tich phan on thi dai hoc

1 Tích phân hữu tỷ  Ở phần này ta chỉ xét các tích phân hữu tỷ mà mẫu có thể phân tích được thành nhân tử Cần nhớ: Hãy tách tử thành các đa thức có thể rút gọn được cho mẫu! Ví dụ 1: Tính các tích phân sau 1 0 2 3 0 1 4 11 7 4 ) ) 5 6 3 2 x x a A dx b B dx x x x x − + − = = + + − + ∫ ∫ Lời giải: a) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 1 4 11 4 12 1 4 1 2 3 2 3 2 2 3 5 6 x x x x x x x x x x x x + − + + − = = = − + + + + + + + + + 4 1 1 3 1 2 2 3 2 3 x x x x x     = − − = +        + + + + + Suy ra ( ) 1 1 1 2 0 0 0 4 11 3 1 9 3 ln 2 ln 3 2ln3 ln 4 3ln 2 ln 2 3 2 5 6 x A dx dx x x x x x x   +   = = + = + + + = + − =        + + + + ∫ ∫ b) Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3 2 2 7 4 7 7 3 7 3 7 3 1 3 . . 1 2 3 1 2 1 1 2 3 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x − − + = = + = + − + − + − − + − + − + − + ( ) ( )( ) 2 7 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x             = − + − = − + −                      − + − − + − + − + − ( ) ( ) 2 2 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 1 x x x x x x x x             = − + − − = − +                      − + − + − + − − Suy ra ( ) 0 0 0 3 2 1 1 1 7 4 2 2 1 1 1 1 2ln 1 2ln 3 2 ln 1 3 1 3 2 3 2 1 x B dx dx x x x x x x x x − − −       −      = = − + = − − + − = +            − + − − +   −   ∫ ∫  Với tích phân mà mẫu là đa thức mũ cao thì hãy tách tử thành thành các đa thức có số mũ bé hơn Ví dụ 2: Tính tích phân 1 3 0 (1 ) x I dx x = + ∫ Lời giải: Ta có ( ) 1 1 1 1 3 3 2 3 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 8 (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) 2 1 x x I dx dx dx x x x x x x       + −      = = = − = − + =       + + + + +   +     ∫ ∫ ∫ Bài tập 0 2 1 A 3 2 dx x x − = − + ∫ 1 4 2 0 4 3 dx B x x = + + ∫ 2 2 2 1 7 12 x C dx x x = − + ∫ 1 3 2 2 0 ( 2 10 1). 2 9 x x x dx D x x + + + = + + ∫ 1 3 2 2 1 2 10 16 1 5 6 x x x E dx x x − − + − = − + ∫ 2 3 2 1 2 dx F x x x = + + ∫ 2 5 2 3 2 4 3 1 2 5 6 x G dx x x x + = − − + ∫ 1 3 2 3 2 1 3 6 5 6 x x x H dx x x x − − + + = − + ∫ 1 3 0 (1 2 ) x I dx x = + ∫ 1 2 2 0 J ( 3) ( 1) dx x x = + + ∫ 3 2 9 2 (1 ) x K dx x = − ∫ 4 3 10 2 L ( 1) x dx x = − ∫ Đổi biến loại 1 Các bước phương pháp đổi biến Bước 1: Từ biểu thức ( ) f x lựa chọn phép đổi biến thích hợp Bước 2: Đổi cận Bước 3: Tính tích phân mới (đơn giản hơn tích phân ban đầu)  Phát hiện quan hệ đạo hàm trong biểu thức ( ) f x Ví dụ 1: Tính các tích phân 1 2 0 1 x A dx x = + ∫ 2 1 1 1 x B dx e − = − ∫ 2 1 ln (ln 1) e x C dx x x = + ∫ 0 2 2 sin 2 (2 sin ) x D dx x π− = + ∫ 2 2 sin 4 sin 2 x E e x dx π π = ∫ Lời giải: a) Quan hệ đạo hàm: ( ) 2 2 d x x = . Do đó ta có 1 1 2 2 2 0 0 1 2 1 ( ) 2 2 1 1 x d x A dx x x = = + + ∫ ∫ . Đặt 2 x t = Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Suy ra ( ) 1 1 0 0 ln 1 ln 2 1 dt A t t = = + = + ∫ b) Ta biến đổi 1 1 1 x x x e e e − = − − . Quan hệ đạo hàm ( ) x x d e e = Do đó ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x d e e B dx dx e e e − = = = − − − ∫ ∫ ∫ . Bạn đọc đổi biến x e t = rồi làm tiếp. Đáp số: ln( 1) e + c) Quan hệ đạo hàm: ( ) 1 lnd x x = . Do đó ( ) 2 2 1 1 ln ln ln (ln 1) ln 1 e e x x C dx d x x x x = = + + ∫ ∫ , đặt ln t x = ta được 1 2 2 1 0 ln (ln ) (ln 1) 1 e x t C d x dt x t = = + + ∫ ∫ , giống tích phân A. Đáp số ln 2 C = d) Quan hệ đạo hàm: ( ) sin cos d x x = . Do đó ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 1 2 2 sin 2 2sin 2 sin (2 sin ) (2 sin ) 2 x x t D dx d x dt x x t π π − − − = = = + + + ∫ ∫ ∫ Tích phân cuối đã biết cách giải. Đáp số 2 D = − 3 e) Quan hệ đạo hàm ( ) 2 sin sin 2 d x x = . Do đó ( ) 2 2 1 2 2 sin sin 2 1 4 4 2 sin 2 sin x x t E e x dx e d x e dt e e π π π π = = = = − ∫ ∫ ∫  Nếu biểu thức trong tích phân có chứa ( ) n g x hãy đặt ( ) n t g x = Ví dụ 2: Tính tích phân 2 3 1 1 3 2 x A dx x − + = + ∫ Lời giải: Đặt 3 3 3 2 3 2 t x t x = + ⇒ = + , lấy đạo hàm hai vế ta được 2 t dt dx = , mặt khác 3 2 3 t x − = . Đổi cận x -1 2 t -1 2 Suy ra ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 3 1 1 1 1 2 1 1 1 7 3 . 3 12 6 4 3 2 t t t x t t A dx t dt dt t x − − − − − + +   +    = = = = + =        + ∫ ∫ ∫ Bài tập 1 1 2 0 4 x I dx x = − ∫ 1 3 4 3 2 0 (1 ) I x x dx = + ∫ 1 5 3 6 3 0 (1 ) I x x dx = − ∫ 1 3 4 2 3 0 ( 1) x I dx x = + ∫ 1 2 3 5 0 (1 2 )(1 3 3 ) I x x x dx = + + + ∫ 22 3 3 6 1 3 5 I x dx = + ∫ 4 7 0 1 2 1 I dx x = + ∫ 1 8 0 1 3 2 I dx x = − ∫ 4 2 9 4 3 3 4 x I dx x − = ∫ 1 3 2 10 0 2 I x x dx = − ∫ 1 11 0 2 1 xdx I x = + ∫ 1 2 12 0 ( 1) 1 x I dx x x = + + ∫ 3 2 13 0 1 1 x I dx x + = + ∫ 2 2 3 14 0 ( 4) I x x dx = + ∫ 2 2 15 2 2 1 1 x I dx x x − − + = + ∫ 2 16 3 1 1 1 I dx x x = + ∫ 3 5 3 17 2 0 2 1 x x I dx x + = + ∫ 2 2 18 0 1 x x e I dx e = + ∫ ln2 19 0 1 x I e dx = − ∫ 1 20 0 1 4 x I dx e = + ∫ 1 3 1 21 0 x I e dx + = ∫ 22 1 1 3ln ln e x x I dx x + = ∫ 2 3 23 1 ln 2 ln e x x I dx x + = ∫ 2 24 0 sin 2 sin 1 3cos x x I dx x π + = + ∫ 4 3 25 2 0 sin cos x I dx x π = ∫ 2 2 3 26 0 sin 2 (1 sin ) I x x dx π = + ∫ 3 27 3 6 1 sin cos I dx x x π π = ∫ 4 4 2 28 0 1 2sin 1 sin 2 x I dx x π − = + ∫ 3 29 2 4 tan cos 1 cos x I dx x x π π = + ∫ 4 tan 2 30 2 0 cos x e I x π + = ∫ 2 2 sin 3 31 0 .sin cos x I e x xdx π = ∫ 32 1 sin(ln ) e x I dx x = ∫ 3 33 0 sin .ln(cos ) I x x dx π = ∫ 3 34 0 1 cos 3 sin I dx x x π = + ∫ 4 35 0 sin cos . 3 sin 2 x x I dx x π + = + ∫ 3 36 2 4 6 1 sin cos I dx x x π π = ∫ Đổi biến lượng giác Xét tích phân ( ) c d f x dx ∫ , ta cần chú ý Khi biểu thức ( ) f x chứa 2 2 a x − thì hãy đặt .sin x a α = Khi biểu thức ( ) f x chứa 2 2 x a − thì hãy đặt sin a x α = Khi biểu thức ( ) f x chứa 2 2 a x + thì hãy đặt .tan x a α = Bài tập 1 2 2 3 1 4 A dx x x = − ∫ 2 2 2 1 4 B x x dx − = − ∫ 2 2 0 4 C x dx = + ∫ 3 2 3 1 3 D dx x = + ∫ 3 2 2 1 1 E dx x = − ∫ 0 2 1 1 2 9 F dx x x − = + + ∫ 2 2 1 4 5 G x x dx − = − + ∫ 1 2 4 2 0 1 x H dx x = − ∫ 1 2 0 1 1 I dx x x = + + ∫ Tích phân từng phần Công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a b b b u x dv x u x v x v x du x = − ∫ ∫ Thứ tự đặt ( ) u x : ln sin x x x x e > > > (*) Ví dụ: Tính tích phân sau 2 0 cos x A xe dx π = ∫ Lời giải Theo (*) đặt ( ) cos , ( ) x u x x e dx dv x = = , khi đó theo công thức TPTP ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 cos cos cos . (cos ) cos . sin x x x x x x A xe dx xde x e e d x x e xe dx π π π π π π = = = − = + ∫ ∫ ∫ ∫ 5 ( ) 2 2 2 /2 /2 2 0 0 0 0 1 sin 1 sin (sin ) 1 cos 1 x x x x xe dx xe e d x e xe dx e A π π π π π π = − + = − + − = − + − = − − ∫ ∫ ∫ /2 /2 1 2 1 2 e A e A π π − ⇒ = − ⇔ = . Bài tập 1) 1 0 ( 1) x I x e dx = + ∫ 2) 1 2 0 ( 2) x I x e dx = − ∫ 3) 2 4 0 sin xdx π ∫ 4) 2 1 ln I x xdx = ∫ 5) 2 0 ( 1)sin I x xdx π = + ∫ 6) 2 1 ln e I x xdx = ∫ 7) 2 1 ln e I x xdx = ∫ 8) 1 2 0 x I x e dx = ∫ 1 2 0 9) (2 1) x I x x e dx = + + ∫ 10) ( ) 3 2 0 ln 3 I x x dx = + ∫ 11) I = 2 2 0 sin x e xdx π ∫ 12) I = 3 0 sin .ln(cos ) x x dx π ∫ 13) I = 2 1 3 0 x x e dx ∫ 14) I = 10 2 1 lg x xdx ∫ 15) I = 1 cos(ln ) e x dx π ∫ Diện tích hình phẳng - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số ( ), ( ) y f x y g x = = và hai đường thẳng , ( ) x a x b b a = = > được tính theo công thức ( ) ( ) b a f x g x dx − ∫ . - Khi đó ta cần chia khoảng ( ) ; a b thành các khoảng nhỏ mà tại đó ta xét được dấu của biểu thức ( ) ( ) f x g x − để từ đó phá dấu giá trị tuyệt đối rồi tính tích phân như thường. - Lưu ý: Nếu đề bài chưa cho hai đường thẳng , x a x b = = (chính là hai cận) thì trước tiên ta cần giải phương trình ( ) ( ) f x g x = để tìm cần rồi làm tiếp như trên. - Tương tự, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số ( ), ( ) x f y x g y = = và hai đường thẳng , ( ) y a y b b a = = > được tính theo công thức ( ) ( ) b a f y g y dy − ∫ . Bài tập 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 + 1, y = 3 – x 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = lnx, x = e 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = lnx, x = 1/e, x = e 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = y 3 , x = 8, y = 1 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e x , y = e -x , x = 1 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = x 2 – 2x +2; tiếp tuyến của (P) tại M(3; 5) và trục tung 6 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = –x 2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M(0; – 3 ) ; N(3; 0 ) 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trục Ox, trục Oy; tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = lnx tại giao điểm của đồ thị hàm số đó với Ox 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = –x 2 + 6x – 8; tiếp tuyến của (P) tại đỉnh của (P) và trục tung 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = 2x và x 2 = 2y 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin 3 x; y = cos 3 x và trục Oy (0 ) 4 x π ≤ ≤ 12. Tính diện tích hình phẳng của mỗi phần giới hạn bởi các đường x 2 + y 2 = 16 và y 2 = 6x 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = x 2 – 2x và hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(2; – 9) 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 ; y = 1 8 x 2 và y = 8 x 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 ; y = 1 2 x 2 và y = 2x 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 4 ; 4 4 2 x x y y= − = 17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 4 3 ; 3 y x x y x = − + = + (ĐH – A 2002) 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e + 1)x và y = (1 + e x )x (ĐH – A 2007) 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x 2 +3y = 0 và 2 4 y x = − − . cận Bước 3: Tính tích phân mới (đơn giản hơn tích phân ban đầu)  Phát hiện quan hệ đạo hàm trong biểu thức ( ) f x Ví dụ 1: Tính các tích phân 1 2 0 1 x A dx x = + ∫ 2 1 1 1 x B dx e − = − ∫ . 2 1 4 4 2 sin 2 sin x x t E e x dx e d x e dt e e π π π π = = = = − ∫ ∫ ∫  Nếu biểu thức trong tích phân có chứa ( ) n g x hãy đặt ( ) n t g x = Ví dụ 2: Tính tích phân 2 3 1 1 3 2 x A