Thời gian làm bài 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I: Cho hàm số: 4 2 y x 2mx 1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 1. 2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. Câu II: 1) Giải hệ phương trình: 1 xy xy x 1 1 y y 3 y. x x x 2) Giải phương trình: 2 4 2 1 tan x 16cos x 4. 2sin 4x. 4 1 tan x Câu III: 1) Tính tích phân: 2x 2 0 I e sin xdx. 2) Tính tổng: 2 1 2010 2 2 2009 2 3 2008 2 2011 0 2011 2011 2011 2011 S 1 C 2 2 C 2 3 C 2 2011 C 2 . Câu IV: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, đường cao SA. Gọi M là trung điểm SC; N, P lần lượt nằm trên SB và SD sao cho SN SP 2 SB SD 3 . Mặt phẳng (MNP) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Câu V: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 3 3 a b b c c a . 18 18 PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a: 1) Tính diện tích tam giác đều nội tiếp elip (E): 2 2 x y 1, 16 4 nhận điểm A 0;2 là đỉnh và trục tung làm trục đối xứng. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm ba điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng 1 2 3 x 1 y 2 z x 2 y z 1 x y z 1 d : ; d : ; d : 1 2 2 2 2 1 2 1 1 sao cho M, N, P thẳng hàng đồng thời N là trung điểm của đoạn thẳng MP. Câu VII.a: Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Vật lí có 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có bốn phương án, trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Một thí sinh đã làm được 40 câu, trong đó đúng 32 câu. Ở 10 câu còn lại anh ta chọn ngẫu nhiên một trong bốn phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt 8 điểm trở lên. phamtuan_khai20062000@yahoo.com sent to http://laisac.page.tl B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b: 1) Tính diện tích tam giác đều nội tiếp parabol (P): 2 y 2x, nhận đỉnh của parabol làm một đỉnh và trục hoành Ox làm trục đối xứng. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz: - Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 x 1 y 2 z 3 d : 1 2 3 và 2 x 2 t d : y 1 t z t ; - Tính góc giữa đường thẳng 3 x 2 y 1 z 3 d : 4 1 2 với mặt phẳng : x y z 2 0. Câu VII.b: Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Hóa học có 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có bốn phương án, trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Một thí sinh đã làm được 40 câu, trong đó đúng 32 câu. Ở 10 câu còn lại anh ta chọn ngẫu nhiên một trong bốn phương án. Tính xác suất để thí sinh đó chỉ đạt 7 điểm trở xuống. H H H Ư Ư Ư Ớ Ớ Ớ N N N G G G D D D Ẫ Ẫ Ẫ N N N G G G I I I Ả Ả Ả I I I V V V À À À Đ Đ Đ Á Á Á P P P S S S Ố Ố Ố PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I: 1) Tự giải 2) 3 2 y' 4x 4mx 4x x m Đồ thị hàm số có 3 cực trị y' 0 có 3 nghiệm phân biệt m 0 Khi đó tọa độ 3 điểm cực trị là: M 0;1 , 2 N m; m 1 , 2 P m; m 1 Vì tam giác MNP cân tại M và N, P đối xứng qua trục Oy nên tâm đường tròn đi qua 3 điểm này nằm trên trục tung Oy. Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm này có dạng (C): 2 2 x y b 1 2 2 2 b 0 1 b 1 M C b 2 N C m m b 1 1 2 Với b = 0, (2) 2 2 2 m 1 m 1 0 m 1 1 m 1 m 1 0 3 2 2 m 1 m 0 m m m 0 m m m 1 0 1 5 m 2 So sánh điều kiện ta nhận được m = 1, 1 5 m 2 Với b = 2, (2) 2 2 4 2 0 m 1 m 1 0 m 2m m 0 VN Vậy m = 1 hoặc 1 5 m 2 Câu II: 1) 1 xy xy x 1 1 y y 3 y. x x x Điều kiện: x 0, y 0 Hệ đã cho tương đương: 1 xy xy x 1 xy xy x 1 3 xy Đặt t xy, t 0 Ta có hệ: 2 3 1 t t x 1 1 t x 1 3t 2 Từ (1), (2) ta có: 3 2 3 2 2 0 t 0 1 t 1 t t 1 3t 2t 4t 4t 0 t 2t 2 0 VN Với t = 0, từ (1) x 1 y 0 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (1;0) 2) 2 4 2 1 tan x 16cos x 4. 2sin 4x 1 4 1 tan x Điều kiện: cos x 0 x k , k Z 2 Ta có: 2 cos x cosx sin x 4 , 2 1 sin 2x cos x sin x Khi đó: 4 2 2 1 4 cos x sin x 4. cos x sin x 4sin 2x.cos2x 4 2 2 4 3 3 cosx sin x cos x sin x 1 sin 2x cosx sin x cos x sin x cos x sin x sin x. cosx sin x 0 x k sin x 0 x k k Z cosx sin x 0 tan x 0 x k 4 Vậy phương trình có 2 họ nghiệm: x k k Z x k 4 Câu III: 1) 2x 2 0 I e sin xdx. Đặt 2 u sin x du sin2xdx 2x 2x 1 dv e dx v e 2 2x 2 2x 2x 0 0 0 1 1 1 I e sin x e sin2xdx e sin2xdx 2 2 2 (1) Đặt 1 1 u sin 2x du 2cos2xdx 2x 2x 1 1 1 dv e dx v e 2 2x 2x 2x 0 0 0 1 1 1 I e sin 2x e cos2xdx e cos2xdx 4 2 2 Đặt 2 2 u cos2x du 2sin 2xdx 2x 2x 2 2 1 dv e dx v e 2 2x 2x 2 2x 0 0 0 1 1 1 1 I e cos2x e sin2xdx e 1 e sin2xdx 4 2 4 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 1 1 I e 1 I I e 1 4 8 Vậy 2 1 I e 1 8 . 2) 2 1 2010 2 2 2009 2 3 2008 2 2011 0 2011 2011 2011 2011 S 1 C 2 2 C 2 3 C 2 2011 C 2 2011 2 1 2 2 2 3 2 2011 2011 2011 2011 2011 2 3 2011 1 1 1 1 2 1 C 2 C 3 C 2011 C 2 2 2 2 Trước hết ta xét khai triển nhị thức Newtơn: n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 x C xC x C x C x C Lấy đạo hàm hai vế: n 1 1 2 2 3 n 1 n n n n n n 1 x 1C 2xC 3x C nx C Nhân hai vế với x: n 1 1 2 2 3 3 n n n n n n nx 1 x 1xC 2x C 3x C nx C Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế: n 2 n 1 2 1 2 2 2 2 3 2 n 1 n n n n n n n 1 x 1 x n 1 x 1 C 2 xC 3 x C n x C Tiếp tục nhân hai vế với x: n 2 n 1 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 n n n n n n n n 1 x 1 x nx 1 x 1 xC 2 x C 3 x C n x C Thay 1 n 2011,x 2 vào ta được: 2009 2010 2 1 2 2 2 3 2 2011 2011 2011 2011 2011 2 2 3 2011 1 3 1 3 1 1 1 1 2011.2010. . 2011. . 1 C 2 C 3 C 2011 C 2 2 2 2 2 2 2 2 2009 2010 2 1 2 2 2 3 2 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2 3 2011 2011 2 1 2 2 2 3 2 2011 2009 2010 2011 2011 2011 2011 2 3 2011 2011 2 2 2011.2010.3 2011.3 1 1 1 1 1 C 2 C 3 C 2011 C 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 C 2 C 3 C 2011 C 2011.2010.3 2011.3 2 2 2 2 2 1 C 1 2 2 2 3 2 2011 2009 011 2011 2011 2011 2 3 2011 1 1 1 1 2 C 3 C 2011 C 3 .2011.2013 2 2 2 2 Vậy 2009 S 3 .2011.2013 Câu IV: Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm SO và AM. Ta có AM và SO là 2 trung tuyến của tam giác SAC I là trọng tâm tam giác SAC. SI 2 SO 3 Mà SN SP 2 SB SD 3 SI SN SP NI / /BD, NP//BD SO SB SD N,I,P thẳng hàng I MNP Mà A, I, M thẳng hàng A MNP Như vậy giao tuyến của (MNP) với hình chóp là tứ giác ANMP Giao tuyến này chia hình chóp thành 2 phần: - Phần 1 là hình chóp S.ANMP - Phần 2 là hình chóp cụt ANMP.ABCD S.ANMP S.ANM S.AMP S.ABC S.ADC S.ABCD S.ABCD S.ABCD SN SM SP SM 2 1 1 2 1 1 1 V V V . .V . .V . . V . . V V SB SC SD SC 3 2 2 3 2 2 3 ANMP.ABCD S.ABCD S.ANMP S.ABCD S.ABCD S.ABCD 1 2 V V V V V V 3 3 Vậy S.ANMP ANMP.ABCD V 1 V 2 Câu V: Không mất tính tổng quát giả sữ c là số nhỏ nhất trong các số a, b, c. Vì a c 0 , b c 0 nên: a c a a c b c ab 1 b c b Nếu a b thì: a b b c c a a b a c b c Vì c 0 , mà a b c 1 nên suy ra: a b 1 a 1 b 2 Từ (1) và (2) ta có: a c b c b 1 b Từ (2) suy ra: a b 1 2b Suy ra: a b a c b c b 1 b 1 2b Xét hàm số 3 2 f x x 1 x 1 2x 2x 3x x , với x 0;1 2 f ' x 6x 6x 1 3 3 f ' x 0 x 6 So sánh f 0 f 1 0, 3 3 3 3 3 3 f ,f 6 18 6 18 3 Maxf x 18 3 2 3 f x 2x 3x x 18 x 0;1 3 a b a c b c 18 Như vậy: 3 a b b c c a a b a c b c 18 Dấu”=” xảy ra khi: 3 3 3 3 a ,b ,c 0. 6 6 Nếu a b thì: a b b c c a b a a c b c Vì c 0 , mà a b c 1 nên suy ra: a b 1 b 1 a 3 Từ (1) và (3) ta có: a c b c a 1 a Từ (3) suy ra: b a 1 2a Suy ra: a b a c b c a 1 a 1 2a Xét hàm số 3 2 f x x 1 x 1 2x 2x 3x x , với x 0;1 2 f ' x 6x 6x 1 3 3 f ' x 0 x 6 So sánh f 0 f 1 0, 3 3 3 3 3 3 f ,f 6 18 6 18 3 Maxf x 18 3 2 3 f x 2x 3x x 18 x 0;1 3 b a a c b c 18 Như vậy: 3 a b b c c a b a a c b c 18 Dấu”=” xảy ra khi: 3 3 3 3 a ,b ,c 0. 6 6 Vậy 3 3 a b b c c a 18 18 PHẦN RIÊNG A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a: 1) Điểm B, C đối xứng với nhau qua trục tung nên B, C có tọa độ: 0 0 0 0 B x ;y , C x ; y , với 0 x 0 Độ dài cạnh tam giác đều: 0 a 2x Độ dài đường cao: 0 h 2 y Ta có: 0 0 0 0 a 3 h 2 y x 3 y 2 x 3 2 0 0 0 0 B x ;2 x 3 , C x ;2 x 3 Điểm B E 2 0 2 0 2 0 0 0 0 x 0 loai 2 x 3 x 1 13x 16 3x 0 16 3 16 4 x 13 16 3 22 16 3 22 B ; , C ; 13 13 13 13 Diện tích tam giác đều: 2 2 a 3 3 32 3 768 3 S . 4 4 13 169 2) 1 2 3 x 1 y 2 z x 2 y z 1 x y z 1 d : ; d : ; d : 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 M d M 1 m;2 2m; 2m 2 N d N 2 2n;2n;1 n 3 P d P 2p;p;1 p N là trung điểm MP m 15 m 2p 1 4n 4 m 4n 2p 3 19 2m p 2 4n 2m 4n p 2 n 2 2m p 1 2n 2 2m 2n p 1 p 10 M 14; 28;30 , 21 N 17; 19; 2 , P 20; 10; 9 Suy ra: 39 MN 3;9; 2 MP 6;18; 39 Ta thấy: 1 MN MP 2 , như vậy M, N, P thẳng hàng Vậy các điểm M, N, P cần tìm là: M 14; 28;30 , 21 N 17; 19; 2 , P 20; 10; 9 Câu VII.a: Thí sinh đã làm đúng 32 câu được: 32.0,2 = 6,4 điểm Thí sinh này đạt trên 8 điểm thì phải chọn đúng: 8 6,4 8 0,2 câu trở lên trong tổng số 10 câu còn lại. Nghĩa là thí sinh này phải chọn sai 0, 1 hoặc 2 câu. Gọi X = n là biến cố chọn sai n câu của thí sinh này. Mỗi câu có 4 phương án nên 10 N 4 cách chọn. Mỗi câu có 3 phương án sai nên có 3 cách chọn sai cho mỗi câu. - Chọn sai 0 câu: 0 0 10 N X 0 3 .C - Chọn sai 1 câu: 1 1 10 N X 1 3.C - Chọn sai 2 câu: 2 2 10 N X 2 3 .C 0 0 1 1 2 2 10 10 10 10 10 N X 0 N X 1 N X 2 3 .C 3.C 3 .C 436 P P X 0 P X 1 P X 2 N 4 4 Vậy xác suất thí sinh này đạt 8 điểm trở lên là: 10 436 P 4 B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b: 1) Đỉnh parabol là O(0;0) Điểm A, B đối xứng với nhau qua trục tung nên A, B có tọa độ: 0 0 0 0 A x ;y , B x ; y , với 0 y 0 Độ dài cạnh tam giác đều: 0 a 2y Độ dài đường cao: 0 h x Ta có: 0 0 a 3 h x y 3 2 0 0 0 0 A y 3;y , B y 3; y Điểm B P 0 2 0 0 0 y 0 loai y 2y 3 y 2 3 A 6;2 3 , B 6; 2 3 Diện tích tam giác đều: 2 2 a 3 3 S . 2 3 3 3 4 4 2) - Đường thẳng (d 1 ) đi qua A(1;2;3) có vectơ chỉ phương 1 a 1;2;3 Đường thẳng (d 2 ) đi qua B(2;-1;0) có vectơ chỉ phương 2 a 1;1;1 Phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và song song (d 2 ) có: P 1 2 n a ,a 1; 4;3 hay P n 1;4; 3 P : x 1 4 y 2 3 z 3 0 hay P : x 4y 3z 0 Vậy 1 2 2 4 0 26 d d , d d B, P 13 1 16 9 - Đường thẳng (d 3 ) đi qua M(-2;1;3) có vectơ chỉ phương 3 3 x 2 4t a 4;1; 2 d : y 1 t z 3 2t Mặt phẳng : x y z 2 0. Giao điểm N của (d 3 ) với (P): 2 6 9 17 2 4t 1 t 3 2t 2 0 t N ; ; 7 7 7 7 Phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc có dạng x 2 t : y 1 t z 3 t Hình chiếu P của M xuống là giao điểm của với : 2 2 t 1 t 3 t 2 0 t 3 4 5 7 P ; ; 3 3 3 Ta có: 2 2 2 6 9 17 2 21 MN 2 1 3 7 7 7 7 2 2 2 4 6 5 9 7 17 2 42 NP 3 7 3 7 3 7 21 Góc giữa đường thẳng (d 3 ) với là góc MNP : NP 2 42 7 2 cosMNP . MN 21 3 2 21 . Câu VII.b: Thí sinh đã làm đúng 32 câu được: 32.0,2 = 6,4 điểm Thí sinh này đạt 7 điểm trở xuống thì phải chọn đúng : 7 6,4 3 0,2 câu trở xuống trong tổng số 10 câu còn lại. Nghĩa là thí sinh này chọn đúng 0, 1, 2 hoặc 3 câu. Gọi X = n là biến cố chọn đúng n câu của thí sinh này. Mỗi câu có 4 phương án nên 10 N 4 cách chọn. Mỗi câu có 3 phương án sai nên có 3 cách chọn sai cho mỗi câu. - Chọn đúng 0 câu: 10 0 10 N X 0 3 .C - Chọn đúng 1 câu: 9 1 10 N X 1 3 .C - Chọn đúng 2 câu: 8 2 10 N X 2 3 .C - Chọn đúng 3 câu: 7 3 10 N X 3 3 .C 10 0 9 1 8 2 7 3 10 10 10 10 10 N X 0 N X 1 N X 2 N X 3 P P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 N 3 .C 3 .C 3 .C 3 .C 4 Vậy xác suất thí sinh này đạt 7điểm trở xuống là: 10 0 9 1 8 2 7 3 10 10 10 10 10 3 .C 3 .C 3 .C 3 .C P 4