HÃY CHO ĐI MỘT NỮA

Zeroonesixeighttwofourfivefivezeroeightthree zerooneeighteightsixfiveonesixthreeeightfive HÃY CHO ĐI MỘT NỮA BẠN SẼ NHẬN LẠI GẤP ĐÔI CHỦ ĐỀ: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Chứng minh đẳng thức vectơ: a) Sử dụng qui tắc ba điểm, qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại. b) Sử dụng các tính chất của phép toán về vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho. 2) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng a) Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ các vectơ có giá song song với một mặt phẳng. b) Ba vectơ đồng phẳng có cặp số duy nhất sao cho trong đó và là hai vectơ không cùng phương. B) Bài tập: 1) Chứng minh đẳng thức vectơ: Bài 1: Cho hình hộp . Chứng minh rằng . Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật . Chứng minh rằng: . Bài 3: Cho hình lập phương cạnh . Gọi và theo thứ tự là tâm của hai hình vuông và . a) Hãy biểu diễn các vectơ theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho. b) Chứng minh . Bài 4: Trong không gian cho điểm và bốn điểm phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm tạo thành một hình bình hành là : . Bài 5: Cho hình hộp có và lần lượt là trung điểm các cạnh và . Gọi lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành . a) Chứng minh rằng . b) Chứng minh hai tam giác và có trọng tâm trùng nhau. 2) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng: Bài 1: Cho tứ diện . Trên cạnh lấy điểm sao cho và trên cạnh lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. Bài 2: Cho hình hộp . Gọi là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành và là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. Bài 3: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Trên các cạnh và ta lần lượt lấy các điểm sao cho: . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. 1 Zeroonesixeighttwofourfivefivezeroeightthree zerooneeighteightsixfiveonesixthreeeightfive Bài 4: Trong không gian cho hai hình bình hành. và chỉ có chung nhau một điểm . Chứng minh rằng các vectơ đồng phẳng. CHỦ ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Ứng dụng của tích vô hướng: a) Muốn tính độ dài của đoạn thẳng hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm và ta dựa vào công thức: . b) Tính góc giữa hai vectơ và ta dựa vào công thức: . c) Chứng minh hai đường thẳng và vuông góc với nhau ta cần chứng minh . 2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau: - Cần khai thác các tính chất về quan hệ vuông góc đã biết trong hình học phẳng. - Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian. - Muốn chứng minh hai đường thẳng và vuông góc với nhau ta có thể chứng minh . 3) Dùng tích vô hướng để tính góc của hai đường thẳng trong không gian: Muốn tính góc ta có thể sử dụng công thức : , và từ đó suy ra góc . Đặc biệt nếu ta có . Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vec tơ: Phương pháp chung: Sử dụng các quy tắc đã biết: 1. Quy tắc trung điểm: Với điểm M tùy ý và điểm I là trung điểm của AB ta luôn có: 0IA IB+ = uur uur r và ( ) 1 2 MI MA MB= + uuur uuur uuur 2. Quy tắc ba điểm: 2.1 AB AC CB= + uuur uuur uuur ( xen điểm C ) 2.2 AC AB BC− = uuur uuur uuur ( hiệu hai vec tơ cùng gốc ) 3. Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có: AC AB AD= + uuur uuur uuur 4. Quy tắc trọng tâm tam giác: Với điểm M tùy ý và điểm G là trọng tâm của ABC∆ ta luôn có: 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r và 3.MA MB MC MG+ + = uuur uuur uuuur uuuur 5. Quy tắc đường chéo hình hộp: Cho hình hộp ' ' ' ' .ABCD A B C D . Ta luôn có: ' ' AAAC AB AD= + + uuuur uuuur uuur uuur Dạng 2: Chứng minh 3 vec tơ đồng phẳng: Phương pháp chung: 1) Dùng định nghĩa: Ba vec tơ , ,a b c r r r đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng song song một mặt phẳng ( ) α . 2) Dùng định lý: Ba vec tơ , ,a b c r r r đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại một cặp số (m,n) duy nhất sao cho . .c m a n b= + r r r B) Bài tập: 1) Ứng dụng của tích vô hướng: 2 Zeroonesixeighttwofourfivefivezeroeightthree zerooneeighteightsixfiveonesixthreeeightfive Bài 1: Cho hình lập phương cạnh . Gọi là tâm của hình vuông và là một điểm sao cho: . Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm và theo . Bài 2: Trong không gian cho hai vectơ và tạo với nhau một góc . Hãy tìm và biết rằng và . Bài 3: Cho tứ diện có hai mặt và là hai tam giác đều. a) Chứng minh rằng và vuông góc với nhau. b) Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật. Bài 4: Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm của tam giác . Chứng minh rằng . 2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau: Bài 1: Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Chứng minh rằng và là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi . Bài 2: Cho tứ diện đều cạnh . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng . Bài 3: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Trên cách cạnh và ta lần lượt lấy các điểm và sao cho với . Chứng minh rằng hai đường thẳng và vuông góc với nhau. Bài 4: Cho tứ giác . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và có . Chứng minh rằng . Bài 5: Cho tứ diện . Trong đó . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng và vuông góc với nhau. 3) Dùng tích vô hướng tính góc của hai đường thẳng trong không gian: Bài 1: Cho hình lập phương . a) Tính góc giữa hai đường thẳng và . b) Chứng minh . Bài 2: Cho tứ diện đều cạnh . Tính góc giữa hai đường thẳng và . Bài 3: Cho hình chóp tam giác có và . Tính góc giữa hai vectơ và . Bài 4: Cho hình chóp có và . Tính góc giữa hai đường thẳng và . Bài 5: Cho hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy được gọi là hình hộp thoi). Chứng minh . Bài 6: Cho hình hộp thoi có tất cả các cạnh bằng và . Chứng minh tứ giác là hình vuông. Bài tập: 3 Zeroonesixeighttwofourfivefivezeroeightthree zerooneeighteightsixfiveonesixthreeeightfive Bài 1: Cho hình hộp ' ' ' ' .ABCD A B C D . Chứng minh rằng: a) ' ' AC CC CB CD= − − uuuur uuuur uuur uuur b) Đường chéo ' AC cắt các ' ' CB D∆ và ' A BD∆ lần lượt tại trọng tâm 1 G của ' ' CA C∆ , trọng tâm 2 G của ' ACA∆ mà ' 1 1 2 2 C G G G G A= = uuuur uuuuur uuuur Bài 2: Cho tứ diện ABCD với M, N là trung điểm của AB và CD. Gọi G là trọng tâm của tứ diện. Chứng minh rằng: a) 2.MN AD BC AC BD= + = + uuuur uuur uuur uuur uuur b) 0GA GB GC GD+ + + = uuur uuur uuur uuur r c) Với mọi I: 4.IG IA IB IC ID= + + + uur uur uur uur uur Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. a) Nếu đáy ABCD là hình bình hành, chứng minh: SB SD SA SC+ = + uur uuur uur uuur b) Nếu đáy ABCD là hình chữ nhật, chứng minh: 2 2 2 2 SB SD SA SC+ = + Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng minh ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 4.SA SB SC SD SI+ + + = uur uur uuur uuur uur . Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm G là trọng tâm ABC∆ là: . . . 0GD GA GD GB GD GC+ + = uuuruuur uuuruuur uuur uuur Bài 6: Cho tứ diện ABCD. a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh: , ,BC IJ AD uuur uur uuur đồng phẳng. b) Lấy hai điểm M, N thỏa 3.AM MD= uuuur uuuur và 3.BN NC= uuur uuur . Chứng minh , ,AB MN DC uuur uuuur uuur đồng phẳng. Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Lấy điểm M AD∈ và điểm N BC∈ sao cho .MA k MD= uuur uuuur và ( ) . 1NB k NC k= ≠ uuur uuur . Chúng minh bốn điểm I, J, M, N đồng phẳng. Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Trên cạnh AC và BD lấy hai điểm M và N sao cho: AM BN k AC BD = = . Chứng minh: , ,IM IN IJ uuur uur uur đồng phẳng. Bài 9: Cho hình hộp ' ' ' ' .ABCD A B C D . Gọi ' ' ' , , ,P Q Q R lần lượt là tâm các hình bình hành ' ' ' ' ' ' ' ' , , ,ABCD A B C D DCC D ADD A . Gọi P, R lần lượt là trung điểm của ' ' ,AB A D . Chứng minh: a) ' ' ' 0PP QQ RR+ + = uuur uuuur uuur r b) Hai tam giác ' ' ' ,PQR P Q R∆ ∆ có cùng trọng tâm. Bài 10: Cho ABC ∆ vẽ các hình bình hành ABEF và ACHK nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và khác với mặt phẳng (ABC). a) Chứng minh ba vec tơ , ,FK EH BC uuur uuur uuur đồng phẳng. b) Gọi I, J, L lần lượt là trung điểm của FK, EH, BC chứng minh AIJL là hình bình hành. c) Chứng minh , ,CH LJ BE uuur uur uuur đồng phẳng. Bài 11: Cho hình lập phương ' ' ' ' .ABCD A B C D . a) Chứng minh ' BD AC⊥ . b) Tính góc hợp bởi AC và ' DA . Bài 12: Trong không gian cho hai đoạn thẳng AC và BD chéo nhau sao cho: AB AC⊥ và BA BD⊥ . Gọi O là trung điểm của AB và I là trung điểm của CD. Chứng minh: 4 Zeroonesixeighttwofourfivefivezeroeightthree zerooneeighteightsixfiveonesixthreeeightfive a) , ,AC OI BD uuur uur uuur đồng phẳng. b) AB OI⊥ . CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng . Cơ sở của phương pháp này là phải chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng đồng quy trong mặt phẳng . Cách viết: α a a' d 2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn: Cơ sở của phương pháp là vận dụng định nghĩa trục đường tròn: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó bằng hai bước cơ bản sau đây: • B1: Tìm một điểm ở đỉnh cách đều các đỉnh đa giác như sau: ; Tìm điểm ở cách đều các đỉnh đa giác • B2: Nối hai điểm đó thành trục của đường tròn. Nó là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa được đường tròn . B) Bài tập: 1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng . Bài 1: Cho hình chóp có đáy là tứ giác lồi. Biết hai tam giác và tam giác vuông tại . Chứng minh rằng . Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm và và . Chứng minh . Bài 3: Cho hình chóp có đáy là hình thoi. Giả sử . Chứng minh . Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi là trung điểm và giả sử . Chứng minh rằng . Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và . Gọi là đường cao của các tam giác và tam giác . Chứng minh . Bài 6: Cho tứ diện có là trực tâm các tam giác và . Giả sử rằng . Chứng minh và đồng qui. 5 Zeroonesixeighttwofourfivefivezeroeightthree zerooneeighteightsixfiveonesixthreeeightfive Bài 7: Cho tứ diện có . Gọi và lần lượt là trực tâm các tam giác và . Chứng minh: a) đồng qui. b) . c) . 2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn. Bài 1: Cho hình vuông cạnh . Vẽ cùng về một phía các đoạn vuông góc với sao cho . Chứng minh . Bài 2: Cho hình chóp có và . Gọi là trung điểm . Chứng minh rằng: a) Tam giác vuông. b) Bài 3: Cho hình chóp đáy là hình thoi có và . Chứng minh rằng . Với là trọng tâm tam giác . Bài 4: Cho hình chóp có và . Gọi là trung điểm . Chứng minh rằng . CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Cơ sở của phương pháp là chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng là sử dụng định nghĩa: (với tùy ý trong ) qua hai bước cơ bản: • B1: Quan sát và quản lý giả thiết tìm mp chứa đường thẳng cần chứng minh vuông góc với . • B2: Chứng minh α a d 2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau bằng định lý ba đường vuông góc. Cơ sở của phương pháp là vận dụng định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng và là đường thẳng không thuộc đồng thời không vuông góc với . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Khi đó vuông góc với khi và chỉ khi vuông góc với Do đó phương pháp gồm 2 bước thực hành: • B1: Xác định đường vuông góc với mặt phẳng từ đó tìm đường xiên d và hình chiếu d’ • B2: Đường thẳng a là đường thẳng thuộc mặt α d d' a 6 Zeroonesixeighttwofourfivefivezeroeightthree zerooneeighteightsixfiveonesixthreeeightfive phẳng  Nếu  Nếu Vấn đề 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. • Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp( α ): Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong ( α ). Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với ( α ). • Cách chứng minh đường thẳng a và b vuông góc: Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp( α ) chứa đường thẳng b. • Kết quả: + Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song. + Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. Phương pháp: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Phương pháp chung: Dùng một trong các phương pháp sau: 1) Chứng minh a b ⊥ và a c ⊥ với b, c là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ) α , suy ra ( ) a α ⊥ . 2) Chứng minh a // b và ( ) b α ⊥ , suy ra ( ) a α ⊥ . 3) Chứng minh ( ) α // ( ) β và ( ) a β ⊥ , suy ra ( ) a α ⊥ . 4) Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OA OA α β α β α β ⊥   ∩ = ∆  ⇒ ∆ ⊥  ∈   ⊥ ∆  5) Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β γ α β α α γ ∩ = ∆  ⊥ ⇒ ∆ ⊥   ⊥  Bài tập: 1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Bài 1: Cho tứ diện có và . Chứng minh . Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi và . Chứng minh . Bài 3: Chứng minh rằng hai cạnh đối bất kì của tứ diện đều thì vuông góc với nhau. Bài 4: Cho tứ diện có và . Gọi là đường cao tam giác . Chứng minh tam giác vuông. Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và . Gọi là đường cao của tam giác a) Chứng minh tam giác vuông. b) Tính diện tích tam giác . Bài 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và . Gọi là trực tâm của tam giác . 7 Zeroonesixeighttwofourfivefivezeroeightthree zerooneeighteightsixfiveonesixthreeeightfive a) Chng minh . b) Tớnh din tớch tam giỏc . Bi 7: Cho t din cú ba cnh ụi mt vuụng gúc vi nhau. K vuụng gúc vi mt phng ti . Chng minh: a) v . b) l trc tõm ca tam giỏc . c) . Bi 8: Cho hỡnh chúp cú l na lc giỏc u v . Mt mt phng qua vuụng gúc vi ti ct ti . Chng minh t giỏc ni tip c 2) Chng minh hai ng thng vuụng gúc bng nh lý ba ng vuụng gúc. Bi 1: Cho hỡnh chúp cú v l hỡnh ch nht. Chng minh bn mt bờn u l nhng tam giỏc vuụng. Bi 2: T din cú v . Gi l hỡnh chiu ca xung . Chng minh rng l trc tõm tam giỏc v . Bi 3: Cho l hai ng thng vuụng gúc vi mt phng ch nht . Mt mt phng qua ct ti v . Chng minh rng l hỡnh ch nht. Bi 4: Trong hỡnh chúp ỏy l hỡnh ch nht . Gi l ng cao hỡnh chúp v th t l ng cao cỏc tam giỏc v . Chng minh thng hng. Bi 5: Cho t din cú l tam giỏc u cnh , cỏc mt v hp vi cỏc gúc bng nhau v bng . a) Chng minh rng : Hỡnh chiu ca lờn l tõm ng trũn ni tip tam giỏc . b) Tớnh tng din tớch 4 mt bờn ca t din Vấn đề 1: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng , với mặt phẳng 1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. a. Chứng minh BC (SAB) b. Gọi AH là đờng cao của SAB. Chứng minh: AH (SBC) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a. SO (ABCD) b. IJ (SBD) 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a. Chứng minh rằng: CD (SAD), BD (SAC) b. Chứng minh: SC (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK) c. Chứng minh: HK (SAC), từ đó suy ra HK AI 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC a. Chứng minh: BC (AID) b. Vẽ đờng cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH (BCD) 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gi H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho OH (ABC). Chứng minh rằng: a. BC (OAH) b. H là trực tâm của ABC 8 Zeroonesixeighttwofourfivefivezeroeightthree zerooneeighteightsixfiveonesixthreeeightfive c. 2222 1111 OCOBOAOH ++= 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = 2a . Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD. a. Chứng minh: SH (ABCD) b. Chứng minh: AC SK và CK SD 7. Cho t din ABCD cú hai mt ABC v BDC l hai tam giỏc cõn cú chung ỏy BC.Gi I l trung im BC. a) Chng minh rng BC AD b) Gi AH l ng cao ca tam giỏc ADI.Chng minh rng AH (BCD) 8.Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi,tõm O v cú SB = SD. a) Chng minh rng BD (SAC) b) Gi H v K ln lt l hỡnh chiu ca A lờn SB v SD.Chng minh rng SH = SK ; OH=OK v HK//BD c) Chng minh rng HK (SAC) 9.Cho t din OABC cú OA,OB,OC tng ụi mt vuụng gúc( t din vuụng).Gi H l trc tõm ABC a) Chng minh rng OA (OBC) b) Chng minh rng BC (OHA).Suy ra BC OH c) Chng minh rng AB (OCH) d) T cỏc kt qu trờn suy ra OH (ABC) 10.Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht v SA=SB=SC=SD.Gi E,F ln lt trung im AB,CD ; O l giao im ca hai ng chộo AC,BD. a) Chng minh rng SO (ABCD) b) Chng minh rng CD (SEF) c) Xỏc nh giao tuyn d ca hai mt phng (SAB) ,(SCD) d) Chng minh rng BC (d,O) 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD,ỏy l hỡnh vuụng cnh a,mt bờn SAB l tam giỏc u,SCD l tam giỏc vuụng cõn nh S. Gi I , J ln lt l trung im ca AB v CD. a) Chng minh rng SI (SCD) ; SJ (SAB) b) Gi H l hỡnh chiu cựa S lờn IJ.Chng minh rng SH AC v tớnh di SH. c) Gi M l mt im thuc ng thng CD sao cho BM SA.Tớnh AM theo a. 12.cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD vi ỏy ABCD l hỡnh ch nht cú SA = 12 cm,SB = 13cm,SD = 15cm ,AB= 5 cm,AD= 9 cm. a) Chng minh rng ( )SA ABCD .Tớnh di SC. b) Chng minh rng ( )CD SAD . c) Chng minh rng cỏc mt bờn ca hỡnh chúp l nhng tam giỏc vuụng. Bi 1. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a; SA vuụng gúc vi ỏy. Gi M, N l hỡnh chiu ca A trờn SB, SD. Chng minh MN//BD v SC vuụng gúc vi mp(AMN). Gi K l giao im ca SC vi mp(AMN). Chng minh AMKN cú hai ng chộo vuụng gúc. Bi 2. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc vi ỏy. Gi H, K l trc tõm ca tam giỏc ABC v SBC. Chng minh rng: SC vuụng gúc vi mp(BHK). b) HK vuụng gúc vi mp(SBC). Bi 3. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi tõm O, bit SB = SD. Chng minh (SAC) l mp trung trc ca on thng BD. Gi H, K l hỡnh chiu ca A trờn SB, SD. Chng minh SH = SK, OH = OK v HK//BD. Chng minh (SAC) l mp trung trc ca HK. 9 Zeroonesixeighttwofourfivefivezeroeightthree zerooneeighteightsixfiveonesixthreeeightfive Bài 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H ⊥ (ABC). Chứng minh rằng: AA’ ⊥ BC và AA’ ⊥ B’C’. Gọi MM’ là giao tuyến xủa hai mp(AHA’) và (BCC’B’) trong đó M ∈ BC và M’ ∈ B’C’. Chứng minh tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó. Bài 5. HAi tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mp khác nhau tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh BC ⊥ AD. b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH ⊥ (BCD). Bài 6. Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mp khác nhau sao cho AC ⊥ BF. Gọi CH và FK là hai đường cao của tam giác BCE và ADF. Chứng minh: a) ACH và BFK là các tam giác vuông. b) BF ⊥ AH và AC ⊥ BK. Bài 7. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác cân tại A với AB = a, BC = 6 5 a . Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH ⊥ MD. a) Chứng minh AH ⊥ (BCD). b) Cho AD = 4 5 a .Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM. c) Gọi G 1 , G 2 là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh G 1 G 2 ⊥ (ABC). Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) và AC ⊥ SD. b) Gọi I, J là trung điểm của BA, BC. Chứng minh IJ ⊥ (SBD). Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB). b) Gọi SH là đường cao của tam giác SIJ. Chứng minh SH ⊥ AC và tính độ dài SH. c) Gọi M là điểm thuộc BD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo aAM theo a. Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H, K là trung điểm của AB, AD. a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD). b) Chứng minh AC ⊥ SK và CK ⊥ SD. Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a. Ngoài ra SC ⊥ BD. a) Chứng minh tam giác SBC vuông. b) Tính theo a độ dài đoạn AD. c) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với 0 x a≤ ≤ . Tính độ dài đường cao DE của tam giác BDM theo a và x. Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy và SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C với AB = 2a, ∠ BAC = 0 30 . Gọi M là một điểm di đọng trên cạnh AC, H là hình chiếu của S trên BM. a) Chứng minh AH ⊥ BM. b) Đặt AM = x, với 0 3x≤ ≤ . Tính khoảng cách từ S tới BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách này là lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 13. Cho tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = a 2 . Gọi E, F là trung điểm SB, SC. a) Chứng minh BC ⊥ (SAD). b) Tính diện tích của tam giác AEF. Bài 14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. cạnh bên AA’ = a và vuông góc với đáy. a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI ⊥ BC’. b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh AM ⊥ BC’. c) Gọi K là một điểm trên đoạn A’B’ sao cho KB’ = 4 a và J là trung điểm của B’C’. Chứng minh AM ⊥ (MKJ). 10 [...]... Phương pháp giải một số dạng tốn thường gặp: 1) Tìm khoảng cách từ một đi m đến đường thẳng • Dạng 1: Trong mặt phẳng xác định bởi đi m Ta có đoạn • cho trước và đường thẳng Dạng 2: Trong khơng gian dựng mặt phẳng bằng cách dựng một mặt phẳng và B2: tại Ta có thể sử dụng các kết quả của hình học phẳng để tính độ dài đi qua tại , ta có Sau đó tính độ dài 2) Tìm khoảng cách từ một đi m đến một mặt phẳng... Khoảng cách từ một đi m đến một mặt phẳng: - Thơng thường ta tìm mặt phẳng ( β ) đi qua đi m A và ( β ) ⊥ ( α ) theo giao tuyến ∆ Qua A, kẻ AH ⊥ ∆ , nên AH ⊥ ( α ) và d ( A, ( α ) ) = AH - Có trường hợp xem d ( A, ( α ) ) như là đường cao của tứ diện Tính thể tích của tứ diện theo hai cách, suy ra d ( A, ( α ) ) 2) Loại 2: Khoảng cách từ một đi m đến một đường thẳng: Xét mặt phẳng ( α ) qua đi m A và... chứa ∆ 2 và ( α ) // ∆1 Lấy đi m M tùy ý trên ∆1 là: d ( ∆1 , ∆ 2 ) = d ( M , ( α ) ) B) Bài tập: 1) Khoảng cách từ một đi m đến một đường thẳng Bài 1: Hình chóp có đáy là hình vng tâm à Gọi là trung đi m của cạnh a) Chứng minh đường thẳng Gọi là trung đi m của đoạn vng góc với mặt phẳng b) Tính khoảng cách từ đi m Bài 2: Cho hình chóp và đến đường thẳng có tam giác là đi m thỏa vng góc với đáy ... và gọi là trung đi m của Bài 3: Cho tứ diện Lấy đi m Tính có a) Chứng minh còn nằm trên trung tuyến b) Xác định có Dựng của tam giác Bài 4: Cho hình chóp sao cho a) Tính và tam giác đều cạnh b) Giả sử Tính Bài 5: Cho hình chóp có khi biết và Tính 3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Bài 1: Cho tứ diện đều cạnh Xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của Bài 2: Cho hình chóp... a 2 Gọi M là một đi m thuộc đoạn AO sao cho AM = x, 0 ≤ x ≤ a 2 2 a) Gọi H là hình chiếu của M trên (SBC) Tính MH b) Mp(P) ⊥ AC tại M cắt hình chóp theo một đa giác Trình bày cách dựng thiết diện này c) Tìm x để diện tích đa giác lớn nhất Bài 39 Trong mp(P) cho tam giác ABC vng tại A với AB = a, ∠ABC = 600 , SB ⊥ (ABC) và SB = 2a Chứng minh (SAC) ⊥ (SAB) Lấy đi m M thuộc đoạn AB sao cho BM = x, 0... và C’N Bài 3 (ĐH – CĐ D 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD) Bài 4 (ĐH – CĐ B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc ∠ BAD bằng 600 Gọi M, N lần lượt là trung đi m của AA’ và CC’ Chứng minh 4 đi m B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo... (SBC) ⊥ (SAB) Bài 25 Cho tứ diện đều ABCD Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD) và O là trung đi m của AH Chứng minh các mp(OBC), (OCD), (OBD) đơi một vng góc với nhau Bài 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA ⊥ đáy Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và DBC Chứng minh: a) (SAH) ⊥ (SBC) b) (CHK) ⊥ (SBC) Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, SA ⊥ đáy Gọi M là trung đi m của BC Tìm... tiếp tam giác ABC b) TÍnh đọ dài SH theo a c) Gọi I là trung đi m BC Chứng minh BC ⊥ (SAI) d) Gọi ϕ là góc giữa SA và SH Tính ϕ Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Gọi I , M là trung đi m của SC và AB Cho SA = a a) Gọi O là giao đi m của AC và BD Chứng minh IO ⊥ (ABCD) b) Tính khoảng cách từ I đến CM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD)... minh J là trực tâm của tam giác SBD Bài 19 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy, tam giác ABC cân tại B Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và N là đi m thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB Chứng minh a) BC ⊥ (SAB) b) NG ⊥ (SAC) Bài 20 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, tam giác ABC vng tại A Gọi I là trung đi m của BC Chứng minh: a) BC ⊥ (SAI) b) SI ⊥ (ABC) Bài 21 Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC) Gọi AI là đường... Gọi C’ là giao đi m của SC với mp(AHK) Tính diện tích tứ giác AHC’K khi AB = SA = a Bài 25 Cho tam giác ABC đều cạnh a, d là đường thẳng vng góc với (ABC) tại A Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC Chứng minh HK ⊥ (SBC) Bài 26 Cho hình vng ABCD Gọi H, K là trung đi m AB, AD Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) tại H, lấy đi m S (khác H) Chứng minh: a) AC ⊥ (SHK) b) CK ⊥ SD Bài 27 Cho hình chóp . Cho hình lập phương cạnh . Gọi là tâm của hình vuông và là một đi m sao cho: . Hãy tính khoảng cách giữa hai đi m và theo . Bài 2: Trong không gian cho hai vectơ và tạo với nhau một góc . Hãy. vectơ có đi m đầu và đi m cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho. b) Chứng minh . Bài 4: Trong không gian cho đi m và bốn đi m phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng đi u kiện. vectơ đồng phẳng: Bài 1: Cho tứ diện . Trên cạnh lấy đi m sao cho và trên cạnh lấy đi m sao cho . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. Bài 2: Cho hình hộp . Gọi là giao đi m hai đường chéo của