de thi chon hsg toán 7

PHÒNG GD –ĐT CAN LỘC TRƯỜNG THCS KHÁNH VĨNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 1013 MÔN: TOÁN 7 (Thời gian 120 phút) Bài 1: Cho 1 1 1 1 2011 2011 2011 2011 & 1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100 A B= + + + + = + + + + Chứng minh rằng : B A là một số nguyên . Bài 2 : Tìm x biết a. ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + − − − = b. T×m x biÕt: 2001 4 2002 3 2003 2 2004 1 − = − − − + − xxxx Bài 3: Cho 2 3 3 2 2 3 bz cy cx az ay bx a b c − − − = = Chøng minh r»ng: 2 3 x y z a b c = = Bài 4 : So sánh A & B . Biết ( ) ( ) 100 99 99 99 100 100 100 99 & 100 99A B= + = + Bài 5: Cho tam giác ABC, vuông cân tại A. D là một điểm bất kì trên BC. Vẽ hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC và nằm cùng một nữa mặt phẳng chúa điểm A bờ là đường thẳng BC. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AD cắt Bx và Cy theo thứ tự tại M và N. Chứng minh: a. AM = AD b. A là trung điểm MN c. BC = BM + CN d. Tam giác DMN vuông cân. Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: A = 2 2 x 15 x 3 + + Hết HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Bài 1: (3điểm) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 99 100 − + − + − + + − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 6 99 100 2 4 6 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 99 100 1 2 3 4 5 6 49 50 1 1 1 1 1 51 52 53 99 100     = + + + + + + + + − + + + +  ÷  ÷       = + + + + + + + + − + + + + + + + +  ÷   = + + + + + B = 2011 1 1 1 1 1 1 51 52 53 54 99 100   + + + + + +  ÷   = 2011A. Suy ra B 2011 Z A = ∈ Bài 2: (4 điểm) a. (2 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 + + +   − − − = ⇔ − − − =   x x x x x x x ( ) ( ) ( ) 1 10 1 7 0 1 ( 7) 0 7 1 7 0 10    ÷ +   + − = − − =     ⇔ − − − = ⇔      x x x x x x 10 7 0 7 ( 7) 1 8 6 − = ⇒ = − = ± ⇒ = =  ⇔   x x x x hoac x b. (2 diểm) Ta có 2001 4 2002 3 2003 2 2004 1 − = − − − + − xxxx x 1 x 2 x 3 x 4 0 2004 2003 2002 2001 − − − − ⇔ + − − = x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 0 2004 2003 2002 2001 − − − −         ⇔ − + − − − − − =  ÷  ÷  ÷  ÷         x 2005 x 2005 x 2005 x 2005 0 2004 2003 2002 2001 − − − − ⇔ + − − = ( ) 1 1 1 1 x 2005 0 2004 2003 2002 2001   ⇔ − + − − =  ÷   Ta có: 1 1 1 1 0 2004 2003 2002 2001   + − − ≠  ÷   nên x – 2005 = 0 hay x = 2005 Bài 3: (3 điểm) Lêi gi¶i: Ta cã 2 3 3 2 2 3 bz cy cx az ay bx a b c − − − = = ⇔ 2 2 2 2 3 2.3 2 3 3.2 4 9 abz acy bcx abz acy bcx a b c − − − = = = 2 2 2 2 3 6 2 3 6 4 9 abz acy bcx abz acy bcx a b c − + − + − + + =0 ⇔ 2 3bz cy a − = 0 ⇔ 2bz-3cy = 0 ⇔ 2 3 y z b c = (1) Vµ 3 2 cx az b − = 0 ⇔ 3cx-az = 0 ⇔ 3 x z a c = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã 2 3 x y z a b c = = (§PCM). Bài 4: (3điểm) Hs chứng minh bài toán tổng quát ( ) ( ) 1 1 1 n n n n n n a b a b + + + + > + với mọi a,b nguyên dương Thật vậy không mất tính tổng quát , giả sử a > b Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 . . . . n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a a b a a b a a b b a b + + + + +   + = + + > + = + = + >   + = + Vậy ( ) ( ) 1 1 1 n n n n n n a b a b + + + + > + Áp dụng với a = 100 ; b = n = 99 ta có điều phải chứng minh . Bài 5: (5điểm). Vẽ hình chính xác: 0.5đ. Câu a. (1,5 đ) Xét ∆ ABM và ∆ ADC có: AB = AC ( ∆ ABC vuông cân) · · MAB DAC= (cùng phụ với · BAD ) · · · · 0 0 MBA DAC ( 45 ,do Bx BC, Cy BCv ACB ABC 45 )à = = ⊥ ⊥ = = Suy ra ∆ ABM = ∆ ADC (g-c-g) Vậy AM = AD. (1) Câu b. (1đ). Chứng minh tương tự ta có: ∆ ABD = ∆ ACN suy ra AD = AN (2) Từ (1) và (2) suy ra AM = AN . Vậy A là trung điểm của MN. Câu c. (1đ). Ta có: BM = CD ( ∆ AMB = ∆ ADC) BD = CN ( ∆ ABD = ∆ ACN) Suy ra: BM + CN = BD + CD = BC\ Vậy BM + CN = BC Câu d. (1đ) Xét ∆ BMD và ∆ CDN có: µ µ B C= BM = CD ( ∆ AMB = ∆ ADC) BD = CN ( ∆ ABD = ∆ ACN) Nên ∆ BMD = ∆ CDN(c-g-c) Suy ra: MD = ND. (3) · · · · · · · · · · 0 0 0 0 v BMD NDC m BMD MDB 90 (vΔMBDvu ng taiB) MDB NDC 90 m : MDB NDC MDN 180 MDN 90 (2) à à ì ô à = + = ⇒ + = + + = ⇒ = Từ (1) và (2) suy ra: ∆ DMN vuông cân tại D. Bài 6: (2 điểm): Ta có 2 2 2 2 x 15 x 3 12 12 B 1 x 3 x 3 x 3 + + + = = = + + + + Vậy B lớn nhất khi 2 12 x 3+ lớn nhất hay 2 x + 3 nhỏ nhất mà x 2 ≥ 0 nên 2 x + 3 ≥ 3 Do đó 2 x + 3 nhỏ nhất là 3 khi x = 0. Vậy B đạt giá trị lớn nhất khi x = 0 và giá trị lớn nhất là 5 M N A C B D . 10 7 7 0 7 1 7 0 + + +   − − − = ⇔ − − − =   x x x x x x x ( ) ( ) ( ) 1 10 1 7 0 1 ( 7) 0 7 1 7 0 10    ÷ +   + − = − − =     ⇔ − − − = ⇔      x x x x x x 10 7 0 7 ( 7) 1. PHÒNG GD –ĐT CAN LỘC TRƯỜNG THCS KHÁNH VĨNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 1013 MÔN: TOÁN 7 (Thời gian 120 phút) Bài 1: Cho 1 1 1 1 2011 2011 2011 2011 &. cân. Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: A = 2 2 x 15 x 3 + + Hết HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Bài 1: (3điểm) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 99 100 − + − + − + + − 1 1 1 1 1 1 1 1