Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.. Gọi O H, tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm)
Cho hàm số: y= − +x2 2(m+1)x+ −1 m2, (1) (m là tham số) và điểm K(2; 2)−
1) Tìm các giá trị của mđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho tam giác KABvuông tại K
2) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 1] bằng 1
Câu 2 (5,0 điểm)
1) Giải phương trình: 5x2 +14x+ −9 x2− −x 20 5= x+1 (x∈¡ )
2) Giải hệ phương trình:
(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0
1
2 3
2
x y
x y
(x y; ∈¡ )
Câu 3 (5,0 điểm)
1) Cho góc xOy· =600 Gọi M N, là hai điểm tương ứng di động trên Ox Oy, thỏa mãn:
1 1 2012
2013
OM +ON = Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
2) Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c= , = , = Gọi O H, tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
Chứng minh rằng: AH2 =4R2−a2
Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy)cho 3 điểmA(1;1), B(2;0)vàC(3; 4) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm B và C đến đường thẳng ∆ đạt giá trị lớn nhất
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn: x+ y+ z =2013 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
-HẾT -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:……… Người coi thi số 1:……… Người coi thi số 2:………