Đề thi hsg trường THPT Đô lương 3 năm học 2012-2013

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 11 Trường THPT Đô Lương 3 NĂM HỌC: 2012-2013 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút A. Phần chung . Câu I: (8 điểm) 1. Giải phương trình: 2 2 2 3 5 6 3 7x x x x x− + − = − − − + 2. Giải hệ: 2 2 1( 1) 4 (2 1) 0 2 3 8 0 x x y y y xy x  − + − + =   − + + =   Câu II: (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC và đường thẳng (d): x-y+1=0. Gọi D(4;2), E(1;1), N(3;0) lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng (d) và điểm M có hoành độ lớn hơn 3. Câu III: (3 điểm) Cho x, y, z là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 1a b c+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 ( ) ( ) 6P a b c a b c abc= + + − + + + . B. Phần riêng .(mỗi thí sinh chỉ được chọn một trong hai câu IVa hoặc IVb) Câu IVa: (6 điểm) 1. Cho hình chóp OABC. Xét các điểm 1 1 1 , ,A B C theo thứ tự thuộc các cạnh , ,OA OB OC sao cho 1 1 1 3 OA OB OC OA OB OC + + = . Chứng minh rằng khi các điểm 1 1 1 , ,A B C thay đổi thì mặt phẳng 1 1 1 ( )A B C đi qua một điểm cố định. 2. Cho dãy số ( ) n U xác định bởi : 1 1 0 5 2 4 1 n n n U U U U + =   −  =  −  , * n N∈ Xác định công thức số hạng tổng quát n U theo n . Câu IVb: (6 điểm) 1.Cho hình hộp 1 1 1 1 ABCDA B C D . Hãy xác định các điểm M, N theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng 1 AC và 1 1 B D sao cho MN song song với 1 A D . 2. Cho dãy số ( ) n U , xác định bởi : 1 2 2 1 2013 4023 2012 n n n U U U U + =    = − +   , * n N∈ Tính: 1 2 1 1 1 ( ) 2011 2011 2011 n Lim U U U + + + − − − . Hết Họ tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh ……………… . THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 11 Trường THPT Đô Lương 3 NĂM HỌC: 2012-20 13 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút A. Phần chung . Câu I: (8 điểm) 1. Giải phương trình: 2 2 2 3 5 6 3. 1) 4 (2 1) 0 2 3 8 0 x x y y y xy x  − + − + =   − + + =   Câu II: (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC và đường thẳng (d): x-y+1=0. Gọi D(4;2), E(1;1), N (3; 0) lần lượt. điểm M có hoành độ lớn hơn 3. Câu III: (3 điểm) Cho x, y, z là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 1a b c+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 ( ) ( ) 6P a b c a b c abc=