đề HSG 8 cẩm khê 2012-2013

CHU TUẤN NAM THCS YÊN DƯỠNG –CẨM KHÊ -PT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM KHÊ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/05/2013 Câu 1 (3 điểm) Cho biểu thức A=15n 2 -16n-15 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A là 1 số nguyên tố Câu 2: ( 5 điểm ) Cho biểu thức A= 4 4 3 2 16 4a 8a 16a 16 a a − − + − + a. Rút gọn biểu thức A b. Tìm giá trị nguyên của A để biểu thức A có giá trị nguyên Câu 3 ( 3 điểm ) Giaỉ phương trình sau 2 2 4x 3x 1 4x 8x 7 4x 10x 7 + = − + − + Câu 4 ( 7 điểm ) Cho hình vuông ABCD có cạnh a , điểm E thuộc cạnh CD , điểm F thuộc cạnh BC sao cho góc EAF= 45  ,Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến EF , Gọi G,I theo thứ tự là giao của BD và AF,AE 1. Chứng minh rằng a. ED=EH , FD=FH b. BG 2 +DI 2 =GI 2 2. Gọi M là giao của AH và BD , kẻ , ( D, ) MP DC MQ BC P C Q BC ⊥ ⊥ ∈ ∈ Xác định vị trí của M để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất Câu 5 (2 điểm ) Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 1 x y y z z x x y y z z x + + + + + ≥ + + + Gợi ý bài giải Câu 1 (3 điểm) Cho biểu thức A=15n 2 -16n-15 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A là 1 số nguyên tố Giải Ta có A=(3n-5)(5n+3) Ta có n là số tự nhiên nên 3n-5 và 5n+3 là ước dương của số nguyên tố A Đề chính thức CHU TUẤN NAM THCS YÊN DƯỠNG –CẨM KHÊ -PT Do 5n+3>3n-5 nên ==> 3 5 1 5 3 n n A − =   + =  ==> n=2 , thay n=2 vào tính được A=13 Thỏa mãn , vậy n=2 là giá trị duy nhất cần tìm Câu 2: ( 5 điểm ) Cho biểu thức A= 4 4 3 2 16 4a 8a 16a 16 a a − − + − + a.Rút gọn biểu thức A b.Tìm giá trị nguyên của A để biểu thức A có giá trị nguyên Giaỉ a)Điều kiện 2 a ≠ 2 2 2 ( 2)( 2)( 4) 2 ( 2) ( 4) 2 a a a a A a a a − + + + = = − + − b) 4 1 2 A a = + − Để A là số nguyên thì 4 2 a − là số nguyên , khi đó a-2 là ước của 4 từ đó tìm được a {6, 2,3,1,4,0} ∈ − Câu 3 ( 3 điểm ) Giaỉ phương trình sau 2 2 4x 3x 1 4x 8x 7 4x 10x 7 + = − + − + ĐK x R ∈ Đặt 2 4x 8x 7 − + =t ta được phương trình 2 2 4x 3x 1 2x 9 x 8x 0 ( )( 8x) 0 8x t t t t t x t t x t + = − ⇔ − + = ⇔ − − = =   =  Với t=x ta có phương trình 2 2 4x 9x 7 0 9 21 (2x ) 0 4 16 − + = ⇔ − + = phương trình vô nghiệm Với t=8x ta có phương trình 4x 2 -16x+7=0 CHU TUẤN NAM THCS YÊN DƯỠNG –CẨM KHÊ -PT (2x 7)(2x 1) 0 7 2 1 2 x x ⇔ − − =  =    =   Câu 5 (2 điểm ) Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 1 x y y z z x x y y z z x + + + + + ≥ + + + Trước hết ta sẽ chứng minh bổ đề phụ sau, với mọi a,b dương ta có 4 4 3 3 2( ) ( )( ) a b a b a b + ≥ + + Thật vậy biến đổi tương đương ta đưa về 2 2 2 ( ) ( ) 0 a b a ab b − + + ≥ Bất đẳng thức này luôn đúng , thế thì 4 4 3 3 3 3 4 4 4 4 3 3 2( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b + ≥ + + + + ⇒ + ≥ + + ⇒ ≥ + Như vậy ta có 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 2 2 2 x y x y x y y z y z y z z x z x z x + + ⇒ ≥ + + + ≥ + + + ≥ + ==> 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 x y y z z x x y y z z x x y y z z x + + + + + + + + ≥ + + = + + + Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1/3 Câu 4 ( 7 điểm ) Cho hình vuông ABCD có cạnh a , điểm E thuộc cạnh CD , điểm F thuộc cạnh BC sao cho góc EAF= 45  ,Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến EF , Gọi G,I theo thứ tự là giao của BD và AF,AE 1.chứng minh rằng a. ED=EH , FD=FH b. BG 2 +DI 2 =GI 2 CHU TUẤN NAM THCS YÊN DƯỠNG –CẨM KHÊ -PT 2. Gọi M là giao của AH và BD , kẻ , ( D, ) MP DC MQ BC P C Q BC ⊥ ⊥ ∈ ∈ Xác định vị trí của M để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất Giải Hình vuông ABCD cạnh a nên ta tính được D 2 AC B a = = a) Xét BAG ∆ và E CA ∆   E BAG CA = ( vì cùng  45 A F C = −  )   E 45 AC ABG= =      E(g.g) E D ED BAG CA AGB A C AG A ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = ∼ (1) Đồng thời 1 E 2 2 AG BG AB a A EC AC a = = = = 1 E 2 AG A ⇒ = (2) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được D D 1 AF 2 A I ACF AI DI A CF AC ∆ ∆ ⇒ = = = ∼ 1 AF 2 AI ⇒ = (3) Từ (2) và (3) AFE( . . ) E AF AG AI AIG c g c A ⇒ = ⇒ ∆ ∆ ∼   F AGI AE ⇒ = hay   D E AG A H = (4) Từ (1) và (4)   D D AE AEH A E AHE ⇒ = ⇒ ∆ = ∆ (cạnh huyền góc nhọn) ED EH ⇒ = Từ đó ABF AHF ∆ = ∆ ( cạnh huyền cạnh góc vuông) FB FH ⇒ = B Q P M I G H F E C D A CHU TUẤN NAM THCS YÊN DƯỠNG –CẨM KHÊ -PT b) theo phần a ta đã chứng minh được AFE AIG ∆ ∆ ∼ 2 2 1 EF EF 2 2 GI GI⇒ = ⇒ = (5) Cũng theo câu a 2 2 2 2 1 CF 2 2 1 2 2 DI DI CF BG EC BG EC = ⇒ = = ⇒ = 2 2 2 2 2 2 2 CF EF 2 2 2 2 EC CF EC DI BG + ⇒ + = + = = (6) Từ (5) và (6) ==> BG 2 +DI 2 =GI 2 c) Đặt DP=x , BQ =y Ta có EF D D ( ) A ABC A P ABQ CPQ S S S S S= − + + nên 2 EF 1 1 1 ( D. . . ) 2 2 2 A S a A DP AB BQ PC QC = − + + 2 EF 2 1 1 1 ( ax ay ( )( )) 2 2 2 1 1 2 2 A S a a x a y a xy ⇒ = − + + − − = − Dễ thấy 2 ( ) 2 8 xy x y + ≤ (dấu = xảy ra khi x=y) nên 2 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 2 8 x y a xy a + − ≥ − Vậy giá trị nhỏ nhất của EF A S là 2 2 1 ( ) 2 8 x y a + − khi x=y tức là DP=BQ PC QC ⇒ = MP MQ ⇒ = Thế thì ( . . ) DPM MQP c g c DM MB ∆ = ∆ ⇒ = hay M là trung điểm của BD Vậy M là trung điểm của BD thì EF A S Min Nhận xét : Đề thi năm nay khó nhất là câu hình và câu 5 bất đẳng thức , Nếu sử dụng kiến thức hình 9 thì chứng minh khá dễ dàng , tuy nhiên với những kiến thức về tam giác đồng dạng lớp 8 thì việc chứng minh bài hình tương đối khó Với câu 5 chủ yếu sử dụng đến đánh giá quen thuộc 4 4 3 3 2( ) ( )( ) a b a b a b + ≥ + + CHU TUẤN NAM THCS YÊN DƯỠNG –CẨM KHÊ -PT Trong cách trình bầy chắc chắn có nhiều thiếu sót , mong nhận được góp ý của các thầy cô . THCS YÊN DƯỠNG –CẨM KHÊ -PT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM KHÊ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi:. Giaỉ phương trình sau 2 2 4x 3x 1 4x 8x 7 4x 10x 7 + = − + − + ĐK x R ∈ Đặt 2 4x 8x 7 − + =t ta được phương trình 2 2 4x 3x 1 2x 9 x 8x 0 ( )( 8x) 0 8x t t t t t x t t x t + = − ⇔ − + = ⇔. có n là số tự nhiên nên 3n-5 và 5n+3 là ước dương của số nguyên tố A Đề chính thức CHU TUẤN NAM THCS YÊN DƯỠNG –CẨM KHÊ -PT Do 5n+3>3n-5 nên ==> 3 5 1 5 3 n n A − =   + =  ==>