1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2011 ĐỒNG THÁP Mơn thi: TỐN - Giáo dục trung học phổ thơng ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn gồm 05 trang I. Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn ch ấm phải bảo đảm khơng làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trong tồn Hội đồng chấm thi. 3) Sau khi cộng điểm tồn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5, lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm). II. Đáp án và thang điểm CÂU Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM I. PHẦN CHUNG 7.0 Câu 1 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): 42 1111 42 4 yxx . 2.0 1. Tập xác định: D 2. Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: 32 y' x x x x 1 . Ta có: 2 x0 y' 0 x x 1 0 x1 1 '0 01 x y x và 10 '0 1 x y x Do đó: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 0;1 + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 1; 0 và 1; b) Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại 1x và y CĐ = 13y + Hàm số đạt cực tiểu tại 0x và y CT = 11 0 4 y c) Giới hạn: x lim y và x lim y d) Bảng biến thiên: x 1 0 1 + y' + 0 0 + 0 y 3 3 11 4 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2 3. Đồ thị: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x y M(x 0 ;y 0 ) (C):y=-1/4x 4 +1/2x 2 +11/4 y=6x+51/4 11/4 3 0.5 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 6 2011yx . 1.0 Gọi 00 ;() M xy C , do tiếp tuyến song song với đường thẳng 6 2011yx nên: 0 '6yx (1) Khi đó: 33 00 00 0 16602xx xx x Với 0 2x thì 0 3 4 y . Suy ra: 3 2; 4 M Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là: 351 62 6 44 yxyx . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 2 1 Giải bất phương trình 2 11 26 log x 3x 2 log 6. (1) 1.0 Điều kiện: 2 1 320 2 x xx x Khi đó: 2 1 2 (1) log x 3x 2 1 2 2 x 3x 2 2 x3x0 0 x 3 Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình (1) là: 0;1 2;3S . 0.25 0.25 0.25 0.25 2 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2 0, , 0, 1 1 x y yxx x . 1.0 Do 3 2 1 x y x liên tục và không dương trên đoạn 0;1 nên diện tích hình phẳng cần tìm được tính bởi công thức: 11 33 22 00 11 xx Sdxdx xx Đặt 2 12txdtxdx 0.25 3 Đổi cận: 12 01 x t x t Suy ra: 12 3 3 2 01 11 2 1 x Sdxdt t x 2 2 1 11 1113 22 28216t (đvdt). Chú ý : Học sinh có thể lập công thức tính S dưới dạng 11 33 22 00 11 xx Sdxdx xx (0.25) 0.25 0.25 0.25 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 2 2sin 2 4 0xxm (1) có nghiệm 5 x; 66 . 1.0 Ta có: 2 cos 2 2sin 2 4 0 2sin 2sin 3 2 x xm x x m Đặt sintx , ta có 51 ;;1 66 2 xt Phương trình (1) trở thành: 2 2232 f ttt m (2) Pt (1) có nghiệm 5 x; 66 Pt (2) có nghiệm 1 ;1 2 t 1 1 ;1 ;1 2 2 min ( ) 3 2 ( ) f tmmaxft Xét hàm số 2 () 2 2 f ttt trên 1 ;1 2 ta có 11 '( ) 4 2 0 ;1 22 ft t t Do 1311 ; , 1 0 2222 fff nên 1 1 ;1 ;1 2 2 31 min ( ) ; ( ) 22 ft maxft Vậy phương trình (1) có nghiệm 5 x; 66 3159 32 2244 mm . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, khoảng cách giữa AA’ và BC là 3 2 a . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. 1.0 Gọi I là trung điểm của BC và J là hình chiếu vuông góc của I lên AA’ 4 ', 'JAAIJ AA, từ giả thiết ta suy ra được: ' ' BC AI B C A AI BC IJ BC A O Do đó IJ là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC. Suy ra: 3 2 a IJ Do ABC là tam giác đều cạnh 2a nên: 2 2 33233 2. 3; 2. , 2 . 2334 3 ABC a AI a a AO a S a a Xét tam giác vuông AIJ ta có: 22 2222 39 3 3 44 2 aa a AJ AI IJ a AJ Từ hai tam giác đồng dạng OAA’ và JAI ta được: '2323 '. 2 32 3 3 A O AO AO a a AO IJ IJ AJ A a Ja Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 3 2 2 .' 23 3 3. 3 ABC a VS AOa a . 0.25 0.25 0.25 0.25 II. PHẦN RIÊNG 3.0 Câu 4a 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S): 222 xyz2x2y2z220 , (P): 3x 2y 6z 28 0 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với (P). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của I trên (P). 1.0 Mặt cầu (S) có tâm 1;1;1I và bán kính 5R và mặt phẳng (P) có VTPT 3; 2; 6n . Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc (P), phương trình d là: 13 1 2 16 xt ytt zt Gọi H là hình chiếu của I lên (P), xét phương trình: 3 3 1 3 2 1 2 6 1 6 28 0 3 9 2 4 6 36 28 0 7 ttt ttt t . Suy ra : 16 1 25 ;; 777 H . 0.25 0.25 0.25 0.25 2 2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P): 3x 2y 6z 28 0 và cắt mặt cầu (S): 222 x y z 2y2y2z220 theo một đường tròn có chu vi bằng 8 . 1.0 Do mặt phẳng (Q) song song với (P) nên phương trình (Q) có dạng: 3x 2y 6z D 0 D 28 Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8 nên có bán kính 4r . Suy ra: 22 (,( )) 25 16 9 3dI Q R r. Ta có: 14 326 (;( )) 3 3 7 21 28 (loai) 9436 D D dI Q D D . Vậy phương trình (Q) là : 3x 2y 6z 14 0 . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5a Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 (2)2(2)130zz 1.0 5 Hết Tính giá trị của biểu thức 22 12 Pz z. Ta có: 22 ( 2) 2( 2)130 6 130zz zz (1) Phương trình (1) có: 2 '913 4 2i . Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phức là: 1 z32i và 2 z32i . Vậy 22 22 12 32 32 912 4912 410Pz z i i i i . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4b 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và đường thẳng d có phương trình: (S): 222 xyz2x4y6z20 , d: x2 y1z 121 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với d. Tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của I trên d. 1.0 Mặt cầu (S) có tâm 1; 2; 3I và bán kính 4 R . Đường thẳng d có VTCP 1; 2;1a và đi qua điểm 2;1;0M . Gọi ( ) là mặt phẳng qua I và vuông góc d , phương trình ( ) là: 112 2130 2 60xyz xyz Gọi H là hình chiếu của I lên d , tọa độ H là nghiệm của hệ: 7 x 3 x2 y1 z 2x y 3 0 5 y2z10 y 121 3 x2yz60 x2yz60 1 z 3 .Suy ra 751 ;; 333 H . 0.25 0.25 0.5 2 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng 8 . 1.0 Do đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8 nên bán kính r 4. Do đó: 22 (,( )) 16 16 0dI P R r Suy ra mặt phẳng (P) cần tìm chính là mặt phẳng chứa d và qua I. Mặt phẳng (P) có VTPT là ;naIM Do 1; 2; 1 211112 ;;;5;6;7 133331 3; 1; 3 a naIM IM . Phương trình (P) là : 516 273056740x y z xyz . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5b Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z21iz42i0 (1) Tính giá trị của biểu thức 22 12 Pz z . 1.0 Ta có: 22 ' 1 i 4 2i 1 2i 1 4 2i 4 2i . Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phức là: 1 z1i2i1i và 2 z1i2i13i . Vậy 22 12 11 19 12Pz z . 0.5 0.25 0.25 . Đặt 2 12 txdtxdx 0.25 3 Đổi cận: 12 01 x t x t Suy ra: 12 3 3 2 01 11 2 1 x Sdxdt t x 2 2 1 11 111 3 22 28 216 t . 2 f ttt trên 1 ;1 2 ta có 11 '( ) 4 2 0 ;1 22 ft t t Do 13 11 ; , 1 0 2222 fff nên 1 1 ;1 ;1 2 2 31 min ( ) ; (. 7.0 Câu 1 1 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C): 42 11 11 42 4 yxx . 2.0 1. Tập xác định: D 2. Sự biến thi n: a) Chiều biến thi n: 32 y' x x x x 1