Tài liệu tập huấn phát triển chuyện môn giáo viên trường THPT chuyên

TÀI LIỆU TẬP HUẤN PHÁT TRIỂN CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN (Tài liệu lưu hành nội bộ) Hà Nội, tháng 7 năm 2012 VỤ GIÁO DỤC TRUNG HỌC CHƯƠNG TRÌNH PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC TRUNG HỌC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO www.VNMATH.com Chủ trì biên soạn: Vụ Giáo dục Trung học Chương trình phát triển giáo dục trung học NHÓM TÁC GIẢ BIÊN SOẠN TÀI LIỆU: 1. GS.TSKH Hà Huy Khoái 2. GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu 3. GS.TSKH Đặng Hùng Thắng 4. PGS.TSKH Vũ Đình Hòa 5. PGS.TS Nguyễn Vũ Lương 6. TS Phạm Văn Quốc 7. TS Lê Anh Vinh 8. TS Trịnh Đào Chiến www.VNMATH.com    www.VNMATH.com Mục lục Lời nói đầu 4 Hà Huy Khoái Một số bài toán Số học - Tổ hợp 5 Nguyễn Văn Mậu Lớp các phương trình hàm Cauchy, d’Alembert và dạng toán liên quan 22 Đặng Hùng Thắng Một số lớp phương trình Diophant cơ bản 66 Vũ Đình Hoà Bài toán tô màu đồ thị 105 Nguyễn Vũ Lương Một cách tiếp cận tới bài toán tổ hợp 134 Trịnh Đào Chiến Một số dạng bất phương trình hàm 188 Phạm Văn Quốc Phương trình Pell 207 Lê Anh Vinh Bất biến và nửa bất biến 220 3 www.VNMATH.com Lời nói đầu Hoạt động bồi dưỡng theo các bộ môn, phân theo các cụm, khu vực theo địa hình và đặc thù văn hoá, đã trở thành sinh hoạt chuyên môn truyền thống và ngày càng đi vào nề nếp trong hệ thống các trường trung học chuyên và năng khiếu bậc phổ thông. Nhờ đó, các đơn vị, các trường THPT chuyên chủ động xây dựng chương trình hành động và lựa chọn cách thức triển khai. Đặc biệt chương trình tập huấn phát triển năng lực chuyên môn giáo viên trường THPT chuyên gắn với các hoạt động bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ và năng lực tổ chức các hoạt động xã hội cho giáo viên đang giảng dạy ở các đội tuyển các trường THPT Chuyên. Ban tổ chức đã xây dựng nội dung, chương trình kế hoạch cho các hoạt động bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ; liên hệ mời các giáo sư, các nhà khoa học có kinh nghiệm và tâm huyết trực tiếp giảng bài và tổ chức các semina khoa học. Sản phẩm của chương trình tập huấn là đã xây dựng một tập san (tài liệu tập huấn) trong đó lưu giữ các nội dung gồm các bài viết, bài giảng, các đề thi Olympic đề xuất kèm theo lời giải và giới thiệu những xu hướng mới cập nhật với olympic khu vực và quốc tế. Vì thời gian rất gấp gáp, nên các khâu chế bản và nội dung cuốn tài liệu tập huấn này chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết. Mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô và các đồng nghiệp. Ban Tổ chức 4 www.VNMATH.com Một số bài toán Số học - Tổ hợp Hà Huy Khoái Viện Toán học Bài giảng này nhằm mục tiêu giới thiệu một số bài toán có thể gọi là thuộc loại "số học - tổ hợp". Thực ra không có một "định nghĩa" nào cho loại bài toán đó, nên ở đây chỉ giới hạn ở việc đưa ra một số ví dụ về loại bài toán thường gặp trong những kỳ thi học sinh giỏi, mà việc giải chúng đòi hỏi những phương pháp của số học và tổ hợp. Để tiện theo giõi, chũng tôi tạm chia bài giảng thành bốn phần: Tỷ số vàng, Các dãy nhị phân, Tính chia hết và Trò chơi. Khi trình bày các lời giải, trong chừng mực có thể, chúng tôi cố gắng mô tả quá trình hình thành nên lời giải đó, hơn là đưa ra một lời giải ngắn gọn. §1. Tỷ số vàng. Chúng ta đều biết "tỷ số vàng" sau đây thường xuất hiện trong khoa học, nghệ thuật và đời sống 1 + √ 5 2 . Tỷ số vàng đó cũng thường bắt gặp trong lời giải của những bài toán số học - tổ hợp. Trước tiên ta xét ví dụ sau: Bài toán 1. Giả sử γ, δ là những số vô tỷ dương, thỏa mãn 1 γ + 1 δ = 1. 5 www.VNMATH.com Chứng minh rằng nếu đặt a n = [nγ], b n = [nδ] thì mỗi số nguyên dương xuất hiện đúng một lần trong một trong hai dãy a n , b n . Phân tích - Lời giải Rõ ràng yêu cầu của bài toán tương đương với việc chứng minh rằng, các số trong mỗi đoạn hữu hạn tùy ý [1, 2, ··· , N] có mặt ở một trong hai dãy, và xuất hiện đúng một lần. Như vậy vấn đề chỉ còn là đếm xem trong N − 1 số nguyên dương nhỏ hơn N, có bao nhiêu số thuộc một trong hai dãy nói trên. Xét mọi số nguyên dương n thỏa mãn [nγ] < N, tức là n < N γ . Như vậy, các số n thỏa mãn là n = 1, 2, ··· , [ N γ ]. Tương tự, các số m sao cho [mδ] < N là m = 1, 2, ··· , [ N δ ]. Như vậy, trong các số nguyên dương nhỏ hơn N, số các số thuộc một trong hai dãy a n , b n là [ N γ ] + [ N δ ]. Do γ; δ là các số vô tỷ nên [ N γ ]; [ N δ ] ∈ Z. Từ đó ta có: N γ − 1 < [ N γ ] < N γ , N δ − 1 < [ N δ ] < N δ , suy ra N( 1 γ + 1 δ ) −2 = N −2 < [ N γ ] + [ N δ ] < N( 1 γ + 1 δ ) = N. Do đó [ N γ ] + [ N δ ] = N −1. Như vậy trong N −1 số nhỏ hơn N có đúng N −1 số thuộc một trong hai dãy đang xét, đ.p.c.m. Bài toán trên đây là một "thành phần" của rất nhiều bài toán tổ hợp. Trong bài giảng này, chúng ta sẽ xem xét hai bài thuộc loại đó. Bài toán 2. 6 www.VNMATH.com Tìm các dãy tăng các số nguyên dương {a n }; {b n } thỏa mãn những tính chất sau: 1/ a 1 = 1. 2/ Với mọi n ≥ 1, b n = a n + n. 3/ a n là số nguyên dương nhỏ nhất không thuộc tập hợp {a 1 , a 2 , ··· , a n−1 ; b 1 , b 2 , ··· , b n−1 }. Rõ ràng ba điều kiện nói trên xác định một cách duy nhất các dãy {a n }, {b n }. Hơn nữa, đối với hai dãy tăng, việc thỏa mãn các điều kiện 1/ , 2/, 3/ tương đương với việc thỏa mãn các điều kiện 1/, 2/ , và 3’/ như sau: 3’/ Mỗi số nguyên dương đều thuộc một và chỉ một trong hai dãy đang xét. Do tính xác định duy nhất của các dãy thỏa mãn 1/, 2/, 3’/, ta chỉ cần chứng minh sự tồn tại, bằng cách chỉ ra ví dụ cụ thể. Bài toán 1 cho ta cách tìm hai dãy thỏa mãn điều kiện 3’/: đó chính là các dãy a n = [nγ], b n = [nδ], trong đó γ, δ là những số vô tỷ dương, thỏa mãn 1 γ + 1 δ = 1. Vấn đề chỉ là tìm γ để các điều kiện 1/ và 2/ được thỏa mãn. Để ý rằng n = n + [nγ] −[nγ] = [n + nγ] −[nγ] = [(1 + γ)n] −[nγ]. Như vậy chỉ cần chọn γ vô tỷ, thỏa mãn: 1 γ + 1 γ + 1 = 1. Nghiệm của phương trình trên là "tỷ số vàng" 1+ √ 5 2 . Các dãy a n , b n cần tìm là: a n = [ 1 + √ 5 2 n]; b n = [ 1 + 3 √ 5 2 n]. 7 www.VNMATH.com Bài toán 1 và Bài toán 2 lại có thể làm "thành phần" cho bài toán phức tạp hơn sau đây: Bài toán 3 Lập dãy số theo cách sau: lấy x 1 = 1, với i ≥ 2 số x i nhận được từ x i−1 bằng cách đổi (trong cách viết số x i−1 ) số 1 thành 01, số 0 thành 1. Làm như vậy, ta nhận được dãy số 1, 01, 101, 01101, Trong dãy này, gọi a n là vị trí của chữ số 1 thứ n, b n là vị trí của chữ số 0 thứ n (như vậy a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 4, b 1 = 2, b 2 = 5, ···). Tìm công thức xác định a n , b n . Phân tích - Lời giải Trước tiên ta cần tìm một công thức xác định mối liên hệ giữa a n và b n . Gọi k n là số chữ số 0 đứng trước chữ số 1 thứ n. Theo định nghĩa hai dãy đang xét ta có a n = n + k n . Theo bài ra, chữ số 0 thứ n được "sinh ra" từ chữ số 1 thứ n. Mặt khác, chữ số 1 biến thành hai chữ số 01, chữ số 0 biến thành một chữ số 1. Trước chữ số 1 thứ n có k n chữ số 0, và "biến thành k n chữ số; còn n chữ số 1 "biến thành" 2n chữ số. Từ đó suy ra: b n = k n + 2n. Từ hai công thức trên đây, ta có b n = a n + n. Vì a n và b n đều là các "số thứ tự" nên hai dãy là dãy tăng, đồng thời mỗi một số nguyên dương xuất hiện đúng một lần trong một trong hai dãy. Các Bài toán 1 và Bài toán 2 cho ta đáp số: a n = [ 1 + √ 5 2 n]; b n = [ 1 + 3 √ 5 2 n]. 8 www.VNMATH.com Trong phần các bài toán về trò chơi, ta sẽ gặp lại "tỷ số vàng". §2 Các dãy nhị phân Trong rất nhiều bài toán tổ hợp, đặc biệt là các bài toán "đếm", ta thường gặp những tình huống mà tại đó có hai khả năng xẩy ra: được tô bởi hai màu; đường đi chỉ được phép sang phải hoặc đi lên; học sinh nam hay nữ, số chẵn hoặc lẻ; Về thực chất, những bài toán như vậy luôn luôn có thể đưa về cùng một dạng phát biểu, trong đó thông thường nhất là dùng các dãy nhị phân (các dãy gồm hai chữ số 0 và 1). Để hiểu rõ hơn điều đó, ta xét bài toán sau đây. Bài toán 4. Sau giờ học, các em học sinh xếp hàng để nhận xe đạp ở nhà gửi xe. Giá tiền gửi mỗi xe là 1000 đồng. Giả sử có k em học sinh có tờ 1000 đồng, m em có tờ 2000 đồng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng lấy xe sao cho không em nào phải chờ để lấy tiền trả lại? (Với giả thiết người giữ xe không có đồng tiền lẻ nào). Phân tích - Lời giải Đây là một bài toán thuộc loại "hai khả năng": mỗi em học sinh hoặc có tờ 1000 đồng, hoặc có tờ 2000 đồng. Như vậy, để dễ thấy bản chất bài toán, ta có thể lập tương ứng mỗi hàng học sinh với một dãy gồm hai chữ số 0, 1. Giả sử ứng với mỗi học sinh có tờ 1000 đồng trong hàng, ta viết số 0; ứng với học sinh có tờ 2000 đồng, ta viết số 1. Như vậy, mỗi hàng học sinh tương ứng một dãy gồm k chữ số 0, m chữ số 1. Để tồn tại cách xếp mà không có em nào phải chờ lấy tiền trả lại, điều kiện cần là k ≥ m. Cũng tương tự như trong nhiều bài toán tổ hợp khác, khi việc đếm số phần tử thỏa mãn bài ra là khó, ta đếm "phần bù" của nó, tức là những phần tử không thỏa mãn bài ra. Như vậy, ở đây ta sẽ xét xem có bao nhiêu hàng mà 9 www.VNMATH.com [...]... ví dụ khi k = 2, 3, các tập hợp Ai phải chứa những số nào đó trong những số tự nhiên đầu tiên Xét 10 số nhỏ nhất mà mỗi một tập hợp Ai đều phải biểu diễn được: 15, 16, , 24 Mỗi số trong 10 số này đều là tổng của hai số nào đó thuộc tập hợp B = {1, 2, · · · , 23} Như vậy, mỗi tập hợp Ai cần chứa ít nhất 5 số thuộc B Do bốn tập Ai rời nhau mà B chỉ có 23 phần tử nên phải tồn tại tập Aj nào đó chứa đúng... ra là tìm tập hợp các vị trí thắng Trước tiên ta làm quen một khái niệm trong trò chơi Định nghĩa Giả sử R là một tập hợp những vị trí nào đó Khi đó ta nói R ổn định trong nếu mỗi bước (theo quy tắc của trò chơi) xuất phát từ một điểm thuộc R sẽ có đích đến là một điểm không thuộc R Tập hợp R gọi là ổn định ngoài nếu từ vị trí tùy ý không thuộc R, tồn tại một bước đi mà đích đến thuộc R Tập hợp R vừa... kết thúc tại (0,0), mà mỗi vị trí trong dãy chỉ thuộc một trong hai tập hợp R; S Suy ra điểm (0,0) chỉ thuộc một trong hai tập hợp R; S : mâu thuẫn Như vậy, ta đã chứng minh được tính duy nhất của tập hợp lời giải Vấn đề còn lại là chỉ ra một tập hợp có tính chất đòi hỏi Quan sát trên đồ thị dẫn ta đến Bổ đề sau: Bổ đề Giả sử R là một tập hợp vị trí có các tính chất sau: 1/ (0, 0) ∈ R 2/ Nếu (a, b) ∈... tuyến tính duy nhất của các phần tử của B Tập B được gọi là một cơ sở Hamel đối với tập S Về mặt hình thức, một cơ sở Hamel cũng được định nghĩa tương tự Định nghĩa 1.6 Giả sử S là tập các số thực và B là một tập con của S Thế thì B được gọi là một cơ sở Hamel của S nếu mọi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỉ (hữu hạn) duy nhất của B Nếu S là tập các số thực, thì sử dụng tiên đề chọn (... việc biểu diễn số nguyên (dương) dưới một dạng nào đó Nhìn chung, lời giải thường xuất phát từ việc xem xét kỹ những trường hợp riêng rẽ, đặc biệt là khi các số đang xét tương đối nhỏ Ta xét ví dụ sau đây Bài toán 8 Tìm số k nguyên dương lớn nhất có tính chất sau: tập hợp các số nguyên dương phân hoạch được thành k tập con A1 , A2 , · · · , Ak sao cho với mọi n ≥ 15 , với mọi i ∈ {1, 2, · · · , k} tồn... là với k ≥ 4 không thể phân hoạch tập các số tự nhiên thành k tập hợp con thỏa mãn bài ra Rõ ràng nếu với k ≥ 4 nào đó mà tồn tại phân hoạch thỏa mãn, thì phân hoạch như vậy cũng tồn tại với k = 4: chỉ cần lấy phân hoạch A1 , A2 , A3 , A4 ∪ A5 ∪ · · · ∪ Ak ta được phân hoạch gồm 4 tập hợp thỏa mãn bài ra Như vậy chỉ cần chứng minh không thể tồn tại phân hoạch gồm 4 tập hợp con thỏa mãn bài ra Giả sử... cần tìm một tập hợp vị trí thỏa mãn tính chất 1/- 5/ Tập hợp như thế ta đã từng gặp trong Bài toán 2 Thật vậy, xuất phát từ điểm (0, 0), ta xây dựng dãy an , bn , n ≥ 1 bằng quy nạp như sau: giả sử đã có (a1 , b1 ); (a2 , b2 ), · · · , (an , bn ) Khi đó lấy an+1 là số nguyên dương nhỏ nhất chưa xuất hiện trong hai dãy an , bn trước đó, đồng thời lấy bn+1 = an+1 + (n + 1) Dễ chứng minh rằng, tập hợp R... n = 1, 2, · · · là tập hợp thỏa mãn các điều kiện 1/-5/, và do đó là tập hợp các vị trí thắng Vậy tập hợp cần tìm là √ √ √ √ 3+ 5 3+ 5 1+ 5 1+ 5 n; n); ( n; n), n = 1, 2, 3, · · · } {(0, 0); ( 2 2 2 2 Ví dụ: (0, 0); (1, 2); (3, 5); (4, 7); (6, 10); (2, 1); (5, 3); (7, 4) ; (10, 6) 21 www.VNMATH.com Lớp các phương trình hàm Cauchy, d’Alembert và dạng toán liên quan Nguyễn Văn Mậu Trường Đại học KHTN,... ρ2 thì bằng phép chọn x1 , x2 thích hợp, ta có ρ1 X1 + ρ2 X2 là tập đóng trong không gian véctơ X do tập hợp số hữu tỉ Q là trù mật trong tập số thực R và do đó Q2 là trù mật trong R2 Vậy thì ρ1 X1 + ρ2 X2 = ρ1 (x1 , f (x1 )) + ρ2 (x2 , f (x2 )) = (ρ1 x1 + ρ2 x2 , ρ1 f (x1 ) + ρ2 f (x2 )) = (ρ1 x1 + ρ2 x2 , f (ρ1 x1 + ρ2 x2 )) Vì vậy, tập G = {(x, y)|x = ρ1 x1 + rho2 x2 , y = f (ρ1 x1 + rho2 x2 ),... ta có kết luận sau đây: nếu gọi S là tập hợp các số dạng p2 , với p nguyên tố và r nguyên không âm, thì d(n) là một lũy thừa của 2 khi và chỉ khi n là tích các phần tử thuộc một tập con hữu hạn T của S có tính chất sau: với mọi t ∈ T , s ∈ S , mà s|t thì s ∈ T Hơn nữa, nếu d(n) = 2k thì tập hợp T gồm k phần tử 13 www.VNMATH.com Dễ thấy rằng, với mọi k nguyên dương, tập hợp Tk gồm k phần tử nhỏ nhất của . TÀI LIỆU TẬP HUẤN PHÁT TRIỂN CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN (Tài liệu lưu hành nội bộ) . vị, các trường THPT chuyên chủ động xây dựng chương trình hành động và lựa chọn cách thức triển khai. Đặc biệt chương trình tập huấn phát triển năng lực chuyên môn giáo viên trường THPT chuyên. VỤ GIÁO DỤC TRUNG HỌC CHƯƠNG TRÌNH PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC TRUNG HỌC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO www.VNMATH.com Chủ trì biên soạn: Vụ Giáo dục Trung học Chương trình phát triển