đạo hàm và vi phân

Nội dung 1 – Đạo hàm 2 – Vi phân. 3 – Định lý giá trị trung bình 4 – Công thức Taylor, Maclaurint Định nghĩa (đạo hàm) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm . 0 x ' 00 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x fx x       được gọi là đạo hàm của f tại điểm x 0 . ' 0 ()fx I. Đạo hàm Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm tại điểm x 0 ( ) cosf x x ' 00 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x fx x       00 0 cos( ) cos lim x x x x x       0 0 sin sin 22 lim 2 x xx x x         0 sin( )x ' 0 (0 ) (0) (0) lim x f x f f x       Ví dụ Tìm , biết 2 1 sin , 0 () 0, 0 xx fx x x            ' (0)f     2 0 sin 1/ 0 lim x xx x       0 1 lim sin x x x            0 (bị chặn x vô cùng bé) Định nghĩa (đạo hàm phải) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm . 0 x 00 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x fx x         được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x 0 . ' 0 ()fx  Định nghĩa (đạo hàm trái) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm . 0 x 00 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x f x x f x fx x         được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x 0 . ' 0 ()fx  Định nghĩa (đạo hàm vô cùng) Nếu , thì ta nói hàm 00 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x       có đạo hàm vô cùng tại điểm x 0 . Định lý Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm , khi và chỉ khi 0 x nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x 0 và hai đạo hàm này bằng nhau. ' 0 (0 ) (0) (0 ) lim x f x f f x         Ví dụ Tìm , biết 1/ ,0 () 0, 0 x ex fx x       '' (0 ); (0 )ff  1/ 0 0 lim x x e x         ' 0 (0 ) (0) (0 ) lim x f x f f x         1/ 0 0 lim x x e x       0 Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại. Ví dụ Tìm , biết 2 ( ) 3| | 2f x x x   ' ()fx Tại điểm x = 0: 2 2 3 2, 0 () 3 2, 0 x x x fx x x x           ' 2 3, 0 () 2 3, 0 xx fx xx       '' (0 ) 3; (0 ) 3ff     Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0. ' 0 (0 ) (0) (0 ) lim x f x f f x         Ví dụ Tìm , biết ( ) sin2f x x '' (0); (0)ff  0 sin2 lim x x x      2 ' 0 (0 ) (0) (0 ) lim x f x f f x         0 sin2 lim x x x      2 Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại. Ví dụ Tìm , biết sin ,0 () 1, 0 x x fx x x         ' ()fx ' 2 cos sin ,0 () 0, 0 x x x x fx x x          ' 0 (0 ) (0) (0) lim x f x f f x       0 sin 1 lim x x x x         2 0 sin lim x xx x       0 [...]...  w  u  v  w' ' Đạo hàm của hàm hợp f  f (u ), u  u ( x)  f ' ( x)  f ' (u )  u ' ( x) Đạo hàm của hàm ngược Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y) Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x0, thì hàm g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và 1 g ( y0 )  ' f ( x0 ) ' 1 x ( y)  ' y ( x) ' Ví dụ Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm f ( x)  x  x3 f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm f ' ( x)  1 ... g C f n n ( n) g (0) Phương pháp tính đạo hàm cấp cao 1) Sử dụng các đạo hàm cấp cao của một số hàm đã biết 2) Phân tích thành tổng các hàm “đơn giản” 3) Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong đó f là hàm đa thức, chỉ có vài đạo hàm khác không, sau đó sử dụng công thức Leibnitz 4) Sử dụng khai triển Maclaurint, Taylor (sẽ học) Đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp 1)  x  a    (n) ...    Có thể sử dụng: f ( x)  esin x.ln(2 x1) Định nghĩa (đạo hàm cấp cao) Đạo hàm của hàm y = f(x) là một hàm số Nếu f’(x) khả vi ta có thể lấy đạo hàm một lần nữa của f’(x), ta được khái niệm đạo hàm cấp hai  f ( x)  f ( x) '' '  ' Tiếp tục quá trình ta có đạo hàm cấp n f (n)  ( x)  f ( n 1) ( x)  ' Công thức Leibnitz (tính đạo hàm cấp cao) Giả sử y  f g Dùng qui nạp ta chứng minh được...  e y ' Tìm y ( x) , biết x  sinh y  2 x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm x' ( y )  1/ cosh y  0, y dy 1 1 1 y ( x)   '   dx x ( y ) 1  sinh 2 y 1  x2 ' Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số  x  x(t ) Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số:   y  y (t ) Giả sử hàm x  x(t ) có hàm ngượct  t ( x) Khi đó y  y (t )  y(t ( x)) là hàm y theo biến x dy y ' (t )dt y ' (t ) y ' ( x)   ' ... Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số x  a  cos t , y  b  sin t , t  (0,  / 2) 3 3 x' (t )  3a cos 2 t sin t  0, t  (0,  / 2) y ' (t )  3b sin 2 t cos t b y ' (t ) 3b sin 2 t cos t '   tan t y ( x)  '  2 a x (t ) 3a cos t sin t Đạo hàm của hàm ẩn Hàm y = y(x) với x  (a, b) cho ẩn bởi phương trình F ( x, y)  0 nếu F ( x, y( x))  0 với x  (a, b) Để tìm đạo hàm của hàm. .. (i )   (i ) (1)100 100!  1 1  100!  1 1  (101) y (0)   101       100!  101 2i 2i  i i  (i)   (i ) II Vi phân Định nghĩa (khả vi) Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại điểm x0 , nếu f ( x0  x)  f ( x0 )  A.x   (x) Khi đó A.x được gọi là vi phân của hàm f(x) tại x0, ký hiệu df ( x0 )  A.x ... 0 x Đạo hàm 1 a ' 0   3  e   e 2 hàm hợp  ' x  1 x x ' x 4  sin x   cos x ' 5  cos x    sin x ' 1 6  ln x   x 1 ' 7  tan x   cos 2 x 1 ' 8  cot x   sin 2 x '   e   e 2 u 3  '   u 1  u ' u ' u  u' 4  sin u   cos  u   u ' ' 5  cos u     sin u   u ' ' u' 6  ln u   u ' u' 7  tan u   cos 2 u ' u ' 8  cot u   2 sin u ' Đạo hàm các hàm lượng...   2 sin u ' Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic 1  arcsin x   ' 2  arccos x   ' 1 1 x 1  x2 1 3  arctan x   1  x2 1 4  arccot x   2 1 x ' 2 1 ' 5  sinh x   cosh x ' 6  cosh x   sinh x ' 1 7  tanh x   cosh 2 x ' 1 8  coth x    sinh 2 x ' Công thức tính đạo hàm Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp 1  u    u ' ' 3  u  v   u ' ...  x2 3 4 7 ; x   n, n  Z x sin x 4 ln f  ln(1  x )  ln x  7ln sin x 3 2 ' f 2x 4 cos x Đạo hàm hai vế   7 2 f 1 x 3x sin x y  1  x2 ' 3 4 cos x   2x   7 2 4 7 sin x  1  x 3 x  x sin x Ví dụ Tìm f ' ( x) , biết f ( x)  (2 x  1)sin x ln f  ln(2 x  1)sin x  sin x.ln(2 x  1) Đạo hàm hai vế f' 2sin x  cos x.ln(2 x  1)  f 2x 1 2sin x    f  f cos x.ln(2 x  1)  2x 1... sin t Đạo hàm của hàm ẩn Hàm y = y(x) với x  (a, b) cho ẩn bởi phương trình F ( x, y)  0 nếu F ( x, y( x))  0 với x  (a, b) Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi x là biến, y là hàm theo x Ví dụ Tìm y ' ( x), biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình e2 x  y  x3  cos y e2 x  y  3x 2  2e2 x  y 2  y ' ( x)  3x 2  y ' ( x)  sin y y ' ( x)  2 x  y e  sin y  Ví dụ . ' ' 1 () () xy yx  Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x 0 , thì hàm g(y) sẽ có đạo hàm tại y 0 = f(x 0 ) và Ví dụ Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm 3 ()f x x x f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm '2 (.    Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp. Đạo hàm của hàm hợp Đạo hàm của hàm ngược. ' 0 ' 0 1 () () gy fx  Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y) sin cos tan 3 cos sin b t t b t a a t t     Đạo hàm của hàm ẩn. Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi x là biến, y là hàm theo x. Hàm y = y(x) với cho ẩn bởi phương trình ( ,