − + + ⇔ × + × = 0.25 2 1 x2cos 8 1 x2cos 2 1 )x4cosx2cosx2(cos2 3 =⇔=⇔=+⇔ 0.25       π+ π −= π+ π = ⇔ k 6 x (lo¹i) k 6 x , (k )∈Z . Vậy phương trình có nghiệm π+ π −= k 6 x , (k )∈Z 0.25 Câu Đáp án Điểm III 1.0 đ 2 1 ln ln 1 ln e x I x dx x x   = +  ÷ +   ∫ 0.25 I 1 = 1 ln 1 ln e x dx x x + ∫ , Đặt t = 1 ln x+ ,… Tính được I 1 = 4 2 2 3 3 − 0.25 ( ) 2 2 1 ln e I x dx = ∫ , lấy tích phân từng phần 2 lần được I 2 = e – 2 0.25 Vậy: I = I 1 + I 2 = 2 2 2 3 3 e − − 0.25 Câu IV 1.0 đ Đáp án Điểm SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D : . .S ABCD S AMND V V V= − (M, N xác định như hình vẽ) 0.25 . . .S AMND S AMD S MND V V V= + ; . . . . 1 1 ; . ; 2 4 S AMD S MND S ABD S BCD V V SM SM SN V SB V SB SC = = = = 0.25 . . . 1 2 S ABD S ACD S ABCD V V V= = 0.25 . . . 3 5 8 8 S AMND S ABCD S ABCD V V V V= ⇒ = . haV ABCDS 3 1 2 . = 2 5 24 V a h⇒ = 0.25 Câu IV( Học sinh không vẽ hình, vẽ hình sai không cho điểm) M N A B D C S S' H K Câu V 1.0 đ Đáp án Điểm Có x, y, z >0, Đặt : a = x 3 , b = y 3 , c = z 3 (a, b, c >0 ; abc=1) 0.25 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a P a ab b b bc c c ca a + + + = + + + + + + + + 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) a b a ab b a b a ab b a ab b + − + = + + + + + mà 2 2 2 2 1 3 a ab b a ab b − + ≥ + + (Biến đổi tương đương) 0.25 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 3 a ab b a b a b a ab b − + => + ≥ + + + Tương tự: 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 ( ); ( ) 3 3 b c c a b c c a b bc c c ca a + + ≥ + ≥ + + + + + 0.25 => 3 2 ( ) 2. 2 3 P a b c abc≥ + + ≥ = (BĐT Côsi) => P 2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P≥ = ⇔ Vậy: minP = 2 khi x = y =z=1 0.25 Câu Via.1 1.0 đ Đáp án Điểm A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ 0.25 Phương trình đường thẳng IA : 2 3 2 2 x t y t  =   = +   , 'I IA∈ => I’( 2 3 ;2 2t t + ), 0.25 1 2 ' '( 3;3) 2 AI I A t I= ⇔ = => uur uuur 0.25 Vậy phương trình (C’) là: ( ) ( ) 2 2 3 3 4x y− + − = 0.25 ; Câu VI.a.2 1.0 đ Đáp án Điểm Vì M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d∈ , AB//d. 0.25 Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B 0.25 (MA+ MB) min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng 0.25 => MA = MA’ = MB, MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) 0.25 Câu VII.a 1.0 đ Đáp án Điểm Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R). Ta có iyxiyx )1(3)5(1 +−+=−++ (1) 2222 )1()3()5()1( +++=−++⇔ yxyx 0.25 43 =+⇔ yx . Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + 3y = 4. Mặt khác 162410)34( 22222 +−=+−=+= yyyyyxz 0.25 Hay 5 22 5 8 5 6 52 2 ≥+         −= yz 0.25 Do đó 5 2 5 6 min =⇒=⇔ xyz . Vậy iz 5 6 5 2 += 0.25 Câu VI.b.1 1.0 đ Đáp án Điểm (7;3)BD AB B∩ = , phương trình đường thẳng BC: 2x + y – 17 = 0 0.25 (2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c∈ ⇒ + ∈ ⇒ − ≠ ≠ , 0.25 I = 2 1 2 17 ; 2 2 a c a c+ + − +    ÷   là trung điểm của AC, BD. I 3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈ ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ − − 0.25 M, A, C thẳng hàng  ,MA MC uuur uuuur cùng phương => c 2 – 13c +42 =0  7( ) 6 c loai c =   =  c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 0.25 Câu VI.b.2 1.0 đ Đáp án Điểm Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, ( ∆ ) ∩ ( '∆ ) = A 1 3 ;0; 2 2   −  ÷   suy ra ( ∆ ) cắt ( '∆ ) Phương trình tham số ( '∆ )      += += = tz ty tx 54 21 0.25 (0; 1;0) ( )M − ∈ ∆ , Lấy N ( ')∈ ∆ , )54;21;( tttN =+ sao cho: AM = AN => tọa độ N. Có 2 điểm )6; 5 9 ; 5 2 (N và ) 3 17 ; 3 5 ; 3 1 (N AMN ∆ cân tại A, lấy I là trung điểm MN => đường phân giác của các góc tạo bởi ( ∆ ) và ( '∆ ) chính là đường thẳng AI 0.25 Với )6; 5 9 ; 5 2 (N suy ra I(1/5; 2/5; 3) ta được pt phân giác )( 1 d 15 2 3 47 2 1 − == + x y x 0.25 Với ) 3 17 ; 3 5 ; 3 1 (N suy ra I(1/6; 1/3; 17/6) ta được pt phân giác )( 2 d 4 2 3 12 2 1 − == + x y x 0.25 Câu VII.b. 1.0 đ Đáp án Điểm TXĐ: 0 0 x y >   >  0.25 2 2 2 3 3 3 log 3 log log 3 . 2 . log 12 log log 12 . 3 . x y x y x y y x y x x x y y x y  + = + =   ⇔   + = + =    0.25 2 3 . 2 . x y y x y x =  ⇔  =  0.25 4 3 4 3 log 2 2log 2 x y =   ⇔  =   (t/m TXĐ) 0.25 Hết . danh: …………… …… TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LÀN 4 NĂM 2012 – 2013 Môn: Toán – Khối A – Lớp 12 Câu I.1 1.0 đ Đáp án Điểm TXĐ: D = R{-1} Chiều biến thi n: 2 6 ' 0. TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO ĐỀ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN 4 NĂM 2012 – 2013 Môn: Toán – Khối A – Lớp 12 Thời gian làm. CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số 2 4 1 x y x − = + . 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng