Trong cách trình bầy chắc chắn có nhiều thiếu sót , mong nhận được góp ý của các thầy cô.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM KHÊ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 03/05/2013
Câu 1 (3 điểm)
Cho biểu thức A=15n2-16n-15 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A là 1 số nguyên tố
Câu 2: ( 5 điểm )
Cho biểu thức A=
4
16 4a 8a 16a 16
a a
−
a Rút gọn biểu thức A
b Tìm giá trị nguyên của A để biểu thức A có giá trị nguyên
Câu 3 ( 3 điểm )
Giaỉ phương trình sau 2 4x 2 3x 1
4x 8x 7 + 4x 10x 7 =
Câu 4 ( 7 điểm )
Cho hình vuông ABCD có cạnh a , điểm E thuộc cạnh CD , điểm F thuộc cạnh BC sao cho góc EAF=45 ,Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến EF , Gọi G,I theo thứ tự là giao của BD và AF,AE
1 Chứng minh rằng
a ED=EH , FD=FH
b BG2+DI2=GI2
2 Gọi M là giao của AH và BD , kẻ MP⊥DC MQ, ⊥BC P( ∈CD,Q∈BC) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất
Câu 5 (2 điểm )
Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh rằng
Gợi ý bài giải
Câu 1 (3 điểm)
Cho biểu thức A=15n2-16n-15 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A là 1 số nguyên tố
Giải
Ta có A=(3n-5)(5n+3)
Ta có n là số tự nhiên nên 3n-5 và 5n+3 là ước dương của số nguyên
tố A
Đề chính thức
Trang 2Do 5n+3>3n-5 nên ==> 3 5 1
5 3
n
− =
+ =
==> n=2 , thay n=2 vào tính được A=13 Thỏa mãn , vậy n=2 là giá trị duy nhất cần tìm
Câu 2: ( 5 điểm )
Cho biểu thức A=
4
16 4a 8a 16a 16
a a
−
a.Rút gọn biểu thức A
b.Tìm giá trị nguyên của A để biểu thức A có giá trị nguyên
Giaỉ
a)Điều kiện a ≠2
2
2 2
A
b) 1 4
2
A
a
= +
− Để A là số nguyên thì
4 2
a − là số nguyên , khi đó a-2 là ước của 4
từ đó tìm được a∈ {6, 2, 3,1, 4, 0} −
Câu 3 ( 3 điểm )
Giaỉ phương trình sau 2 4x 2 3x 1
4x 8x 7 + 4x 10x 7 =
ĐK x∈R
Đặt 2
4x − 8x + 7=t ta được phương trình
4x 3x
1 2x
9 x 8x 0
( )( 8x) 0
8x
t t
t t
t x t
t x
t
−
=
=
Với t=x ta có phương trình
2
2
4x 9x 7 0
9 21
4 16
− + =
⇔ − + = phương trình vô nghiệm
Với t=8x ta có phương trình 4x2-16x+7=0
Trang 3(2x 7)(2x 1) 0
7
2
1
2
x
x
=
=
Câu 5 (2 điểm )
Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh rằng
Trước hết ta sẽ chứng minh bổ đề phụ sau, với mọi a,b dương ta có
2(a +b ) ≥ (a b a+ )( +b )
Thật vậy biến đổi tương đương ta đưa về 2 2 2
(a b− ) (a +ab b+ ) ≥ 0
Bất đẳng thức này luôn đúng , thế thì
3 3
4 4
4 4
3 3
2
2
a b a b a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+
Như vậy ta có
4 4
3 3
4 4
3 3
4 4
3 3
2
2
2
x y x y
x y
y z y z
y z
z x z x
z x
+
≥
+
≥
+
==>
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1/3
Câu 4 ( 7 điểm )
Cho hình vuông ABCD có cạnh a , điểm E thuộc cạnh CD , điểm F thuộc cạnh BC sao cho góc EAF=45 ,Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến EF , Gọi G,I theo thứ tự là giao của BD và AF,AE
1.chứng minh rằng
a ED=EH , FD=FH
b BG2+DI2=GI2
Trang 42 Gọi M là giao của AH và BD , kẻ MP⊥DC MQ, ⊥BC P( ∈CD,Q∈BC) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất
Giải
Hình vuông ABCD cạnh a nên ta tính được
a) Xét ∆BAG và ∆CAE
BAG=CA ( vì cùng =45 − F CA )
E 45
AC =ABG=
E(g.g)
BAG CA
AGB A C AG A
∼
(1)
AG BG AB a
A = EC = AC =a =
1
AG
A
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được
D
D 1
A I ACF
AI DI A
CF AC
∼
AF 2
AI
E AF
AG AI
AIG c g c A
AGI FAE
ED EH
FB FH
B
Q
P
M
I
G
H
F
E
C D
A
Trang 5b) theo phần a ta đã chứng minh được
AFE
AIG
∆ ∼ ∆
2 2
GI
GI
Cũng theo câu a
2 2
2 2
2 2
1
2 2
DI
DI CF
BG EC
EC CF EC
Từ (5) và (6) ==> BG2+DI2=GI2
c)
Đặt DP=x , BQ =y
Ta có
2
EF
A
S =a − A DP+ AB BQ+ PC QC
2
EF
2
( ax ay ( )( ))
A
a xy
Dễ thấy
2
( )
xy x+y
2
x y
Vậy giá trị nhỏ nhất của
EF
A
2 2
x y
Nhận xét : Đề thi năm nay khó nhất là câu hình và câu 5 bất đẳng thức , Nếu sử dụng kiến thức hình 9 thì chứng minh khá dễ dàng , tuy nhiên với những kiến thức về tam giác đồng dạng lớp 8 thì việc chứng minh bài hình tương đối khó
2(a +b ) ≥ (a b a+ )( +b )
Trang 6Trong cách trình bầy chắc chắn có nhiều thiếu sót , mong nhận được góp ý của các thầy cô