ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2009 – 2010 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MÔN TOÁN – KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề ) =========================================== Ngày thi: 11 – 4 – 2010. A. PHẦN CHUNG ( Dành cho tất cả các thí sinh) Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = 3x + 2 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Câu II (2 điểm) 1. Giải hệ phương trình:
ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN NĂM 2010 ============================= SỞ GD& ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2009 – 2010 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MÔN TOÁN – KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề ) =========================================== Ngày thi: 11 – 4 – 2010. A. PHẦN CHUNG ( Dành cho tất cả các thí sinh) Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x 3 – 3x + 2 (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = - 3x + 2 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Câu II (2 điểm) 1. Giải hệ phương trình: =−−+++ =+++++ 232 532 22 22 yxyx yxyx 2. Giải phương trình. 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0 Câu III (1 điểm). Tính tích phân: ∫ −+ 1 0 2 11 x dx Câu IV (1 điểm). Cho khối chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, ∠ ASB = 60 0 , ∠ BSC = 90 0 , ∠ CSA = 120 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Câu V (1 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng: 222 )12( 1 )12( 1 )12( 1 − + − + − ccbbaa 2 1 ≥ B. PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chỉ chọn một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2) Phần 1: Câu VI a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ∆ ): x + y – 1 = 0, các điểm A( 0; - 1), B(2;1). Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên ( ∆ ). Tịm tọa độ các điểm C, D. 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;0;2) và đường thẳng ( ∆ ) có phương trình tham số: x = 0; y = t; z = 2. Điểm M di động trên trục hoành, điểm N di động trên ( ∆ ) sao cho: OM + AN = MN. Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Câu VII a (1 điểm). Tìm các giá trị của a thỏa mãn: 3 x + (a – 1).2 x + (a – 1) > 0, Rx ∈∀ . Phần 2: Câu VI b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC trọng tâm G( 3 1 ; 3 5 − ), đường tròn đi qua trung điểm các cạnh có phương trình x 2 + y 2 – 2x + 4y = 0. Hãy tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; - 2; 3), B(2; - 1;2) và đường thẳng ( ∆ ): 3 6 2 1 1 − = − = zyx . Tìm tọa độ của điểm M trên ( ∆ ) sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Câu VII b (1 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 3 1 − − z z = 1, iz iz + − 2 = 2. Hết ========================================= ST: Vũ Phấn ( Yên Sở - Hoàng Mai – Hà Nội) CĐ: 0436.45.35.91; 02413.707.289 , DĐ: 01236.575.369. 1 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN NĂM 2010 ============================= Hướng dẫn giải: Câu I: 1. Tự làm. 2. Gọi M(a;b) là điểm cần tìm. M thuộc (d) nên b = -3a + 2. Tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm (x 0 ;y 0 ) là: y = (3x 0 2 – 3)(x – x 0 ) + x 0 3 – 3x 0 +2. Tiếp tuyến đi qua M(a;b) ⇔ - 3a + 2 = (3x 0 2 – 3)( a – x 0 ) + x 0 3 – 3x 0 + 2 ⇔ 2x 0 3 – 3ax 0 2 = 0 ⇔ x 0 = 0 hoặc x 0 = 3a/2 Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là k 1 = f ’(0) = -3 và k 2 =f ‘(3a/2) = 4 27 2 a - 3 . Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau ⇔ k 1 .k 2 = - 1 ⇔ a 2 = 40/81 ⇔ a = 9 102 ± . Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M( 9 102 ± ; 2 3 102 + ). Câu II: 1. Cộng và trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được hệ tương đương: =+ =+++ 2 3 2 7 32 22 yx yx ⇔ =+−++ −= 2 7 3) 2 3 (2 2 3 22 xx xy ⇔ … ⇔ = = ) 20 13 ; 20 17 ();( )1; 2 1 ();( yx yx 2. Phương trình ⇔ ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos 2 x – sin 2 x) = 0 ⇔ ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0 ⇔ ( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0 ⇔ = = 2 1 cos 1tan x x ⇔ +±= += π π π π . 3 . 4 lx kx ( k,l ∈ Z). Câu III: Đặt x = sint với t ] 2 ; 2 [ ππ −∈ . Ta có:dx = costdt và ttx 222 cossin11 =−=− =|cost| = cost. Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = 1 thì t = 2 π . Từ đó: ∫∫ + = −+ 2 0 1 0 2 cos1 cos 11 π t tdt x dx = ∫ − 2 0 2 2 )2/(cos2 1)2/(cos2 π dt ts ts = ∫∫ − 2 0 2 2 0 )2/(cos )2/( ππ t td dt =( t – tan (t/2) ) | 2 0 π = 2 π -1 Câu IV: Tự vẽ hình. Trên các tia SB, SC lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho SB’ = SC’ = SA = a. Tam giác SAB’ đều cạnh a nên AB’ = a. Tam giác SBC’ vuông cân tại S nên B’C’ = a 2 . Tam giác SC’A cân tại S có ∠ C’SA = 120 0 nên C’A = a 3 . Suy ra AB’ 2 + B’C’ 2 = C’A 2 hay tam giác AB’C’ vuông tại B’ ⇒ diện tích tam giác AB’C’ = 2 2 2 a Hạ SH ⊥ mp(AB’C’) ⇒ HA = HB’ =HC’ ⇒ H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’ ⇒ H là trung điểm của C’A ⇒ SH = SA. Sin 30 0 = a/2. ========================================= ST: Vũ Phấn ( Yên Sở - Hoàng Mai – Hà Nội) CĐ: 0436.45.35.91; 02413.707.289 , DĐ: 01236.575.369. 2 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN NĂM 2010 ============================= Thể tích khối chóp S.AB’C’ là: V’ = 12 2 2 . 2 2 . 3 1 32 aaa = . Áp dụng công thức: ' . ' '. . ' SC SC SB SB V V CABS ABCS = Tính được: V S.ABC = 12 2abc . Câu V. Đặt x = a 1 , y = b 1 , z = c 1 ta có x,y,z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 2. Ta có: a(2a – 1) 2 = 2 )1 2 ( 1 − xx = 3 2 )( x zy + . Từ đó: : P = 222 )12( 1 )12( 1 )12( 1 − + − + − ccbbaa = 2 3 2 3 2 3 )()()( yx z xz y zy x + + + + + . Áp dụng bất đẳng thức Cô si có: x xzyzy zy x 4 3 64 3 88 )( 3 3 2 3 =≥ + + + + + (1) Tương tự: y xzxz xz y 4 3 88 )( 2 3 ≥ + + + + + (2) z yxyx yx z 4 3 88 )( 2 3 ≥ + + + + + (3). Cộng từng vế của (1), (2), (3) rồi ước lược được: P ≥ 4 1 (x + y + z) = 2 1 . Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 2/3 ⇔ a = b = c = 3/2. Câu VIa: 1. Gọi I(a;b) là tâm của hình thoi.Vì I ∆∈ nên a + b – 1 = 0 hay b = 1 – a (1). Ta có: AI (a;b+1) và BI (a – 2;b – 1) mà ABCD là hình thoi nên AI ⊥ BI suy ra : a(a – 2) + (b + 1)(b – 1) = 0 (2). Thế (1) vào (2) rồi rút gọn được: a 2 – 2a = 0 ⇔ a = 0 hoặc a = 2. TH1: Với a = 0 thì I(0;1). Do I là trung điểm của AC và BD nên áp dụng công thức tọa độ trung điểm, ta có: =−= =−= 22 02 AIC AIC yyy xxx và =−= −=−= 12 22 BID BID yyy xxx ; C(0;2) và D(-2;1). TH2: Với a = 2 thì I(2;-1). Tương tự ta được: C(4;-1) và D(2;-3). Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D(-2;1) hoặc C(4;-1) và D(2;-3). 2. Dễ dàng chứng minh được OA là đoạn đường vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và Ox (là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau). Từ đó MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA khi và chỉ khi OM + AN = MN. Vậy khi OM + AN = MN thì MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA cố định. (Phương trình mặt cầu là: x 2 + y 2 + ( z – 1) 2 = 1). Câu VIIa: 3 x + (a – 1).2 x + (a – 1) > 0 ⇔ 3 x > (1 –a).( 2 x +1) ⇔ 12 3 + x x > 1 – a (*). Xét hàm số: f(x) = 12 3 + x x với x ∈ R. Ta có: f ‘ (x) = 2 )12( 2ln.3.23ln).12.(3 + −+ x xxxx > 0 với mọi x. Hàm số luôn đồng biến., mà: −∞→x lim f(x) = 0. Bất đẳng thức (*) đúng với mọi x ⇔ 1 – a ≤ 0 ⇔ a ≥ 1. Vậy đáp số: a ≥ 1. ========================================= ST: Vũ Phấn ( Yên Sở - Hoàng Mai – Hà Nội) CĐ: 0436.45.35.91; 02413.707.289 , DĐ: 01236.575.369. 3 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN NĂM 2010 ============================= SỞ GD& ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2009 – 2010 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MÔN TOÁN – KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề ) =========================================== Ngày thi: 18 – 4 – 2010. A. PHẦN CHUNG (Dành cho tất cả thí sinh). Câu I ( 2 điểm). Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + 3(m 2 – 1)x + m 3 – 3m 1. Khảo sát hàm số với m = 0. 2. Chứng minh rằng với mọi số thực m, hàm số đã cho luôn có cực đại,cực tiểu; đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn nằm trên hai đường thẳng cố định. Câu II (2 điểm). 1. Giải phương trình: 3 1sincos2 cossin2cos 2 = −+ − xx xxx . 2. Giải hệ phương trình: =+ =− 1)23( 3)2( 3 3 yx yx . Câu III (2 điểm). Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Xét các hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn (O) mà AC và BD vuông góc với nhau; các đỉnh A và S cố định,SA = h; SA ⊥ (ABCD). 1. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 2. Đáy ABCD là hình gì thì thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất? Câu IV (1 điểm). Tìm giới hạn: x xx x 3 0 812 lim −−+ → . Câu V ( 1 điểm). Tính các góc của tam giác ABC nếu: 4 ( cos 2 A + cos 2 B – cos 2 C) = 5. B. PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2). Phần 1: Câu VIa (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: (C 1 ): x 2 + y 2 – 4y – 5 = 0; (C 2 ): x 2 + y 2 – 6x + 8y + 16 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C 1 ); (C 2 ). Câu VIIa (1 điểm). Tìm số phức z thỏa mãn: z 2 – 2(2 + i)z + (7 + 4i) = 0. Phần 2: Câu VIb (1 điểm). Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi γβα ,, lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh : cos α + cos β + cos γ 3≤ . Câu VIIb (1 điểm). Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z nếu biết: | z – i| + | z + i| = 4. Hết ========================================= ST: Vũ Phấn ( Yên Sở - Hoàng Mai – Hà Nội) CĐ: 0436.45.35.91; 02413.707.289 , DĐ: 01236.575.369. 4 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN NĂM 2010 ============================= SỞ GD& ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT II NĂM HỌC 2009 – 2010 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MÔN TOÁN – KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề ) =========================================== Ngày thi: 9 – 5 – 2010. A. PHẦN CHUNG ( Dành cho tất cả các thí sinh) Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = f(x) = 1 )1()2( − +−+ x mxm ( với m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho không có tiếp tuyến nào đi qua gốc tọa độ O. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình trong tập hợp số thực: 33 2 −+ xx + 48 2 =+x 2. Tìm nghiệm trong đoạn [0; π ] của phương trình: 2cos 3 x + sinx.cosx + 1 = 2( sinx + cosx). Câu III (2 điểm). 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(1;5), đường thẳng BC có phương trình x – 2y – 6 = 0, điểm I(1;0) là tâm đường tròn nội tiếp. Hãy tìm tọa độ các đỉnh B,C. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 2y – z = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ và điểm A(2;2;2) đồng thời tạo với mặt phẳng (P) một góc 45 0 . Câu IV (1 điểm). Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a, AA’ = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A’C’; mặt phẳng (P) qua M, N và vuông góc với mặt phẳng (BCC’B’). Tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P). B. PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chỉ chọn một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2) Phần 1: Câu V a (2 điểm) 1. Tính tích phân: I = dx x x . 1 tan1 1 1 2 ∫ − + + . 2. Giải hệ: ≥− −=− 1loglog 1log2log 2 2 2 2 2 2 2 yx yx Câu VI a (1 điểm). Từ các chữ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau sao cho không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau và không có hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau? Phần 2: Câu V b (2 điểm) 1. Biết rằng 3 21 yx yx + =−+− . Tịm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 1 1 2 1 + + + yx . 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bới các đường: y = x; y = x 2 . Câu VI b (1 điểm). Gieo đồng thời 4 đồng xu cân đối, đồng chất. Tính xác suất để có ít nhất một mặt sấp xuất hiện. Hết ========================================= ST: Vũ Phấn ( Yên Sở - Hoàng Mai – Hà Nội) CĐ: 0436.45.35.91; 02413.707.289 , DĐ: 01236.575.369. 5 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN NĂM 2010 ============================= ========================================= ST: Vũ Phấn ( Yên Sở - Hoàng Mai – Hà Nội) CĐ: 0436.45.35.91; 02413.707.289 , DĐ: 01236.575.369. 6 . =−= −=−= 12 22 BID BID yyy xxx ; C(0;2) và D (- 2 ;1). TH2: Với a = 2 thì I(2 ;-1 ). Tương tự ta được: C(4 ;-1 ) và D(2 ;-3 ). Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D (- 2 ;1) hoặc C(4 ;-1 ) và D(2 ;-3 ). 2. Dễ dàng chứng. x xzyzy zy x 4 3 64 3 88 )( 3 3 2 3 =≥ + + + + + (1 ) Tương tự: y xzxz xz y 4 3 88 )( 2 3 ≥ + + + + + (2 ) z yxyx yx z 4 3 88 )( 2 3 ≥ + + + + + (3 ). Cộng từng vế của (1 ), (2 ), (3 ) rồi ước lược được: P ≥ 4 1 (x. ⇔ =+−++ −= 2 7 3) 2 3 (2 2 3 22 xx xy ⇔ … ⇔ = = ) 20 13 ; 20 17 () ;( )1; 2 1 () ;( yx yx 2. Phương trình ⇔ ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos 2 x – sin 2 x) = 0 ⇔ ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0 ⇔ ( sinx – cosx) .( 1 – 2cosx)