• Cỏch xỏc định gúc giữa hai đường thẳng chộo nhau a và b:
Chọn điểm O thớch hợp, rồi kẻ hai đường thẳng đi qua điểm O: a’//a và b’//b. • Cỏc phương phỏp tớnh gúc:
+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giỏc:
Định lớ sin:
sin sin sin
a b c A= B = C Định lớ cos: 2 2 2 cos 2 b c a A bc + − =
+ Tớnh gúc theo vectơ chỉ phương: 1 2 1 2 . os . u u c u u ϕ = ur ur ur ur • Chỳ ý. + 00 ≤ ≤ϕ 900 + AB CD⊥ ⇔ AB CDuur uuur. =0.
+ Nếu a và b song song hoặc trựng nhau thỡ ϕ =00.
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 vuông góc với đáy. Tính góc của:
a. SC với (ABCD) (600) b. SC với (SAB) α = ữữ 7 tan 7 c. SB với (SAC) α = ữữ 14 sin 14
2 Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = a 3 vuông góc với (ABCD). Tính góc:
a. (SAB) và (ABC) (900)
b. (SBD) và (ABD) (tanα = 6)
c. (SAB) và (SCD) (300)
3. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung điểm AB.
a. Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) α = ữữ
15tan tan
5b. Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD) α= ữữ b. Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD) α= ữữ
3;sin 6
2 4
a
c. Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) ⊥ (ABCD). Tính góc hợp bởi SI với (SDC) α = ữ
2tan tan
3
4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’. chiếu H của đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’.
a. Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy (3a/2)
b. Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC’ (tanα = 3)
c. Tính góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy
5. Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Tính góc
của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (đs: 600)
6. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
a. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (300)
b. Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy α = ữ
2tan tan
3
7. Cho hỡnh chúp S.ABCD ; ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, tam giỏc SAB đều , mp(SAB) vuụng gúc
mp(ABCD)
a) Gọi I là trung điểm AB. CMR : SI vuụng gúc (ABCD) b) CMR tam giỏc SBC và SAD vuụng
c) Tớnh gúc giữa cỏc cạnh bờn và đỏy
8. Cho hỡnh choựp SABCD, coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuoõng caùnh a, taõm O; SO ⊥ (ABCD). Goùi M, N laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa caực caùnh SA vaứ BC. Bieỏt (ãMN ABCD,( )) 60= 0. laứ trung ủieồm cuỷa caực caùnh SA vaứ BC. Bieỏt (ãMN ABCD,( )) 60= 0.
a) Tớnh MN vaứ SO.
b) Tớnh goực giửừa MN vaứ (SBD).
HD: a) MN = 10 2 a ; SO = 30 2 a b) sin(ã ,( )) 5 5 MN SBD = .
9.Cho hỡnh choựp SABCD, coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuoõng caùnh a; SA ⊥ (ABCD) vaứ SA = a 6 . Tớnh goực giửừa:
a) SC vaứ (ABCD) b) SC vaứ (SAB) c) SB vaứ (SAC) d) AC vaứ (SBC)
HD: a) 600 b) arctan 1 7 c) arcsin 1 14 d) arcsin 21 7 .
Bài 1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2. Tớnh gúc giữa hai đường thẳng SC và AB.
Bài 2. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi, SA = SB và SA⊥BC. Tớnh gúc giữa hai đường thẳng SD và BC.
Bài 3. Cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’ cú cỏc cạnh bằng a (hỡnh hộp thoi), ∠BAD=600, 0
' ' 120
BAA DAA
∠ = ∠ = .
a) Tớnh gúc giữa cỏc cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D. b) Tớnh diện tớch cỏc hỡnh A’B’CD và ACC’A’.
c) Tớnh gúc giữa đường thẳng AC’ và cỏc đường thẳng AB, AD, AA’.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K là trung điểm của BC, AC, AD, BD. Hóy tớnh gúc giữa hai đường thẳng AB và CD trong cỏc truờng hợp:
a) Tứ giỏc IJHK là hỡnh thoi cú đường chộo IH = 3IJ. b) Tứ giỏc IJHK là hỡnh chữ nhật.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BC và AD.
a) Tớnh gúc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều cạnh bằng a. b) Tớnh gúc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 3. c) Tớnh gúc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 2.
d) Tớnh gúc giữa AB và CD, biết AB = 2a, CD = 2a 2 và MN = a 5.
Bài 6. Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cú AB = a, BC = b và AA’ = c. a) Tớnh gúc giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
b) Tớnh gúc giữa hai đường thẳng AB và A’C.
Bài 7. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = SB = SC = a và cỏc tam giỏc SAB, SBC, SCA vuụng tại S. Gọi M là trung điểm BC. Tớnh gúc giữa AC và SM.
Bài 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a, đỏy là hỡnh vuụng. Gọi N là trung điểm SB. Tớnh gúc giữa AN và CN, AN và SD.
Bài 9. Cho tứ diện ABCD cú AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD=600, ∠CAD=900. Chứng minh:
a) AB⊥CD.
b) Nếu I, J là trung điểm của AB và CD thỡ IJ⊥AB, IJ⊥CD.
Bài 10. Cho tứ diện ABCD cú cỏc tam giỏc ABD và DBC là cỏc tam giỏc đều cạnh a. Cho AD = 2
a .
a) Chứng minh AD⊥BC.
b) Tớnh gúc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Vấn đề 5. Một số bài toỏn HHKG trong cỏc đề thi ĐH – CĐ.
Bài 1. (ĐH – CĐ A 2002). Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC đỉnh S, cú độ dài cạnh đỏy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tớnh theo a diện tớch tam giỏc AMN, biết rằng mp(AMN) vuụng gúc với mp(SBC).
Bài 2. (ĐH – CĐ B 2002). Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh bằng a. a) Tớnh theo a khoảng cỏch giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA’, CD, A’D’. Tớnh gúc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
Bài 3. (ĐH – CĐ D 2002). Cho tứ diện ABCD cú cạnh AD vuụng gúc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tớnh khoảng cỏch từ A tới mp(BCD).
Bài 4. (ĐH – CĐ B 2003). Cho hỡnh lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy ABCD là một hỡnh thoi cạnh a, gúc ∠BAD bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’. Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N cựng thuộc một mặt phẳng. Hóy tớnh độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giỏc B’MDN là hỡnh vuụng.
Bài 5. (ĐH – CĐ D 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuụng gúc với nhau, cú giao tuyến là đường thẳng d. Trờn d lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cựng vuụng gúc với d và AC = BD = AB. Tớnh khoảng cỏch từ A đến mp(BCD) theo a.
Bài 6. (ĐH – CĐ B 2004). Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a, gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy bằng ϕ. Tớnh tang gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ.
Bài 7. (ĐH – CĐ B 2006). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật với AD = a 2, AB = a, SA = a và SA vuụng gúc với mp(ABCD). Gọi M, N là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh mp(SAC) vuụng gúc với mp(SMB).
Bài 8. (ĐH – CĐ A 2007). Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, mặt bờn SAD là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy. Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM vuụng gúc với BP.
Bài 9. (ĐH – CĐ B 2007). Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M, N là trung điểm của AE và BC. Chứng minh MN vuụng gúc với BD và tớnh (theo a) khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 10. (ĐH – CĐ D 2007). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang, ∠ABC = ∠BAD = 900, BA = BC =a, AD = 2a. Cạnh SA vuụng gúc với đỏy và SA = a 2. Gọi H là hỡnh chiếu cuụng gúc của A trờn SB. Chứng minh tam giỏc SCD vuụng và tớnh theo a khoảng cỏch từ H tới mặt phẳng (SCD).
Bài 11. (ĐH – CĐ A 2008). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cú độ dài cạnh bờn bằng 2a, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, AB = a, AC = a 3 và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A’ trờn mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tớnh cosin gúc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 12. (ĐH – CĐ B 2008). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mp(SAB) vuụng gúc với mặt đỏy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tớnh cosin gúc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Bài 13. (ĐH – CĐ D 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng, AB = AC = a, cạnh bờn AA’ = a 2. Gọi M là trung điểm của BC. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Bài 14. (ĐH – CĐ D 2009). Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B, AB = a, AA’ = a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tớnh khoảng cỏch từ A đến mp(IBC).
Bài 15. (ĐH – CĐ A 2010). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a. Gọi M, N là trung điểm của AB, AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuụng gúc với mp(ABCD) và SH = a 3. Tớnh theo a khoảng cỏch giữa DM và SC.