TRƯỜNG THCS KIM LONG. ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 1 MÔN TOÁN LỚP 7 Năm học 2012-2013. Thời gian 120 phút. Câu 1(2 điểm): Tính giá trị của các biểu thức: a/ A = 12 5 6 2 10 3 5 2 2 6 3 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 (2 .3) (125.7) 5 .14 − − − + b/ S = 1 +3 + 3 2 + 3 3 + … + 3 2013 Câu 2(2,5 điểm): a/ Cho các số a, b, c, d thoả mãn a b c d b c d c d a d a b a b c = = = + + + + + + + + Tính giá trị của biểu thức: a b b c c d d a P c d d a b a b c + + + + = = = = + + + + b/ Tìm x biết: 1 1 1 1 100 1.2 2.3 3.4 99.100 x x x x x + + + + + + + + = Câu 3(1,5 điểm): Ba phân số tối giản có tổng bằng 213 70 , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. Câu 4(1,5 điểm): Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2 số 2n +1 và 3n + 1 đồng thời là số chính phương Câu 5(2,5 điểm): Cho ∆ ABC nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B ta dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE=AC.Vẽ AH vuông góc với BC. Đường thẳng HA cát DE ở K. Chứng minh rằng: K là trung điểm của DE Hết ĐÁP ÁN THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 1 MÔN TOÁN LỚP 7 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 a) 12 5 12 4 10 3 10 4 12 6 12 5 9 3 9 3 3 12 4 10 3 12 5 9 3 3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2 2 .3 .(3 1) 5 .7 (1 7) 2 .3 .(3 1) 5 .7 (1 2 ) 2 5.( 6) 3.4 9 1 10 1 3 6 3 2 A − − = − + + − − = − + + − = − = + = 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: S = 2 3 2013 1 3 3 3 3+ + + + + (1) ⇒ 3S = 2 3 2014 3 3 3 3+ + + + (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 3S – S = 2014 3 1− Hay S = 2014 3 1 2 − 0,25 0,5 0,25 2 a) * Từ a b c d b c d c d a d a b a b c = = = + + + + + + + + suy ra 1 1 1 1 a b c d b c d c d a d a b a b c + = + = + = + + + + + + + + + Hay a b c d a b c d a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c + + + + + + + + + + + + = = = + + + + + + + + * Nếu a+b+c+d = 0 thì a+b = -(c+d) 1; 1 a b c d c d a b + + ⇒ = − = − + + b+c = -(d+a) 1; 1 b c d a d a b c + + ⇒ = − = − + + nên P=-1 * Nếu a+b+c+d ≠ 0 thì b+c+d = c+d+a = d+a+b = a+b+c ⇒ a = b = c = d ⇒ P=1 Vậy P= -1 nếu a+b+c+d = 0 P = 1 nếu a+b+c+d ≠ 0 0,5 0,5 0,5 b) Vì Vế trái 0 ≥ nên để đẳng thức xảy ra thì vế phải 0 ≥ . Hay 100 0 0x x ≥ ⇒ ≥ Khi đó ta có: 1 1 1 100 1.2 2.3 99.100 x x x x+ + + + + + = 1 99 1 100 100 x x+ − = 0,25 0,25 0,25 99 100 x = (thoả mãn) 0,25 3 Gọi các phân số cần tìm là ; ; a c e b d f Vì tử của chúng tỉ lệ với 3;4;5 nên 3 4 5 a c e k= = = 3 ; 4 ; 5a k c k e k ⇒ = = = Vì mẫu của chúng tỉ lệ với 5;1;2 nên 5 1 2 b d f p= = = 5 ; ; 2b p d p e p ⇒ = = = Mặt khác: 213 70 a c e b d f + + = ⇒ 3 4 5 213 5 2 70 k k k p p p + + = Hay: 6 40 25 71 213 3 10 10 70 7 k k k k k p p p + + = = ⇒ = ⇒ 3 3 9 . 5 7 35 a b = = ; 4 3 12 . 1 7 7 c d = = ; 5 3 15 . 2 7 14 e f = = Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng 213 70 Vậy 3 phân số cần tìm là: 9 12 15 ; ; 35 7 14 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số ⇒ 10 n ≤ ≤ 100. Do đó 21 ≤ 2n +1 ≤ 201 (1) Mặt khác 2n + 1 là số chính phương lẻ (2) Từ (1) và (2) ⇒ 2n + 1 ∈ {25; 49; 81; 121; 169} ⇒ n ∈ {12; 24 ; 40 ; 60 ; 84} Do đó 3n +1 ∈ {37; 73; 121; 181; 253} Trong các số trên chỉ có 121 = 11 2 là số chính phương . Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là 40 0, 5 0,25 0,25 0,25 0,25 5 Hình vẽ: C Từ D và E kẻ các đường vuông góc đến AH cát đường thẳng AH lần lượt tại 0,5 0, 5 P và Q Ta có: AHB DPA∆ = ∆ (Cạnh huyền – góc nhọn) (1)DP AH⇒ = AHC EQA∆ = ∆ (Cạnh huyền – góc nhọn) (2)AH EQ⇒ = Từ (1) và (2) suy ra DP = EQ DKP EKQ⇒ ∆ = ∆ ( Cạnh góc vuông và góc nhọn kề) KD KE⇒ = ⇒ K là trung điểm của DE 0,5 0,5 0,5 . DE Hết ĐÁP ÁN THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 1 MÔN TOÁN LỚP 7 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 a) 12 5 12 4 10 3 10 4 12 6 12 5 9 3 9 3 3 12 4 10 3 12 5 9 3 3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 .2 2 .3 .(3. LONG. ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 1 MÔN TOÁN LỚP 7 Năm học 20 12- 2013. Thời gian 120 phút. Câu 1 (2 điểm): Tính giá trị của các biểu thức: a/ A = 12 5 6 2 10 3 5 2 2 6 3 9 3 2 .3 4 .9 5 .7. 1) 5 .7 (1 7) 2 .3 .(3 1) 5 .7 (1 2 ) 2 5.( 6) 3.4 9 1 10 1 3 6 3 2 A − − = − + + − − = − + + − = − = + = 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 Ta có: S = 2 3 20 13 1 3 3 3 3+ + + + + (1) ⇒ 3S = 2 3 20 14 3