SỞ GD & ĐT BẮC GIANG Trường THPT Lạng Giang số 1 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2 Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toán lớp 10-Khối A và A1 Thời gian làm bài: 150 phút I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: 2 2 2( 1) 1y x m x m= − + + + − , (1) ( m là tham số) và điểm (2; 2)K − 1) Tìm TXĐ, xét sự biến thiên, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi 1m = . 2)Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác KAB có trọng tâm G thuộc đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 1 1C x y− + + = Câu II: (1 điểm)Giải phương trình vô tỷ: 2 6 2 2(2 ) 2 1x x x x− + = − − Câu III: (1 điểm)Giải bất phương trình sau: 2 2 3 3 2 2 3 2x x x x− + ≥ − Câu IV: (1 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2 0 , 2 2 x xy y x y x y x xy y − + + − = ∈ − + = ¡ Câu V: (1 điểm) Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn. Chứng minh rằng : ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 10a b c a b c + + + + ≥ ÷ Câu VI: (1 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 2 cos os cos 1A c B C+ + = . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm phần 1. hoặc phần 2. 1. Theo chương trình chuẩn Câu VIIa: (2 điểm): 1)Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC. Xác định tọa độ đỉnh C,biết ( ) 1; 1H − − là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB,đường phân giác trong của góc A là: 1 : 2 0d x y− + = và đường cao kẻ từ B là: 2 : 4 3 1 0d x y+ − = . 2)Cho hình chữ nhật ABCD đường thẳng chứa cạnh AB là: 1 : 3 5 0d x y− + = .Đường thẳng chứa đường chéo BD là: 2 : 1 0d x y− − = và đường chéo AC đi qua điểm ( ) 9;2M − .Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật. Câu VIIIa: (1 điểm) Cho đường tròn ( ) 2 2 : 2 4 4 0C x y x y+ − + − = và đường thẳng : 2 0d x y− − = , gọi I là tâm đường tròn ( ) C .Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được đến ( ) C hai tiếp tuyến MA,MB(A,B là hai tiếp điểm) và diện tích tứ giác MAIB bằng 12 2. Theo chương trình nâng cao Câu VIIb: (2 điểm): 1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( ) 4; 1A − và hai đường trung tuyến 1 :8 3 0BB x y− + = , 1 : 7 13 9 0CC x y− − = .Tìm tọa độ hai điểm B,C. 2) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2) và đường tròn (C) tâm I có phương trình 2 2 4 2 31 0x y x y+ − + − = .Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có một góc bằng 120 0 . Câu VIIIb: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho ( ) 2;0C và Elip ( ) 2 2 : 1 4 1 x y E + = .Tìm tọa độ các điểm A,B thuộc ( ) E .Biết rằng A,B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều. HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh………………………………….Số báo danh…………………. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH KHÁ GIỎI LÀN 2 MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM HỌC 2012– 2013 Dưới đây chỉ là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận chặt chẽ, chi tiết. Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng. CâuI 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1 (Yêu cầu học sinh làm đầy đủ chi tiết theo các bước,vẽ đồ thị đúng đẹp) 2) Xét phương trình hoành độ giao điểm chung của (P) và Ox: ( ) 2 2 2( 1) 1 0 1x m x m− + + − = Lập luận (P) và Ox cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt.Từ đó có điều kiện: ( ) ( ) 1 0 1 0 1 *m m∆ > ⇔ + > ⇔ > − Với điều kiện (*) thì (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A,Bgiả sử ( ) ( ) 1 2 ;0 ; ;0A x B x . Khi đó tam giác AKB tạo thành có trọng tâm 1 2 2 2 ; 3 3 x x G + + − ÷ .Hay 2 4 2 ; 3 3 m G + − ÷ G thuộc đường tròn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 : 2 1 1 2 1 1 1 3 3 9 9 2 1 2 2 8 1 2 2 1 m m C x y m m m m − + − − + + = ⇔ − + + = ⇔ + = ÷ ÷ = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = − + (T/m(*)) KL 1đ 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm CâuII 1) Điều kiện: 2 1 ≥x . Bpt 2 2 2 1 2 1 4(2 1) 4 2 1 1x x x x x x⇔ + − + − = − + − + ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 1x x x⇔ + − = − + 2 1 2 2 1 1(x x x⇔ + − = − + do 2 vế dương ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 x x x x x x x ≥ ⇔ − = − ⇔ ⇔ = + − = − + 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm Câu III Giải bất phương trình sau: 2 2 3 3 2 2 3 2x x x x− + ≥ − +)Đặt ( ) 2 3 2 0t x x t= − ≥ .Ta có bất phương trình: 2 2 3 2 2 3 0 3 1t t t t t− ≥ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +)Kết hợp với điều kiện 0t ≥ ta nhận: 0 1t≤ ≤ +)Vậy có BPT: 2 2 2 2 3 3 2 0 0 3 2 1 0 3 2 1 1 1 3 x x x x x x x x x ≥ − ≥ ≤ − ≤ ⇔ ⇔ ≤ − ≤ − ≤ ≤ 1 0 3 2 1 3 x x − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ .KL tập nghiệm bất phương trình 1 2 ;0 ;1 3 3 T = − ∪ 0,25điểm 0,5điểm 0,25điểm Câu IV 2) Xét phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 y x xy y y x x = − + = ⇔ − − ⇔ = +)y=2 có phương trình: 2 2 1 2 4 4 0 0 0 x x x x x x x = − + + − = ⇔ − = ⇔ = .Nghiệm ( ) ( ) 1;2 , 0;2 +)x=1 có phương trình: 2 1 3 2 0 2 y y y y = − + = ⇔ = .Nghiệm ( ) ( ) 1;1 , 1;2 KL 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm Câu V Có Do , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn nên có một trong các bất đẳng thức sau xảy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ,a b c b c a c a b ≥ + ≥ + ≥ + . Giả sử 2 2 2 a b c≥ + , khi đó ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 b c a b c a b c a b c b c a b c + + + + + = + + + + + + ÷ ÷ ÷ 2 2 2 2 2 2 4 1 . 4 b c a b c a + ≥ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 4 1 3 2 . 4 10 a a b c a b c b c b c a b c a + + = + + + + ≥ + + + = + + + . Do đó ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 10a b c a b c + + + + ≥ ÷ . 1điểm Câu VI Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 2 cos os cos 1A c B C+ + = .Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. +)Chứng minh được: 2 2 2 cos os cos 1 2cos cos cosA c B C A B C+ + = − +)Sử dụng giả thiết có: 2 2 2 cos os cos 1 2cos cos cos 0 cos 0 cos 0 cos 0 A c B C A B C A B ABCvuong C + + = ⇔ = = ⇔ = ⇒ = V 0,5điểm 0,5điểm Câu VIIa 1)Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC. Xác định tọa độ đỉnh C,biết ( ) 1; 1H − − là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB,đường phân giác trong của góc A là: 1 : 2 0d x y− + = và đường cao kẻ từ B là: 2 : 4 3 1 0d x y+ − = . +)Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua 1 d .Khi đó H thuộc AC V là đường thẳng đi qua H và vuông góc với 1 d ,nên có: : 2 0x y + + = V Gọi I là giao điểm V và 1 d tọa độ I thỏa mãn: ( ) 2 0 2;0 2 0 x y I x y + + = ⇒ − − + = Vì I là trung điểm HH’ nên ( ) ' 3;1H − +)Đường thẳng AC đi qua H’và vuông góc 2 d nên có phương trình : 3 4 13 0x y− + = AC cắt 1 d tại A.Tọa độ A là nghiệm hệ: ( ) 2 0 5;7 3 4 13 0 x y A x y − + = ⇒ − + = +)Do CH đi qua H và vuông góc với AH ,suy ra phương trình của :3 4 7 0CH x y+ + = Tọa độ C là nghiệm hệ: 3 4 7 0 10 3 ; 3 4 13 0 3 4 x y C x y + + = ⇒ − ÷ − + = 2)Cho hình chữ nhật ABCD đường thẳng chứa cạnh AB là: 1 : 3 5 0d x y− + = .Đường thẳng chứa đường chéo BD là: 2 : 1 0d x y− − = và đường chéo AC đi qua điểm ( ) 9;2M − .Tìm tọa 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm độ các đỉnh hình chữ nhật. +)Tìm được tọa độ ( ) 1 2 4;3B d d B= ∩ ⇒ +)Gọi ( ) ( ) ( ) 5 3 ; 4 3 ; 2 2 ;4 3 AC A a a AB MA a a n a a− + ∈ ⇒ = + − + ⇒ = − + uuur uuur Ta có: ( ) ( ) ( ) 1; 3 , 1; 1 , 2 ;4 3 AB BD AC n n n a a= − = − = − + uuur uuur uuur lần lượt là vectơpháp tuyến của AB,BD,AC.Hơn nữa · · · · cos cosABD BAC ABD BAC= ⇒ = +)Mà · · ( ) ( ) 2 2 10 1 2 cos ,cos 5 10 2 4 3 a ABD BAC a a + = = − + + .Nên có ( ) ( ) 2 2 2 3 10 1 2 2 3 0 1 5 10 2 4 3 a a a a a a a = − + = ⇔ + − = ⇒ = − + + +)Với a=-3 không thỏa mãn vì AC song song BD +)Với a=1 ( ) 2;1A⇒ − .Đường thẳng AD đi qua A và vuông góc AB nên có phương trình 3x+y+5=0.Tọa độ D là nghiệm hệ ( ) 1 0 1; 2 3 5 0 x y D x y − − = ⇒ − − + + = +)Gọi 3 1 ; 2 2 I ÷ là trung điểm BD do đó I cũng là trung điểm AC ( ) 5;0C⇒ +)KL 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm Câu VIIIa Cho đường tròn ( ) 2 2 : 2 4 4 0C x y x y+ − + − = và đường thẳng : 2 0d x y− − = , gọi I là tâm đường tròn ( ) C .Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được đến ( ) C hai tiếp tuyến MA,MB(A,B là hai tiếp điểm) và diện tích tứ giác MAIB bằng 12 . +)( C) có tâm I(1;-2) bán kính R=3. ( ) ; 2M t t d− ∈ +)Đặt , 0MI x x= > . 2 2 1 2 2. 3. 9 3 9 2 MAIB MAI S S x x= = − = − V +)Sử dụng gt có: 2 2 2 12 3 9 4 9 25 5x x x x= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = +) ( ) 2 2 2 4 5 1 5 12 0 3 t MI t t t t t = = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = − +)Suy ra M(4;2);M(-3;-5).KL 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm Câu VIIb 1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( ) 4; 1A − và hai đường trung tuyến 1 :8 3 0BB x y− + = , 1 : 7 13 9 0CC x y− − = .Tìm tọa độ hai điểm B,C. +) ( ) 1 ;8 3B BB B b b∈ ⇒ − , 1 C là trung điểm AB nên có 1 4 ;4 2 2 b C b + − ÷ +) 1 1 C CC∈ nên suy ra ( ) ( ) ( ) 7 4 13 4 2 9 0 1 1; 11b b b B+ − − − = ⇔ = − ⇒ − − +)Tương tự tìm được ( ) 2;11C − . +)KL 2)Đường tròn (C) có tâm I(2 ;-1) và bán kính R=6 Ta có tam giác IAB cân tại I suy ra góc AIB bằng 120 0 Gọi H là trung điẻm của AB suy ra IH = IA.cos60 0 = 3 ⇒ Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua M và khoảng cách từ I đến (d) bằng 3 +)Đường thẳng (d) có dạng a(x -1)+ b(y - 2) = 0 (a 2 +b 2 >0) ax 2 0by a b ⇔ + − − = 2 2 2 2 2 2 3 0 ) ( ; ) 3 ( 3 ) 9( ) 8 6 0 4 3 a b a d I d a b a b a ab a b a b − = + = = ⇔ − = + ⇔ + = ⇔ = − + 0,25iểm 0,25iểm 0,25iểm 0,25iểm 0,25iểm 0,25iểm +)Với a = 0 Phương trình đường thẳng (d) là y=2 +)Với 4a =-3b ;Chọn a=3 ;b=-4 Phương trình đường thẳng (d) là 3x-4y+5=0 0,25iểm 0,25iểm Câu VIIIb +)Gọi ( ) 0 0 ;A x y ,do A,B đối xứng nhau qua trục hoành nên ( ) 0 0 ;A x y− .Suy ra ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 4 , 2AB y AC x y= = − + .Vì ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 4 1 4 1 4 x y x A E y − ∈ ⇒ + = ⇔ = (1) +)Tam giác ABC đều nên: ( ) 2 2 2 0 0 0 4 2AB AC y x y= ⇔ = − + (2) Từ (1) và (2) ta có 0 2 0 0 0 2 7 16 4 0 2 7 x x x x = − + = ⇔ = +) ( ) 0 0 2 0x y A C l= ⇒ = ⇒ ≡ +) 0 0 2 4 3 7 7 x y= ⇒ = .KL 2 4 3 2 4 3 ; , ; 7 7 7 7 A B − ÷ ÷ ÷ ÷ hoặc 2 4 3 2 4 3 ; , ; 7 7 7 7 A B − ÷ ÷ ÷ ÷ 0,25iểm 0,25iểm 0,25iểm 0,25iểm . THPT Lạng Giang số 1 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2 Năm học: 2012 – 2013 Môn: Toán lớp 10 -Khối A và A1 Thời gian làm bài: 150 phút I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I:. và tam giác ABC đều. HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh ……………………………….Số báo danh…………………. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH KHÁ GIỎI LÀN. Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng. CâuI 1 )Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số với m=1 (Yêu cầu học sinh làm đầy đủ chi tiết theo các bước,vẽ đồ thị đúng đẹp) 2) Xét