giúp học sinh học tốt phần tính chất ba đường trung tuyến của tam giác từ một bài tập sách giáo khoa

GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC TỪ MỘT BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOAPHẦN I.. Trong quá trình dạy học toán tôi nhận thấy rằng việc tìm tòi mở rộng các bàit

GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC TỪ MỘT BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Trong hoạt động dạy học toán ở trường THCS, ngoài việc trang bị tốt kiếnthức cơ bản cho học sinh, chúng ta cần phải rèn luyện kĩ năng giải toán,khả năngphát triển tư duy, suy luận, và giúp học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết qủacác bài toán từ bài toán gốc Nhưng trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đómột cách thường xuyên, một phần do sức ép của chương trình nên giáo viên chỉdừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán, chưa có thói quen khai thác, khắc sâucác bài toán thành một chuỗi các bài toán liên quan Nên học sinh khi gặp các dạngtoán khác nhau chưa biết bắt đầu từ đâu ,vận dụng kiến thức để giải, đồng thời chưaphát triển được tư duy, năng lực sáng tạo của mình Vì vậy kết quả kiểm tra định kỳhay thi khảo sát, thi học sinh giỏi kết quả còn thấp

Trong quá trình dạy học toán tôi nhận thấy rằng việc tìm tòi mở rộng các bàitoán quen thuộc thành các bài toán mới từ dễ đến khó , hay tìm các cách giải khácnhau cho một bài toán, từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một phương phápdạy học hay và hiệu quả nhất, đồng thời gây được sự hứng thú, óc sáng tạo,tư duy

lo gic, khơi dậy niềm đam mê yêu thích môn học của học sinh

Bài tính chất ba đường trung tuyến của tam giác trong chương IV hình học

lớp 7 học kỳ II hiện hành là bài học đầu tiên của chương về các đường đồng quy

của tam giác, chứa đựng các kiến thức cơ bản với những ứng dụng thực tế có tínhthực tiễn cao, là nền tảng cho các bài học tiếp theo.

Tuy vậy kiến thức trang bị cho học sinh thông qua bài học trong sách giáokhoa được trình bày khá sơ lược và hạn hẹp, phần nào hạn chế việc tiếp thu và gâykhó khăn trong việc rèn luyện kĩ năng giải bài tập của học sinh, đặc biệt là tínhsáng tạo, tư duy phát triển năng lực của học sinh

Vấn đề trọng tâm của bài học là: “ Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi

qua một điểm, điểm đó cách mỗi đỉnh bằng 2

3 độ dài đường trung tuyến đi quađỉnh ấy”

Để giúp học sinh giải quyết được các bài tập có liên quan ở mức độ khácnhau và biết khai thác bài toán ở dưới nhiều dạng tôi xin trình bày một số vấn đề

Đổi mới phương pháp giảng dạy phần ba đường trung tuyến của một tam giác giúp học sinh học tốt hơn phần tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác từ.

2 Mục đích của đề tài:

Từ một bài tập 28 SGK trang 67 hình học 7 tập II Giáo viên có thể phát triểnthành các bài tập khác trong SGK, giúp học sinh hiểu, khắc sâu kiến thức, biết vậndụng kiến thức đã học để giải các bài tập về đường trung tuyến của tam giác và cácbài tập ở các dạng khác nhau Đồng thời ôn tập, hệ thống lại kiến thức, kĩ năng vẽhình, kĩ năng giải các bài tập trọng tâm của chương II về các trường hợp bằng nhaucủa tam giác, định lí Pi Ta Go, tính chất tam giác cân, tam giác đều, bất đẳng thứctam giác

Và phát huy tính tư duy, óc sáng tạo, tính suy nghĩ độc lập, khơi dậy sự hứngthú, yêu thích môn học, từ đó nâng cao hơn kết quả học tập Từ một bài tập SGK

mà có thể phát triển thành nhiều bài tập khác giúp học sinh chịu khó tìm tòi , sángtạo trong quá trình suy nghĩ để từ đó hình thành phương pháp giải.

3 Phạm vi nghiên cứu đề tài:

Hệ thống bài tập trong chương trình toán lớp 7

4 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài này được tôi viết trong quá trình giảng dạy tại trường THCS XXX ,một trường thuộc vùng khó khăn của huyện XXX Đối tượng là học sinh lớp 7C,

7E, 7G trường THCS XXX năm học 2009-2010 và phạm vi áp dụng là bài dạy

phần chủ đề tự chọn môn toán lớp 7.

PHẦN II NỘI DUNG

Bài toán gốc: bài tập 28 SGK trang 67 hình học 7 tập 2.

Cho DEF cân tại D, với đường trung tuyến DI

a Chứng minh DEI= DFI

(Hoặc DEI= DFI (c.g.c) )

b Từ (1)  DIE = DIF (hai góc tương ứng)

Mà DIE + DIF = 1800 (2 góc kề bù)  DIE = DIF = 900

c DI = DE 2 EI2 = 13  2 5 2 = 12cm (áp dụng định lí pi ta go)

KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN THÊM NỘI DUNG TỪ BÀI TOÁN TRÊN: Hướng khai thác thứ nhất:

Chủ yếu vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác , để suy ra các cạnh,góc tương ứng bằng nhau, dẫn đến các đoạn thẳng song song, đường trung trực,đường phân giác, tính chất tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh huyềncủa tam giác vuông và ngược lại

* Câu hỏi 1: Chứng minh DI là phân giác của góc EDF và DI là trung trực của EF?

HS: DEI= DFI ( chứng minh trên)  EDI = FDI (hai góc tương ứng)

DI nằm giữa DE và DF  DI là phân giác của góc EDF

DI  EF (cmt) và EI= EF (gt)  DI là trung trực của EF

GV: Từ đó em nào có thể rút ra nhận xét gì về đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân?

Nhận xét : Trong tam giác cân đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là

đường cao, đường trung trực, đường phân giác.

* Câu hỏi 2: Kẻ 2 trung tuyến EN và FM Hãy chứng minh EN=FM?

( Để chứng minh EN=FM ta cần chứng minh tam giác nào bằng nhau?)

Hoặc: EFN = FEM (c.g.c)  EN = FM (cạnh tương ứng)

GV: Từ đó các em có thể rút ra nhận xét gì về hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân?

Nhận xét: “ Trong một tam giác cân, 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên

 EG = FG; GM= GN; mặt khác EGM = FGN (đối đỉnh)  EGM = FGN (c.g.c) nên EM = FN (cạnh tương ứng)  DE = DF

Nên: DEF cân tại D

GV: Từ đó có thể rút ra được nhận xét gì về một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau?

Nhận xét: “ Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó

cân”.

* Câu hỏi 4: Em nào có thể chứng minh được tam giác DIN cân?

HS: DIF vuông (vì I = 900 ) có IN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

 IN= DN = FN = 1

2DF  DIN cân tại N

* Câu hỏi 5: Chứng minh NI song song với DE; MI song song với DF; MN song song với EF?

( dựa vào các tính chất của tam giác cân)

suy ra: NID = IDE nên NI DE (hai góc so le trong bằng nhau)∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau)

tương tự ta có: MI DF.∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau)

Muốn chứng minh MN song song với EF ta làm thế nào?

HS: DMN cân tại D ( vì DM=DN) 

0

180 2

D

(1)

DEF cân tại D (gt) 

0

180 2

Nên: MN EF (hai góc đồng vị bằng nhau)∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau)

GV: Từ đó em nào có thể rút ra được nhận xét gì về các đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác cân với cạnh còn lại?

Nhận xét: “ Đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác cân thì song

song với cạnh còn lại ”.

Từ đó ta có bài toán tổng quát hơn:

*Câu hỏi 6: Cho tam giác DEF với đường trung tuyến EN,MF Chứng minh

MN song song với EF? so sánh độ dài MN và EF?

 DM FA(góc ở vị trí so le trong bằng nhau)∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau)

 ME FA ∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau)  EMF = AFM (góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Ta có: DM= ME (gt) và DM= FA  ME= FA

xét: EMF và AFM có:

ME= AF ; EMF = AFM ; MF cạnh chung

 EMF= AFM (c.g.c)

 MA= EF (cạnh tương ứng); AMF= EFM(góc tương ứng)

 MN EF (góc ở vị trí so le trong bằng nhau)∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau)

Nhận xét: “ Đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác thì song song

với cạnh còn lại và bằng nửa độ dài cạnh ấy ”.

Hướng khai thác thứ 2:

Chủ yếu dùng các tính chất đường trung tuyến của tam giác để chứng minhđường thẳng đồng quy, song song, so sánh độ dài các trung tuyến với chu vi tamgiác

* Câu hỏi 7: Nếu G là trọng tâm của tam giác cân DEF Thì tam giác GEF là tam giác gì? vì sao?





( tính chất đường trung tuyến của tam giác)

Mà EN= FM (cmt)  EG = FG nên GEF cân tại G

(Hoặc: GEF có GI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên GEF cân tại G)

* Câu hỏi 8: Nếu góc D= 60 0 chứng minh GD= GE= GF?

HS: DEF cân có D = 600  DEF đều áp dụng bài 26 ta có :

DI = EN = FM (1) Theo định lý 3 đường trung tuyến của tam giác ta có:

Nhận xét: “ Trọng tâm của tam giác đều thì cách đều 3 đỉnh của tam giác đó”.

*Câu hỏi 9: Gọi K là trung điểm của DG, H là trung điểm của FG Chứng minh: GN, FK, DH đồng quy?

D

K

M N HS: GN, FK, DH là các đường trung tuyến của DGF

G  GN, FK, DH đồng qui tại một điểm

 MI = HK (cạnh tương ứng) Và GMI = GHK (góc tương ứng) 

MI  HK(góc so le trong bằng nhau)

*Câu hỏi 11: Hãy so sánh tổng độ dài 3 đường trung tuyến với chu vi của tam giác DEF ?

D

K

M G N

E I F

HS: Trên tia đối của NE vẽ điểm K sao cho NK = NE

Ta có: DNE = FNK (c.g.c)  DE= FK (cạnh tương ứng)

Trong EFK có: EF + FK > EK (Bất đẳng thức tam giác)

GV: Từ đó ta có thể rút ra được nhận xét gì về tổng độ dài 3 đường trung tuyến của 1 tam giác với chu vi của tam giác đó?

Nhận xét : “Tổng độ dài 3 đường trung tuyến của một tam giác nhỏ hơn chu vi

của tam giác đó”.

*Câu hỏi 12: Hãy so sánh chu vi tam giác MNI với chu vi của tam giác DEF ?

HS: tương tự như câu 6 ta có:

Vậy: chu vi của MIN bằng một nửa chu vi DEF

GV: Từ đó ta có thể rút ra được nhận xét gì về chu vi của tam MIN với chu vi tam giác DEF khi M, I, N lần lượt là trung điểm các cạnh của tam giác DEF? Nhận xét : “Nếu M, I, N lần lượt là trung điểm các cạnh của tam giác DEF thì

chu vi tam giác MIN bằng nửa chu vi tam giác DEF”.

*Câu hỏi 13: Trên tia DG lấy điểm K sao cho G là trung điểm của DK So sánh độ dài các cạnh của tam giác EGK với các trung tuyến của tam giác DEF ?

3 các trung tuyến của tam giác DEF

*Câu hỏi 14: Chứng minh các đường trung tuyến của tam giác EGK lần lượt bằng một nửa các cạnh của tam giác DEF ?

HS: ta có: EI = 1

2EF (gt) Gọi Q là trung điểm của EK, S là trung điểm của EG

SGK = NGD (c.g.c)

 SK= ND= 1

2DF

 IK = DM và DMI =KIM  IK DM (góc so le trong bằng nhau) (2)∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau)

Từ (1) và (2)  IM = IK và 3 điểm K, I, N thẳng hàng

 EIN = FIK (c.g.c)  NEF =KFE (góc tương ứng)

 EN KF (hai góc so le trong bằng nhau) ∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau)

*Câu hỏi 16: Hãy so sánh độ dài các cạnh của tam giác KFM và các trung tuyến của tam giác DEF?

HS: DMI = KIM (c.g.c)  DI = KM

EIN = FIK (c.g.c)  EN = KF

MF chung

Vậy: Ba cạnh của tam giác KMF lần lượt bằng các trung tuyến của tam giác DEF

*Câu hỏi 17: Trung tuyến DI và EN cần điều kiện gì thì tam giác MKF là tam giác vuông?

HS: có MK DI; KF EN∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau) ∥ DE (hai góc so le trong bằng nhau)

nếu DI  EN thì MK  KF  MKF vuông tại K

Vậy: Để MKF vuông thì cần DI  EN

Hướng khai thác thứ 3:

Vận dụng các kiến thức để so sánh diện tích tam giác các trung tuyến của tam giác

và trọng tâm tạo ra

*Câu hỏi 18: So sánh diện tích tam giác END và diện tích tam giác ENF?

D HS:

1 3

S FGD = 1

3S DEF Vậy: S EGD = S FGD = S EGF

GV: Từ đó rút ra nhận xét gì về các diện tích tam giác mà trọng tâm của tam giác đó tạo ra?

Nhận xét: “ Trọng tâm của tam giác chia tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện

tích bằng nhau và bằng 1

3 diện tích tam giác đó”.

*Câu hỏi 20: So sánh diện tích của các  DGM ,  DGN ,  FGN ,  FGI ,

Vậy: S DGM =S DGN = S FGN = S FGI = S EGI = S EMG

GV: Từ đó rút ra nhận xét gì về các diện tích tam giác mà trọng tâm của tam giác tạo ra?

Nhận xét: “ Trọng tâm của tam giác chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện

tích bằng nhau và bằng 1

6 diện tích tam giác đó”.

III Kết quả nghiên cứu:

Những vấn đề nêu trên đây là tích lũy của tôi trong quá trình giảng dạy, ôn tập và

phụ đạo cho học sinh trong phần “ Tính chất Ba đường trung tuyến của tam

giác”

Nhìn chung kết quả là rất đáng ghi nhận, hầu hết học sinh có sự tiếp thu tốt hơn,hiểu bài hơn, hứng thú hơn trong tiết học Có những bài tập củng cố kiến thức cũ,rèn kĩ năng và biết vận dụng để giải bài tập về chứng minh tam giác bằng nhau,chứng minh đoạn thẳng song song và bằng nhau, sử dụng định lí Pi Ta Go để tính

độ dài đoạn thẳng, tam giác cân , tam giác đều, bất đẳng thức tam giác so sánh độdài đoạn thẳng, chu vi tam giác, diện tích tam giác

Một yếu tố để làm cho bài học hấp dẫn hơn là trong các bài tập phát triển thêmđều có tính thực tiễn, rất thiết thực, dễ hiểu Nó phát triển tư duy, tính sáng tạo,logic, trí thông minh và năng lực, tính suy nghĩ độc lập cho học sinh , khơi dậy sựhứng thú, yêu thích môn học

Sau khi học song phần này, đại đa số học sinh đều giải được các bài tập liên quanđến tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, chứng minh tam giác bằng nhau,đoạn thẳng, góc bằng nhau, so sánh đoạn thẳng, hay đoạn thẳng song song mà lâunay học sinh được coi là khó nhọc

Qua việc theo dõi kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh thông qua kiểm tra 15phút, vở bài tập, kiểm tra một tiết Kết quả 3 lớp 7C , 7E, 7G với 102 học sinh, kếtquả cụ thể như sau:

a Khi chưa áp dụng cách dạy trên kết quả là:

PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

I KẾT LUẬN

Để chất lượng học tập của học sinh ngày càng nâng cao, người giáo viên cần phảinắm vững kiến thức bài dạy, kiến thức trọng tâm cần truyền thụ cho học sinh trongtừng tiết học Cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo kết quả các bài toán và vận dụngtriệt để hình vẽ của một bài tập để có thể khai thác phát triển thành những bài tậphay hơn, khó hơn Đồng thời phải lựa chọn phương pháp pháp phù hợp cho từngbài dạy, cho từng đối tượng học sinh, làm sao cho các em tự mình chiếm lĩnh trithức một cách sâu sắc, xây dựng được ý thức tự học, tính cẩn thận, chính xác, tưduy, óc sáng tạo, kĩ năng phân tích, tổng hợp, biết xử lí vấn đề trong mọi tìnhhuống, giúp học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức mới, chứ không phải thụ độngtiếp cận tri thức đã có sẵn

Bên cạnh đó giáo viên phải thường xuyên tự học , tự bồi dưỡng, tìm tòi nghiên cứutài liệu, không ngừng sáng tạo, thường xuyên trau dồi chuyên môn nghiệp vụ chomình thông qua mọi hình thức, đặc biệt là dự giờ thăm lớp, góp ý trao đổi chuyênmôn với đồng nghiệp, và phải xây dựng được mối quan hệ tốt, gần gũi thân thiệnvới học sinh, là chỗ dựa, là tấm gương để các em noi theo

II KIẾN NGHỊ

1 Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT

- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáoviên dạy toán Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trongtỉnh

2 Với BGH nhà trường

- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ nhưchưa đầy đủ Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sáchtham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có

thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quảhọc tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung.

3 Với PHHS

- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái Thường xuyênkiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con