Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính
Trang 1Vì đặc tính xung h(n) hữu hạn, nên bộ lọc FIR luôn ổn định, có nghĩa là tất cả các điểm cực của hàm hệ thống
H(z) nằm trong đường tròn đơn vị |z| = 1 Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR :
) ( 1
0
)
( )
( )
n
n j
e
N
Trong chương này chỉ nghiên cứu các bộ lọc số FIR có pha tuyến tính :
Trong đó và là các hằng số, và là thời gian truyền lan của tín hiệu qua bộ lọc :
d
d ( )
[5.2-2]
Theo [5.2-2] tất cả các thành phần tần số của tín hiệu đi qua bộ lọc số FIR pha tuyến tính đều bị giữ trễ như nhau,
vì thế tín hiệu không bị méo dạng phổ
Vì H(e j ) tuần hoàn với chu kỳ 2 nên chỉ cần nghiên cứu đặc tính biên độ tần số H(e j ) và pha () khi (-
) hoặc (02).
Mặt khác, nếu bộ lọc số có đặc tính xung h(n) là dãy thực thì theo tính chất của biến đổi Fourier có :
) (
)
(e j H e j
Như vậy, H(e j ) là hàm chẵn và đối xứng, còn () là hàm lẻ và phản đối xứng Vì thế, khi đặc tính xung h(n) là dãy thực thì chỉ cần nghiên cứu bộ lọc số trong khoảng (0).
Theo [5.2-1] , có hai trường hợp bộ lọc FIR pha tuyến tính :
1 = 0 () = -
2 0 () = -
5.2.1 a Trường hợp = 0 , () = -
Khai triển công thức Euler, biểu diễn đặc tính tần số dưới dạng :
)
( )
( ) (e j A e j e j A e j j
) sin(
)
( ) cos(
)
( ) (e j A e j jA e j
1 0
1 0
) sin(
) cos(
)
( )
( )
(
N N
n n
n j
e
1 0
1 0
) sin(
)
( )
cos(
)
( )
(
N N
n n
e
1 0
) cos(
)
( )
cos(
)
(
N
n
e
1 0
) sin(
)
( )
sin(
)
(
N
n
e
Suy ra :
0
1 0
) cos(
)
(
) sin(
)
( )
N
n
n
n n
h
n n
h tg
Vì sin0 = 0 và cos0 = 1 nên có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng :
1
1 1
) cos(
)
( )
(
) sin(
)
( )
(
0
N N
n
n
n n
h h
n n
h tg
Từ đây có 2 trường hợp, = 0 là bộ lọc pha không, và 0
0
0 0
1
1 1
) cos(
)
( )
(
) sin(
)
( )
sin(
) ( )
N N
n
n
n n
h h
n n
h h
tg
Tức là h(n) 0 khi n = 0, vàh(n) = 0 với mọi n 0 Bộ lọc như vậy không có ý nghĩ thực tế và không thể thực hiện được, vì tín hiệu truyền qua bộ lọc luôn bị giữ trễ, cho dù thời gian giữ trễ là rất nhỏ
Trang 20
1 0
) cos(
)
(
) sin(
)
( )
cos(
) sin(
)
N N
n
n
n n
h
n n
h tg
1 0
1 0
) sin(
)
( ) cos(
) cos(
)
( ) sin(
N N
n n
n n
h n
n
1 0
1 0
) sin(
)
( ) cos(
) cos(
)
( )
N N
n n
n n
h n
n
Tiếp tục biến đổi lượng giác sẽ nhận được phương trình :
0
1 0
) ( sin )
N
n
n n
Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại :
2
1
N
và : h(n) h(N 1 n) với n(0, N 1) [5.2-7]
Theo [5.2-7] , đặc tính xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính khi = 0 là dãy đối xứng
- Khi = 0 và N lẻ, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1
- Khi = 0 và N chẵn, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2
Ví dụ 5.5 : Bộ lọc FIR pha tuyến tính có () = -. , với N = 5 và h(0) = -1 h(1) = 1 , h(2) = 2 Tìm và vẽ đặc tính xung
h(n) của bộ lọc.
Giải : Vì = 0 và N lẻ nên đây là bộ lọc số
FIR pha tuyến tính loại 1
2
1 5 2
1
N
Theo [5.2-7] có :
) ( ) (
)
(n h 5 1 n h 4 n
Vậy : h(4) h(0) 1
1 1
3) ()
h
2
2)
h
Đặc tính xung h(n) có trục đối xứng tại n =
= 2 , đồ thị h(n) ở hình 5.10
Hình 5.10 : h(n) của bộ lọc
FIRpha tuyến tính loại1.
Ví dụ 5.6 : Bộ lọc FIR pha tuyến tính có () = -. , với N = 4 và h(0) = -1 h(1) = 1 Tìm và vẽ đặc tính xung h(n) của
bộ lọc.
Giải : Vì = 0 và N chẵn nên đây là bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 2
Theo [5.2-6] có :
5 , 1 2
1 4 2
1
N
Theo [5.2-7] có :
) ( ) (
)
(n h 4 1 n h 3 n
Vậy : h(3) h(0) 1
1 1
h
Đặc tính xung h(n) có trục đối xứng tại n
= = 1,5, đồ thị h(n) ở hình 5.11
Hình 5.11 : h(n) của bộ lọc
FIRpha tuyến tính loại2
Nhận xét : - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có đặc tính xung h(n) đối xứng giống như các bộ lọc số lý
tưởng
- Tâm đối xứng của h(n) tại điểm n = Nếu N lẻ thì là số nguyên và trục đối xứng của h(n) trùng với mẫu tại
n = (N - 1)/2 Còn nếu N chẵn thì là số thập phân và trục đối xứng nằm giữa hai mẫu tại n = [( N/2) - 1] và n = ( N/2)
5.2.1b Trường hợp 0 , () = -
Bằng cách biến đổi tương tự như trường hợp trên, nhận được :
1 0
) ( sin )
N
n
n
Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại :
1
0 1 2 4
n
h ( n )
- 1 - 1 1
h ( n )
1
0 3
- 1
- 1
n
5
1
2 2 1
Trang 32
1
N
2
và : h(n) h(N 1 n) với n(0, N 1) [5.2-10]
Theo [5.2-10] , đặc tính xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính trong trường hợp 0 là dãy phản đối xứng
- Khi 0 và N lẻ gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3
- Khi 0 và N chẵn gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4
Ví dụ 5.7 : Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có () = - , với N = 7 và h(0) = -1 , h(1) = -0,5 , h(2) = 1,5 Tìm và vẽ
đặc tính xung của bộ lọc.
Giải : Vì 0 và N lẻ nên đây là
bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3
Theo [5.2-9] có :
2
1 7 2
1
N
Theo [5.2-10] có :
) 6 ( ) (
)
Vậy : h(6) h(0) 1
5 , 0
1) ( )
5
( h
h
5 , 1
2) ( )
4
( h
h
0
)
3
h
Đặc tính xung h(n) có tâm phản đối
xứng tại n = = 3 , đồ thị h(n) trên
hình 5.12
Hình 5.12 : h(n) của bộ lọc
FIRpha tuyến tính loại3
Ví dụ 5.8 : Cho bộ lọc FIR pha tuyến tính có () = -. , với N = 4 và h(0) = -1 , h(1) = 1 Tìm và vẽ đặc tính xung
h(n) của bộ lọc.
Giải : Vì 0 và N chẵn nên đây là bộ lọc
FIR pha tuyến tính loại 4
Theo [5.2-9] có :
5 , 1 2
1 4 2
1
N
Theo [5.2-10] có :
) ( ) (
)
Vậy : h(3) h(0) 1
1
1) ( )
2
( h
h
Đặc tính xung h(n) có tâm phản đối xứng tại n
= 1,5 , đồ thị h(n) ở hình 5.13
Hình 5.13 : h(n) của bộ lọc FIRpha tuyến tính loại4
Nhận xét : - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 có đặc tính xung h(n) phản đối xứng.
- Tâm phản đối xứng của h(n) tại điểm n = Nếu N lẻ thì là số nguyên và tâm phản đối xứng của h(n) trùng với mẫu tại n = ( N - 1)/2 và tại đó h(n) = 0 Còn nếu N chẵn thì là số thập phân và tâm phản đối xứng nằm giữa hai mẫu
tại n = [( N/2) - 1] và n = ( N/2)
Như vậy có bốn loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính () = - :
- Bộ lọc loại 1 : = 0 , N lẻ, đặc tính xung h(n) đối xứng.
- Bộ lọc loại 2 : = 0 , N chẵn, đặc tính xung h(n) đối xứng.
- Bộ lọc loại 3 : = /2 ,N lẻ, đặc tính xung h(n) phản đối xứng.
- Bộ lọc loại 4 : = /2 ,N chẵn, đặc tính xung h(n) phản đối xứng.
5.2.2 Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính
Khi h(n) là dãy thực thì chỉ cần khảo sát đặc tính tần số H(e j ) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính trong đoạn [ 0
]
5.2.2 a Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1
Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có () = - và N lẻ, đặc tính tần số là :
n
n j
e
N
)
(
1
0
Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :
1
21 2
1 1
21 0
) ( )
( )
(
2
N
N N
n
n j j
n
n j
Đổi biến thành phần thứ 3, đặt m (N 1 n) => n (N 1 m),
2 3
n
h ( n )
- 1 , 5 5
1 , 5
- 0 , 5
6 7
0 , 5
- 1
1
0
h ( n )
2
n
0
- 1 - 1
1 1
4
Trang 4
2
1
N
2
1
N
m , khi n (N 1) thì m 0 :
1
21
) 1 ( 2
1 1
21 0
) (
) ( )
2
1
N
N N
N
m
m j j
n
n j
Đảo chiều chỉ số và đổi lại biến của thành phần thứ 3 theo n :
2 1
1
0
) 1 ( 2
1 1
21 0
) (
) ( )
2 1
N
N N
N
n
n j j
n
n j
Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có h(n)h(N 1 n), nên :
1
21 0
) 1 ( 2
1
) ( )
(
2 1
N
N N
n
n j n j j
n j n j
N N
N
e
1 2
1 2
1 )
1
N
n j n j
2
1
2 2 cos
1 )
1 (
Do đó [5.2-11] được đưa về dạng :
1 1
21 0 2
1
cos
) ( )
(
2
1
2 2
N
n
j
1 1
21
1
2 2
1
cos ) ( )
(
N N
j n
2
1
2
1
,
khi n 0 thì
2
1
N
2
1
N
n thì m 1, nhận được :
1 1
21
cos )
(
2
1
2 2
N
j m
Đổi biến m trở về n, đảo cận của tổng và thêm cos(.0) = 1 vào số hạng đầu :
1
21 1
cos
cos )
(
2
1
2 0
2
N
j n
N j n
e
N
)
1 2
1
0
[5.2-12]
Với các hệ số của chuỗi :
2
1
0)
n
2
1
2
)
Từ [5.2-12] , đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 :
2 1
0
) cos(
) ( )
(
N
n
e
Với các hệ số a(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-13]
Đặc tính pha :
2
1 2
1
)
Trang 5Nhận xét : Vì cos(0) = 1 nên bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 không thể dùng để làm bộ lọc có H(e j ) = 0 tại = 0 ,
đó là các bộ lọc thông cao và dải thông [trừ khi bộ lọc có đặc tính xung với h(N 1 / 2) a(0) 0]
tính xung h(n) của bộ lọc cho trên hình 5.14 Vẽ đặc tính biên độ tần số H(e j ) của bộ lọc đã cho.
Giải : Đặc tính pha theo [5.2-15]:
2 2
1 5 2
1
N
() 2.
Theo [5.2-14] có đặc tính biên độ tần số :
2 0
) cos(
) ( )
(
n
e
Tính các hệ số a(n) theo [5.2-13]: 2 2
2
1
0) ( )
2 1 2 1 2
1
2
1) ()
a N ; a(2) 2 h2 2 2 h(0) 2
Theo giá trị các hệ số nhận được : H(e j) 22cos() 2cos(2)
Hình 5.14: Đặc tính xung h(n) và đặc tính biên độ tần số H(e j )
của bộ lọc thông thấp FIRpha tuyến tính loại1 ở ví dụ 5.9 Trên hình 5.14 là đặc tính biên độ tần số H(e j )của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 đã cho, đây là bộ lọc thông thấp
5.2.2b Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2
Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 có () = - và N chẵn, đặc tính tần số là :
n
n j
e
N
)
(
1
0
Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần :
1
2
1 2 0
) ( )
( )
(
N N N
n
n j n
n j
e
Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 5.2.2a , nhận được :
1 2
1
) ( cos ) ( )
2
N N
j n
e
[5.2-16]
n
2 2
)
Từ đó có đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 :
2 1
) ( cos ) ( )
2
N
n
e
[5.2-18]
Với các hệ số b(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-17]
Đặc tính pha :
2
1 2
1
)
Nhận xét : Khi = thì 2 1 0
2 1
2
cos n n với mọi n nên H(e j ) = 0 khi = Như vậy, bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 không thể dùng để xây dựng bộ lọc có đặc tính biên độ tần số khác 0 tại = ,
đó là bộ lọc thông cao và bộ lọc dải chặn
h ( n )
1
- 1
- 1
n
5
1
2
2
1
Trang 6tính xung h(n) của bộ lọc cho trên hình 5.15 Vẽ đặc tính biên độ tần sốH(e j )của bộ lọc đã cho.
Giải : Theo [5.2-19] có đặc tính pha :
5 , 1 2
1 4 2
1
N
() 1,5.
Theo [5.2-18] có đặc tính biên độ tần số :
2 1
) ( cos ) ( )
2
n
e
Với các hệ số b(n) được xác định theo [5.2-17] :
2 1 2 1 2 2 1 2
2
b N ; b(2)2.h(2 2)2.h(0) 2
Vậy : H(e j) 2cos(0 , 5) 2cos(1 , 5)
Hình 5.15 : Đặc tính xung h(n) và đặc tính biên độ tần số H(e j )
của bộ lọc dải thôngFIRpha tuyến tính loại2ở ví dụ 5.10 Trên hình 5.15 làđặc tính biên độ tần số H(e j )của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2 đã cho, đây là bộ lọc dải thông
5.2.2 c Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3
Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có () = - và N lẻ, đặc tính tần số là :
n
n j
e
N
)
(
1
0
Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :
1
21 2
1 1
21 0
) ( )
( )
(
2
N
N N
n
n j j
n
n j
Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có đặc tính xung h(n) phản đối xứng nên tại n = ( N - 1)/2 thì h(n) = 0 Do đó biểu thức trên có dạng :
1
1
21
1
21 0
) ( )
( )
(
N N N
n
n j n
n j
e
Đổi biến tổng thứ hai, đặt m = ( N - 1 - n) => n = (N - 1 - m), nhận được :
0
1
21
) 1 (
1
21 0
) (
) ( )
N
N N
m
m j n
n j
Đổi lại biến m thành n và đảo chiều chỉ số của tổng thứ hai :
1
21 0
) 1 ( 1
21 0
) (
) ( )
N
N N
n
n j n
n j
Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 có h(n) h(N 1 n), nên :
1
21 0
) 1 ( )
( )
(
N
N
n
n j n j
e
Tiếp tục biến đổi tương tự ở mục 5.2.2a , nhận được :
1 2 2
1
1
) sin(
) ( )
(
N N
j n
e
Với các hệ số : c n h N n h n
2
1
2
)
Từ đó có đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 :
1
n
h ( n )
- 1 - 1
1
Trang 7
2 1
1
) sin(
) ( )
(
N
n
e
Với các hệ số c(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-21]
) (
2
1
2
Suy ra :
2
1
N
2
Nhận xét : Với = 0 và = thì sin(0) 0 và sin() 0với mọi n, nên khi đó H(e j ) = 0 Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 không thể dùng để xây dựng bộ lọc có đặc tính biên độ tần số khác 0 tại = 0 và = đó là các bộ
lọc thông thấp, thông cao và bộ lọc dải chặn Như vậy, bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 chỉ xây dựng được bộ lọc dải thông
tính xung h(n) của bộ lọc cho trên hình 5.16 Vẽ đặc tính biên độ tần số H(e j ) của bộ lọc đã cho.
Giải : Theo [5.2-23] có đặc tính pha tần số :
3 2
1 7 2
1
N
2
Theo [5.2-20] có đặc tính biên độ tần số :
2 1
) sin(
) ( )
(
n
e
Với các hệ số c(n) được xác định theo [5.2-21]:
1 2 3 1 2 2 2.1,5 3
2
1 5 , 0 2 1 2
c ; c(3) 2.h(0) 2.1 2
Vậy : H(e j) 3sin() sin(2) 2sin(3)
Hình 5.16: Đặc tính xung h(n) và đặc tính biên độ tần số H(e j )
của bộ lọc dải thôngFIRpha tuyến tính loại3ở ví dụ 5.11 Trên hình 5.16 là đặc tính biên độ tần số H(e j ) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 đã cho, đây là bộ lọc dải thông
5.2.2d Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4
Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 có () = - và N chẵn, đặc tính tần số là :
n
n j
e
N
)
0
Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần :
1
2
1 2 0
) ( )
( )
(
N N N
n
n j n
n j
e
Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 2.3, nhận được :
2 1
) ( sin ) ( )
2
N N
j n
e
n
2 2
)
Từ đó có đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 :
2 3
n
h ( n )
- 1 , 5 5
1 , 5
- 0 , 5
6 7
0 , 5
- 1
1
0
Trang 8
2 1
) ( sin ) ( )
2
N
n
e
[5.2-26]
Với các hệ số d(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo [5.2-25]
) (
2
1
2
Suy ra :
2
1
N
2
Nhận xét : Với = 0 thì sin(0) 0, khi đó H(e j ) = 0 Vì thế, bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 không thể dùng để xây dựng bộ lọc có đặc tính biên độ tần số khác 0 tại = 0 , đó là các bộ lọc thông thấp và dải chặn
tính xung h(n) của bộ lọc cho trên hình 5.17 Vẽ đặc tính biên độ tần số H(e j ) của bộ lọc đã cho.
Giải : Theo [5.2-27] có đặc tính pha :
5 , 1 2
1 4 2
1
N
2
Theo [5.2-24] có đặc tính biên độ tần số :
2 1
) ( sin ) ( )
2
n
e
Với các hệ số c(n) được xác định theo [5.2-25] :
2 1 2 1 2 2
d N ; d(2) 2.h(2 2) 2.h(0) 2
Vậy : H(e j) 2sin(0 , 5)2sin(1 , 5)
Hình 5.17: Đặc tính xung h(n) và đặc tính biên độ tần số H(e j )
của bộ lọc thông caoFIRpha tuyến tính loại4 ở ví dụ 5.12 Trên hình 5.17 là đặc tính biên độ tần số H(e j ) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 đã cho, đây là bộ lọc thông cao
Theo dạng đặc tính biên độ tần số H(e j ) của các bộ lọc số FIR pha tuyến tính đã phân tích ở trên, rút ra kết luận như sau :
- Bộ lọc loại 1 chỉ làm được các bộ lọc thông thấp và dải chặn
- Bộ lọc loại 2 chỉ làm được các bộ lọc thông thấp và dải thông
- Bộ lọc loại 3 chỉ làm được bộ lọc dải thông
- Bộ lọc loại 4 chỉ làm được các bộ lọc thông cao và dải thông
h ( n )
2
n
0
- 1 - 1
4
