D là một điểm bất kì trên BC.. Vẽ hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC và nằm cùng một nữa mặt phẳng chúa điểm A bờ là đường thẳng BC.. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AD cắt B
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 1013
MÔN: TOÁN 7
(Thời gian 120 phút)
Bài 1: Cho 1 1 1 1 & 2011 2011 2011 2011
Chứng minh rằng :B
A là một số nguyên
Bài 2 : Tìm x biết
a ( ) 1 ( ) 11
7 x 7 x 0
x− + − −x + =
b T×m x biÕt:
2001
4 2002
3 2003
2 2004
1 + − − − = −
x
Bài 3: Cho 2 3 3 2
bz cy cx az ay bx
Chøng minh r»ng:
a = b = c
Bài 4 : So sánh A & B Biết ( 99 99)100 ( 100 100)99
100 99 & 100 99
Bài 5: Cho tam giác ABC, vuông cân tại A D là một điểm bất kì trên BC Vẽ hai tia Bx và
Cy cùng vuông góc với BC và nằm cùng một nữa mặt phẳng chúa điểm A bờ là đường thẳng
BC Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AD cắt Bx và Cy theo thứ tự tại M và N Chứng minh:
a AM = AD
b A là trung điểm MN
c BC = BM + CN
d Tam giác DMN vuông cân.
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: A =
2 2
x 15
x 3
+ +
Hết
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7
Bài 1: (3điểm)
A = 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 − + − + − + + 99 100 −
51 52 53 99 100
B = 2011 1 1 1 1 1 1
51 52 53 54 99 100
B
2011 Z
Bài 2: (4 điểm)
a (2 điểm) ( ) 1 ( ) 11 ( ) 1 ( )10
7 + 7 + 0 7 + 1 7 0
− x − − x = ⇔ − x − − =
1
+
x
x x x
10
7 0 7 ( 7)− = ⇒ =1 8 6
− = ± ⇒ = =
⇔
b (2 diểm)
Ta có
2001
4 2002
3 2003
2 2004
1 + − − − = −
0
2004 2003 2002 2001
x 2005 x 2005 x 2005 x 2005
0
2004 2003 2002 2001
2004 2003 2002 2001
nên x – 2005 = 0 hay x = 2005
Bài 3: (3 điểm)
Lêi gi¶i:
Ta cã 2 3 3 2
bz cy cx az ay bx
abz acy bcx abz acy bcx
abz acy bcx abz acy bcx
a
− = 0 ⇔ 2bz-3cy = 0 ⇔
y z
b = c (1)
Vµ 3
2
cx az
b
− = 0 ⇔ 3cx-az = 0 ⇔
3
x z
a = c (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã
a = b= c (§PCM)
Bài 4: (3điểm)
Trang 3Hs chứng minh bài toán tổng quát ( n n)n 1 ( n 1 n 1)n
a +b + > a + +b + với mọi a,b nguyên dương Thật vậy không mất tính tổng quát , giả sử a > b
Ta có :
.
n
Vậy ( n n)n 1 ( n 1 n 1)n
a +b + > a + +b +
Áp dụng với a = 100 ; b = n = 99 ta có điều
phải chứng minh
Bài 5: (5điểm).
Vẽ hình chính xác: 0.5đ
Câu a (1,5 đ)
Xét ∆ABM và ∆ADC có:
AB = AC (∆ABC vuông cân)
MAB DAC = (cùng phụ với ·BAD)
0
0
MBA DAC ( 45 ,do Bx BC,
Cy BC v ACB ABC 45 )à
Suy ra ∆ABM = ∆ADC (g-c-g)
Câu b (1đ).
Chứng minh tương tự ta có: ∆ABD = ∆ ACN suy ra AD = AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN Vậy A là trung điểm của MN
Câu c (1đ).
Ta có: BM = CD (∆AMB = ∆ADC)
BD = CN (∆ABD = ∆ACN) Suy ra: BM + CN = BD + CD = BC\
Vậy BM + CN = BC
Câu d (1đ) Xét ∆BMD và ∆CDN có: B Cµ =µ
BM = CD (∆AMB = ∆ADC)
BD = CN (∆ABD = ∆ACN) Nên ∆BMD = ∆CDN(c-g-c)
Suy ra: MD = ND (3)
0
0
v BMD NDC m BMD MDB 90 (vΔMBD vu ng tai B) MDB NDC 90
à
Từ (1) và (2) suy ra: ∆DMN vuông cân tại D
Bài 6: (2 điểm): Ta có
Vậy B lớn nhất khi 2
12
x + 3 lớn nhất hay x2 +3 nhỏ nhất mà x2 ≥0 nên x2 +3≥3
Do đó x2 +3 nhỏ nhất là 3 khi x = 0
Vậy B đạt giá trị lớn nhất khi x = 0 và giá trị lớn nhất là 5
M
N A
C