giúp học sinh học tốt phần tính chất ba đường trung tuyến của tam giác từ một bài tập sách giáo khoa

GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC TỪ MỘT BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA PHẦN I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Trong hoạt động dạy học toán trường THCS, việc trang bị tốt kiến thức cho học sinh, cần phải rèn luyện kĩ giải toán,khả phát triển tư duy, suy luận, giúp học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết qủa toán từ toán gốc Nhưng thực tế chưa làm điều cách thường xuyên, phần sức ép chương trình nên giáo viên dừng lại việc tìm kết tốn, chưa có thói quen khai thác, khắc sâu toán thành chuỗi toán liên quan Nên học sinh gặp dạng toán khác chưa ,vận dụng kiến thức để giải, đồng thời chưa phát triển tư duy, lực sáng tạo Vì kết kiểm tra định kỳ hay thi khảo sát, thi học sinh giỏi kết cịn thấp Trong q trình dạy học tốn tơi nhận thấy việc tìm tịi mở rộng tốn quen thuộc thành toán từ dễ đến khó , hay tìm cách giải khác cho tốn, từ khắc sâu kiến thức cho học sinh phương pháp dạy học hay hiệu nhất, đồng thời gây hứng thú, óc sáng tạo,tư lo gic, khơi dậy niềm đam mê u thích mơn học học sinh Bài tính chất ba đường trung tuyến tam giác chương IV hình học lớp học kỳ II hành học chương đường đồng quy tam giác, chứa đựng kiến thức với ứng dụng thực tế có tính thực tiễn cao, tảng cho học Tuy kiến thức trang bị cho học sinh thông qua học sách giáo khoa trình bày sơ lược hạn hẹp, phần hạn chế việc tiếp thu gây khó khăn việc rèn luyện kĩ giải tập học sinh, đặc biệt tính sáng tạo, tư phát triển lực học sinh Vấn đề trọng tâm học là: “ Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm, điểm cách đỉnh độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy” Để giúp học sinh giải tập có liên quan mức độ khác biết khai thác toán nhiều dạng tơi xin trình bày số vấn đề Đổi phương pháp giảng dạy phần ba đường trung tuyến tam giác giúp học sinh học tốt phần tính chất ba đường trung tuyến tam giác từ Mục đích đề tài: Từ tập 28 SGK trang 67 hình học tập II Giáo viên phát triển thành tập khác SGK, giúp học sinh hiểu, khắc sâu kiến thức, biết vận dụng kiến thức học để giải tập đường trung tuyến tam giác tập dạng khác Đồng thời ôn tập, hệ thống lại kiến thức, kĩ vẽ hình, kĩ giải tập trọng tâm chương II trường hợp tam giác, định lí Pi Ta Go, tính chất tam giác cân, tam giác đều, bất đẳng thức tam giác Và phát huy tính tư duy, óc sáng tạo, tính suy nghĩ độc lập, khơi dậy hứng thú, u thích mơn học, từ nâng cao kết học tập Từ tập SGK mà phát triển thành nhiều tập khác giúp học sinh chịu khó tìm tịi , sáng tạo q trình suy nghĩ để từ hình thành phương pháp giải Phạm vi nghiên cứu đề tài: Hệ thống tập chương trình tốn lớp Đối tượng nghiên cứu: Đề tài tơi viết q trình giảng dạy trường THCS XXX , trường thuộc vùng khó khăn huyện XXX Đối tượng học sinh lớp 7C, 7E, 7G trường THCS XXX năm học 2009-2010 phạm vi áp dụng dạy phần chủ đề tự chọn mơn tốn lớp PHẦN II NỘI DUNG Bài tốn gốc: tập 28 SGK trang 67 hình học tập Cho ∆DEF cân D, với đường trung tuyến DI a Chứng minh ∆DEI= ∆DFI b Các góc DIE DIF góc gì? c Biết DE= DF = 13 cm, EF = 10 cm Hãy tính độ dài đường trung tuyến DI? D E I F Giải: a ∆DEI ∆DFI có: DE= DF(gt) DI cạnh chung EI = FI (gt) ⇒ ∆DEI= ∆DFI (c.c.c) (1) (Hoặc ∆DEI= ∆DFI (c.g.c) ) b Từ (1) ⇒ ∠ DIE = ∠ DIF (hai góc tương ứng) Mà ∠ DIE + ∠ DIF = 1800 (2 góc kề bù) ⇒ ∠ DIE = ∠ DIF = 900 c DI = DE − EI = 13 − = 12cm (áp dụng định lí pi ta go) KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN THÊM NỘI DUNG TỪ BÀI TOÁN TRÊN: Hướng khai thác thứ nhất: Chủ yếu vận dụng trường hợp tam giác , để suy cạnh, góc tương ứng nhau, dẫn đến đoạn thẳng song song, đường trung trực, đường phân giác, tính chất tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ngược lại * Câu hỏi 1: Chứng minh DI phân giác góc EDF DI trung trực EF? ∆DEI= ∆DFI ( chứng minh trên) ⇒ ∠ EDI = ∠ FDI (hai góc tương ứng) HS: DI nằm DE DF ⇒ DI phân giác góc EDF DI ⊥ (cmt) EI= EF (gt) ⇒ DI trung trực EF EF GV: Từ em rút nhận xét đường trung tuyến ứng với cạnh đáy tam giác cân? Nhận xét: Trong tam giác cân đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đường cao, đường trung trực, đường phân giác * Câu hỏi 2: Kẻ trung tuyến EN FM Hãy chứng minh EN=FM? ( Để chứng minh EN=FM ta cần chứng minh tam giác nhau?) D M G N E I F ∆DEN ∆DFM có: HS: DE= DF (gt); ∠ D chung; DM= DN= DE ⇒ ∆DEN = ∆DFM (c.g.c) ⇒ EN = FM (cạnh tương ứng) ∆EFN = ∆FEM (c.g.c) Hoặc: ⇒ EN = FM (cạnh tương ứng) GV: Từ em rút nhận xét hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên tam giác cân? Nhận xét: “ Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh bên nhau” * Câu hỏi 3: Ngược lại tam giác DEF có đường trung tuyến EN = FM Hãy chứng minh ∆DEF tam giác cân ? ( Nếu G trọng tâm tam giác DEF Nhận xét độ dài đoạn thẳng EG FM? GM GN? Từ xét quan hệ ∆EGM ∆FGN?) HS: EG = 2 EN ( t/c trung tuyến); FG = FM ( t/c trung tuyến) EN = 3 FM(gt) ⇒ EG = FG; GM= GN; mặt khác ∠ EGM = ∠ FGN (đối đỉnh) ⇒ ∆EGM = ∆FGN (c.g.c) nên EM = FN (cạnh tương ứng) ⇒ DE = DF Nên: ∆DEF cân D GV: Từ rút nhận xét tam giác có hai đường trung tuyến nhau? Nhận xét: “ Nếu tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân” * Câu hỏi 4: Em chứng minh tam giác DIN cân? HS: ∆DIF vng (vì ∠ I = 900 ) có IN đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ IN= DN = FN = DF ⇒ ∆DIN cân N * Câu hỏi 5: Chứng minh NI song song với DE; MI song song với DF; MN song song với EF? ( dựa vào tính chất tam giác cân) D M G N E HS: I F ∆DIN cân N ⇒ ∠ NDI = ∠ NID (góc đáy) Mặt khác ∠ NDI = ∠ IDE (cmt) suy ra: ∠ NID = ∠ IDE nên NI ∥ DE (hai góc so le nhau) tương tự ta có: MI ∥ DF Muốn chứng minh MN song song với EF ta làm nào? HS: ∆DMN cân D ( DM=DN) ⇒ ∠DMN = 1800 − ∠D (1) ∆DEF cân D (gt) ⇒ ∠DEF = 1800 − ∠D (2) Từ (1) (2) ta có: ∠ DEF = ∠ DMN Nên: MN ∥ EF (hai góc đồng vị nhau) GV: Từ em rút nhận xét đoạn thẳng nối trung điểm cạnh tam giác cân với cạnh lại? Nhận xét: “ Đoạn thẳng nối trung điểm cạnh tam giác cân song song với cạnh cịn lại ” Từ ta có tốn tổng quát hơn: *Câu hỏi 6: Cho tam giác DEF với đường trung tuyến EN,MF Chứng minh MN song song với EF? so sánh độ dài MN EF? D N M A E F HS: Vẽ điểm A cho N trung điểm MA ∆DNM ∆FNA có: DN= FN (gt) ∠DNM= ∠FNA(đối đỉnh) MN= NA (cách dựng) ⇒ ∆DNM= ∆FNA (c.g.c) ⇒ MD= FA(cạnh tương ứng) ∠D= ∠NFA(góc tương ứng) ⇒ DM ∥ FA(góc vị trí so le nhau) ⇒ ME ∥ FA ⇒ ∠EMF = ∠AFM (góc vị trí so le nhau) Ta có: DM= ME (gt) DM= FA ⇒ ME= FA xét: ∆EMF ∆AFM có: ME= AF ; ∠EMF = ∠AFM ; MF cạnh chung ⇒ ∆EMF= ∆AFM (c.g.c) ⇒ MA= EF (cạnh tương ứng); ∠AMF= ∠EFM(góc tương ứng) ⇒ MN ∥ EF (góc vị trí so le nhau) Và: MN= 1 EF (vì MN= MA ) 2 GV: Từ rút nhận xét đoạn thẳng nối trung điểm cạnh tam giác với cạnh lại? Nhận xét: “ Đoạn thẳng nối trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại nửa độ dài cạnh ” Hướng khai thác thứ 2: Chủ yếu dùng tính chất đường trung tuyến tam giác để chứng minh đường thẳng đồng quy, song song, so sánh độ dài trung tuyến với chu vi tam giác * Câu hỏi 7: Nếu G trọng tâm tam giác cân DEF Thì tam giác GEF tam giác gì? sao? D M N G E I F Vì G trọng tâm ∆DEF nên: HS: EN ( tính chất đường trung tuyến tam giác) FG = FM EG = Mà EN= FM (cmt) ⇒ EG = FG nên ∆GEF cân G (Hoặc: ∆GEF có GI vừa trung tuyến, vừa đường cao nên ∆GEF cân G) * Câu hỏi 8: Nếu góc D= 600 chứng minh GD= GE= GF? ∆DEF cân có ∠ D = 600 ⇒ ∆DEF áp dụng 26 ta có : HS: DI = EN = FM (1) Theo định lý đường trung tuyến tam giác ta có: GD= DI ; GE= EN ; GF= FM ; (2) Từ (1), (2) ⇒ GD = GE = GF GV: Từ ta rút nhận xét trọng tâm tam giác đều? 10 Nhận xét: “ Trọng tâm tam giác cách đỉnh tam giác đó” *Câu hỏi 9: Gọi K trung điểm DG, H trung điểm FG Chứng minh: GN, FK, DH đồng quy? D K M N HS: GN, FK, DH đường trung tuyến ∆DGF G ⇒ GN, FK, DH đồng qui điểm H E I F * Câu hỏi 10: Chứng minh KH song song MI ? HS: ∆MGI ∆HGK có: MG= GH= GF (t/c trung tuyến) GI= GK= GD (t/c trung tuyến) ∠ MGI = ∠ HGK( đối đỉnh) ⇒ ∆IGM= ∆KGH (c.g.c) ⇒ MI = HK (cạnh tương ứng) Và ∠ GMI = ∠ GHK (góc tương ứng) ⇒ MI ⁄⁄ HK(góc so le nhau) 11 *Câu hỏi 11: Hãy so sánh tổng độ dài đường trung tuyến với chu vi tam giác DEF ? D K M G N E I F HS: Trên tia đối NE vẽ điểm K cho NK = NE Ta có: ∆DNE = ∆FNK (c.g.c) ⇒ DE= FK (cạnh tương ứng) Trong ∆EFK có: EF + FK > EK (Bất đẳng thức tam giác) ⇒ EF + DE > 2EN ⇒ FE + DE > EN (1) Tương tự ta có: FD + DE > DI (2) FE + DF > MF (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ⇒ DE +DF + EF > DI + EN +MF GV: Từ ta rút nhận xét tổng độ dài đường trung tuyến tam giác với chu vi tam giác đó? 12 Nhận xét: “Tổng độ dài đường trung tuyến tam giác nhỏ chu vi tam giác đó” *Câu hỏi 12: Hãy so sánh chu vi tam giác MNI với chu vi tam giác DEF ? HS: tương tự câu ta có: EF NI = DE MI = DF MN = ⇒ MN + NI + MI = ( EF + DE + DF ) Vậy: chu vi ∆MIN nửa chu vi ∆DEF GV: Từ ta rút nhận xét chu vi tam MIN với chu vi tam giác DEF M, I, N trung điểm cạnh tam giác DEF? Nhận xét: “Nếu M, I, N trung điểm cạnh tam giác DEF chu vi tam giác MIN nửa chu vi tam giác DEF” *Câu hỏi 13: Trên tia DG lấy điểm K cho G trung điểm DK So sánh độ dài cạnh tam giác EGK với trung tuyến tam giác DEF ? D M S E G N I F Q K 13 HS: ta có: EG = DG = EN (t/c đường trung tuyến tam giác) DI (t/c đường trung tuyến tam giác) Mà DG = GK DI ∆EIK = ∆FIG (c.g.c) ⇒ GK = ⇒ EK = GF (cạnh tương ứng) ⇒ EK= MF GV: Từ ta rút nhận xét cạnh tam giác EGK với trung tuyến tam giác DEF? Nhận xét: Nếu G trung điểm DK cạnh tam giác EGK trung tuyến tam giác DEF *Câu hỏi 14: Chứng minh đường trung tuyến tam giác EGK nửa cạnh tam giác DEF ? HS: ta có: EI = EF (gt) Gọi Q trung điểm EK, S trung điểm EG ∆SGK = ∆NGD (c.g.c) ⇒ SK= ND= DF 14 ∆GIF = ∆KIE (c.g.c) ⇒ ∠GFI = ∠KEI (góc tương ứng) Và GF = KE (cạnh tương ứng) ⇒ ∠MGF = ∠KEG (1) Mặt khác: EK = FG = ⇒ EQ= MF 1 EK = GF = GM (2) 2 Từ (1) (2) ⇒ ∆MGE = ∆QEG (c.g.c) ⇒ GQ = ME = DF Vậy: Ba đường trung tuyến tam giác EGK nửa cạnh tam giác DEF *Câu hỏi 15: Từ M kẻ đường thẳng song song với DI cắt NI K Chứng minh KF song song với EN? D M N G E I F K HS: ta có: IN ∥ MD IN = MD (cmt) (1) ∆DMI = ∆KIM (c.g.c) 15 ⇒ IK = DM ∠DMI =∠KIM ⇒ IK ∥ DM (góc so le nhau) (2) Từ (1) (2) ⇒ IM = IK điểm K, I, N thẳng hàng ⇒ ∆EIN = ∆FIK (c.g.c) ⇒ ∠NEF =∠KFE (góc tương ứng) ⇒ EN ∥ KF (hai góc so le nhau) *Câu hỏi 16: Hãy so sánh độ dài cạnh tam giác KFM trung tuyến tam giác DEF? HS: ∆DMI = ∆KIM (c.g.c) ⇒ DI = KM ∆EIN = ∆FIK (c.g.c) ⇒ EN = KF MF chung Vậy: Ba cạnh tam giác KMF trung tuyến tam giác DEF *Câu hỏi 17: Trung tuyến DI EN cần điều kiện tam giác MKF tam giác vng? HS: có MK ∥ DI; KF ∥ EN DI ⊥ EN MK ⊥ KF ⇒ ∆MKF vng K Vậy: Để ∆MKF vng cần DI ⊥ EN Hướng khai thác thứ 3: Vận dụng kiến thức để so sánh diện tích tam giác trung tuyến tam giác trọng tâm tạo *Câu hỏi 18: So sánh diện tích tam giác END diện tích tam giác ENF? D 16 HS: H K M E N G I F S ∆EDN = EH.DN S ∆EFN = EH.FN Mà DN = NF (gt) ⇒ S ∆EDN = S ∆EFN GV: Từ rút nhận xét diện tích hai tam giác mà đường trung tuyến tạo ra? Nhận xét: Đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích *Câu hỏi 19: So sánh diện tích tam giác DEG , tam giác DGF diện tích tam giác EGF? EK GF S ∆EMF = EK MF 2 HS: có GF = MF 2 ⇒ S ∆EGF = S ∆EMF = S ∆DEF 3 ⇒ S ∆EGF = S ∆DEF S ∆EGF = Tương tự có S ∆EGD = S ∆DEF 17 S ∆FGD = Vậy: S ∆DEF S ∆EGD = S ∆FGD = S ∆EGF GV: Từ rút nhận xét diện tích tam giác mà trọng tâm tam giác tạo ra? Nhận xét: “ Trọng tâm tam giác chia tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích diện tích tam giác đó” *Câu hỏi 20: So sánh diện tích ∆ DGM , ∆ DGN , ∆ FGN , ∆ FGI , ∆ EGI, ∆ EMG? HS: S ∆EGM = S ∆EFM = Mà MG = ⇒ EK.MG EK.MF MF (tính chất đường trung tuyến tam giác) S ∆EGM = 1 S ∆EFM = S ∆DEF Tương tự ta có trường hợp lại Vậy: S ∆DGM =S ∆DGN = S ∆FGN = S ∆FGI = S ∆EGI = S ∆EMG GV: Từ rút nhận xét diện tích tam giác mà trọng tâm tam giác tạo ra? 18 Nhận xét: “ Trọng tâm tam giác chia tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích diện tích tam giác đó” 19 III Kết nghiên cứu: Những vấn đề nêu tích lũy tơi q trình giảng dạy, ơn tập phụ đạo cho học sinh phần “ Tính chất Ba đường trung tuyến tam giác” Nhìn chung kết đáng ghi nhận, hầu hết học sinh có tiếp thu tốt hơn, hiểu hơn, hứng thú tiết học Có tập củng cố kiến thức cũ, rèn kĩ biết vận dụng để giải tập chứng minh tam giác nhau, chứng minh đoạn thẳng song song nhau, sử dụng định lí Pi Ta Go để tính độ dài đoạn thẳng, tam giác cân , tam giác đều, bất đẳng thức tam giác so sánh độ dài đoạn thẳng, chu vi tam giác, diện tích tam giác Một yếu tố để làm cho học hấp dẫn tập phát triển thêm có tính thực tiễn, thiết thực, dễ hiểu Nó phát triển tư duy, tính sáng tạo, logic, trí thơng minh lực, tính suy nghĩ độc lập cho học sinh , khơi dậy hứng thú, yêu thích mơn học Sau học song phần này, đại đa số học sinh giải tập liên quan đến tính chất ba đường trung tuyến tam giác, chứng minh tam giác nhau, đoạn thẳng, góc nhau, so sánh đoạn thẳng, hay đoạn thẳng song song mà lâu học sinh coi khó nhọc Qua việc theo dõi kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh thông qua kiểm tra 15 phút, tập, kiểm tra tiết Kết lớp 7C , 7E, 7G với 102 học sinh, kết cụ thể sau: a Khi chưa áp dụng cách dạy kết là: sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém 20 số SL 102 % SL % SL % SL % SL % 10 9,8 18 17,6 53 52 15 14,7 3.9 b Sau áp dụng cách dạy kết là: sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 102 12 11,8 21 20,6 57 55,8 11 10,8 1,0 21 PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN Để chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao, người giáo viên cần phải nắm vững kiến thức dạy, kiến thức trọng tâm cần truyền thụ cho học sinh tiết học Cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo kết toán vận dụng triệt để hình vẽ tập để khai thác phát triển thành tập hay hơn, khó Đồng thời phải lựa chọn phương pháp pháp phù hợp cho dạy, cho đối tượng học sinh, cho em tự chiếm lĩnh tri thức cách sâu sắc, xây dựng ý thức tự học, tính cẩn thận, xác, tư duy, óc sáng tạo, kĩ phân tích, tổng hợp, biết xử lí vấn đề tình huống, giúp học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức mới, thụ động tiếp cận tri thức có sẵn Bên cạnh giáo viên phải thường xuyên tự học , tự bồi dưỡng, tìm tịi nghiên cứu tài liệu, không ngừng sáng tạo, thường xuyên trau dồi chuyên môn nghiệp vụ cho thơng qua hình thức, đặc biệt dự thăm lớp, góp ý trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp, phải xây dựng mối quan hệ tốt, gần gũi thân thiện với học sinh, chỗ dựa, gương để em noi theo II KIẾN NGHỊ Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT - Quan tâm đến việc bồi dưỡng chun mơn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy tốn Nên tổ chức hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên tỉnh Với BGH nhà trường - Hiện nay, nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa đầy đủ Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo mơn Tốn để học sinh tìm tịi, học tập giải tốn để em có 22 thể tránh sai lầm làm tập nâng cao hứng thú, kết học tập mơn tốn nói riêng, nâng cao kết học tập học sinh nói chung Với PHHS - Quan tâm việc tự học, tự làm tập nhà Thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn trước đến trường 23 ... GV: Từ ta rút nhận xét cạnh tam giác EGK với trung tuyến tam giác DEF? Nhận xét: Nếu G trung điểm DK cạnh tam giác EGK trung tuyến tam giác DEF *Câu hỏi 14: Chứng minh đường trung tuyến tam giác. .. độc lập cho học sinh , khơi dậy hứng thú, u thích mơn học Sau học song phần này, đại đa số học sinh giải tập liên quan đến tính chất ba đường trung tuyến tam giác, chứng minh tam giác nhau, đoạn... sinh học tốt phần tính chất ba đường trung tuyến tam giác từ Mục đích đề tài: Từ tập 28 SGK trang 67 hình học tập II Giáo viên phát triển thành tập khác SGK, giúp học sinh hiểu, khắc sâu kiến