KI-THUAT-DON- BIEN-TIM-MAX-MIN

Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An MỤC LỤC Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1.Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.Một số kiến thức cơ sở về đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.Một số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 6 Chương 2.Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức bằng phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức thể hiện tính đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa ba biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An LỜI NÓI ĐẦU Trong sách giáo khoa lớp 12 Giải tích đã trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vì vậy một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức chứa một biến trở nên đơn giản. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó ở chương trình trung học phổ thông. Trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức dành cho học sinh khá, giỏi thì biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất thường chứa không ít hơn hai biến. Không những thế, các bài toán khó thường có giả thiết ràng buộc giữa các biến. Việc chuyển bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức không ít hơn hai biến sang bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa một biến sẽ giúp chúng ta giải được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức. Vấn đề đặt ra là những dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất nào thì chuyển về được dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa một ẩn. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm để tìm giá nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức". Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học, cao đẳng bản thân đã đúc rút được một số kinh nghiệm. Vì vậy trong bài viết này chúng tôi trình bày chi tiết một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức chứa hai biến mà điều kiện ràng buộc của hai biến hoặc biểu thức thể hiện tính đối xứng hoặc tính đẳng cấp, trình bày một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức chứa ba biến mà bằng cách đánh giá chúng ta thế được hai biến qua biến còn lại. Với mục đích như vậy, ngoài lời mở đầu, mục lục và phần tài liệu tham khảo, bài viết được trình bày trong hai chương. 2 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An Chương 1. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết để giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. Ở cuối chương, chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh hoạ. Chương 2. Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết các dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức chứa hai biến mà điều kiện ràng buộc của hai biến hoặc biểu thức thể hiện tính đối xứng hoặc tính đẳng cấp, trình bày một số dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức chứa ba biến bằng cách đặt ẩn phụ hoặc thế hai biến qua một biến còn lại. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo trong tổ Toán, cùng các em học sinh lớp 12A-K30, 10C1-K33 trường THPT Đặng Thúc Hứa đã cộng tác, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện bài biết. Trong quá trình thực hiện bài viết này, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô, các bạn và các em học sinh để bài viết được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Thanh Chương, tháng 05 năm 2011 Tác giả 3 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An CHƯƠNG 1 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 1.1. Một số kiến thức cơ sở về đạo hàm Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về đạo hàm và một số công thức về đạo hàm. 1.1.1 Định lý. Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì 1. (u + v)  = u  + v  ; 2. (u − v)  = u  − v  ; 3. (uv)  = u  v + uv  ; 4. (ku)  = ku  ; 5. ( u v )  = u  v−uv  v 2 , với v(x) = 0 1.1.2 Định lý. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp. (c)  = 0(c là hằng số) (x)  = 1 (x n )  = nx n−1 (n ∈ R) (u n )  = nu n−1 u  ( 1 x )  = − 1 x 2 ( 1 u )  = − u  u 2 ( √ x)  = 1 2 √ x (x > 0) ( √ u)  = u  2 √ u (e x )  = e x (e u )  = e u u  (ln x)  = 1 x (x > 0) (ln u)  = u  u (sin x)  = cos x (sin u)  = u  cos u (cos x)  = −sin x (cos u)  = −u  sin u (tan x)  = 1 + tan 2 x(x = π 2 + kπ) (tan u)  = u  (1 + tan 2 u) (cot x)  = −(1 + cot 2 x)(x = kπ) (cot u)  = −u  (1 + cot 2 u) 4 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 1.1.3 Nhận xét. Đạo hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp 1. Cho hàm số y = ax+b cx+d với a.c = 0, ad − cb = 0. Ta có y  = ad−cb (cx+d) 2 . 2. Cho hàm số y = ax 2 +bx+c mx+n với a.m = 0. Ta có y  = amx 2 +2anx+bn−mc (mx+n) 2 . 3. Cho hàm số y = ax 2 +bx+c mx 2 +nx+p với a.m = 0. Ta có y  = (an−mb)x 2 +2(ap−mc)x+(bp−nc) (mx 2 +nx+p) 2 . 1.2. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. 1.2.1 Định nghĩa. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ⊂ R. a) Nếu tồn tại một điểm x 0 ∈ D sao cho f (x) ≤ f(x 0 ) với mọi x ∈ D thì số M = f(x 0 ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, ký hiệu là M = max x∈D f(x). b) Nếu tồn tại một điểm x 0 ∈ D sao cho f(x) ≥ f (x 0 ) với mọi x ∈ D thì số m = f(x 0 ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, ký hiệu là m = min x∈D f(x). 1.2.2 Nhận xét. Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D cần chỉ rõ: a) f (x) ≤ M (hoặc f (x) ≥ m) với mọi x ∈ D. b) Tồn tại ít nhất một điểm x 0 ∈ D sao cho f (x 0 ) = M (hoặc f (x 0 ) = m). 1.2.3 Nhận xét. Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó. Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó. Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [a; b] như sau: 1. Tìm các điểm x 1 , x 2 , , x n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 5 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 2. Tính f (x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ), f(a) và f(b). 3. So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [a; b]. 1.3. Một số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số Trong mục này chúng tôi trình bày một số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. 1.3.1 Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x+ √ 4 − x 2 Bài làm. Tập xác định D = [−2; 2], f  (x) = 1 − x √ 4−x 2 , f  (x) = 0 ⇔ x = √ 2. Bảng biến thiên t −2 √ 2 2 f  (t) + 0 − f(t) −2 ✒   2 √ 2 ❅ ❅ ❅❘ 2 Từ bảng biến thiên ta có min x∈[−2;2] f(x) = f (−2) = −2 và max x∈[−2;2] f(x) = f ( √ 2) = 2 √ 2. 1.3.2 Bài tập. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) =  1 − x 2 + 2 3  (1 − x 2 ) 2 . Bạn đọc tự giải. 1.3.3 Bài tập. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = 5 cos x − cos 5x với − π 4 ≤ x ≤ π 4 . Bạn đọc tự giải. 6 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An 1.3.4 Bài tập. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = 2 √ 1 − x 4 + √ 1 + x 2 + √ 1 − x 2 + 3 √ 1 + x 2 + √ 1 − x 2 + 1 . Hướng dẫn. Đặt t = √ 1 + x 2 + √ 1 − x 2 , √ 2 ≤ t ≤ 2. 1.3.5 Bài tập. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (x + 1)  1 − x 2 . Bạn đọc tự giải. 1.3.6 Bài tập. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x 6 + 4(1 − x 2 ) 3 , với x ∈ [−1; 1]. Bạn đọc tự giải. 1.3.7 Bài tập. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = sin 2x − x, với x ∈ [− π 2 ; π 2 ]. Bạn đọc tự giải. 1.3.8 Bài tập. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = 2x + 3 √ x 2 + 1 . Bạn đọc tự giải. 1.3.9 Bài tập. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x(  1 − x 2 + x). Bạn đọc tự giải. 7 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An CHƯƠNG 2 KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC Từ kết quả của Chương 1 chúng ta thấy rằng việc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số khá đơn giản.Việc chuyển bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức không ít hơn hai biến sang bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa một biến sẽ giúp chúng ta giải được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức. 2.1. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức bằng phương pháp thế Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại. Từ đó xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. 2.1.1 Ví dụ. Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 x + 1 4y . Bài làm. Từ giả thiết x + y = 5 4 ta có y = 5 4 − x. Khi đó P = 4 x + 1 5−4x . Xét hàm số f (x) = 4 x + 1 5−4x , x ∈ (0; 5 4 ). Ta có f  (x) = − 4 x 2 + 4 (5−4x) 2 . f  (x) = 0 ⇔ x = 1 v x = 5 3 (loại). Ta có bảng biến thiên x 0 1 5 4 f  (x) − 0 + f(x) +∞ ❅ ❅ ❅❘ 5 ✒   +∞ 8 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An Từ bảng biến thiên ta có min x∈(0; 5 4 ) f(x) = f (1) = 5. Do đó min P = 5 đạt được khi x = 1, y = 1 4 . Nhận xét. Bài toán này được giải bằng cách thế một biến qua một biến còn lại và xét hàm số chứa một biến. 2.1.2 Ví dụ. Cho x, y ∈ R thoả mãn y ≤ 0, x 2 + x = y + 12. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy + x + 2y + 17. Bài làm. Từ giả thiết y ≤ 0, x 2 +x = y+12 ta có y = x 2 +x−12 và x 2 +x−12 ≤ 0 hay −4 ≤ x ≤ 3. Khi đó P = x 3 +3x 2 −9x−7. Xét hàm số f(x) = x 3 +3x 2 −9x−7, x ∈ [−4; 3]. Ta có f  (x) = 3(x 2 + 2x − 3), f  (x) = 0 ⇔ x = −3 v x = 1. Ta có bảng biến thiên x −4 −3 1 3 f  (x) + 0 − 0 + f(x) −13 ✒   20 ❅ ❅ ❅❘ −12 ✒   20 Từ bảng biến thiên ta có min x∈[−4;3] f(x) = f (1) = −12, max x∈[−4;3] f(x) = f (−3) = f(3) = 20. Do đó min P = −12 đạt được khi x = 1, y = −10 và max P = 20 đạt được khi x = −3, y = −6 hoặc x = 3, y = 0. Nhận xét. Bài toán này được giải bằng cách thế một biến qua một biến còn lại nhưng phải đánh giá biến còn lại. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa một biến bị chặn. 2.1.3 Ví dụ. Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x √ 1 − x + y √ 1 − y . Bài làm. Từ giả thiết x, y > 0, x + y = 1 ta có y = 1 − x, 0 < x < 1. Khi đó ta có P = x √ 1−x + 1−x √ x . Xét hàm số f(x) = x √ 1−x + 1−x √ x , f  (x) = 2−x 2(1−x) √ 1−x − x+1 2x √ x , 9 www.VNMATH.com Giáo viên: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An f  (x) = 0 ⇔ x = 1 2 . Bảng biến thiên x 0 1 2 1 f  (x) − 0 + f(x) +∞ ❅ ❅ ❅❘ √ 2 ✒   +∞ Từ bảng biến thiên suy ra min P = min x∈(0;1) f(x) = f ( 1 2 ) = √ 2 đạt được khi x = y = 1 2 . Nhận xét. Bài toán này được giải bằng cách thế một biến qua một biến còn lại và sử dụng các giả thiết để đánh giá biến còn lại. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa một biến bị chặn. 2.1.4 Ví dụ. Cho x, y > 0 thoả mãn x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x 2 + 4 4x + 2 + y 3 y 2 . Bài làm. Ta có P = 3x 2 +4 4x + 2 y 2 + y. Áp dụng bất đẳng thức AM -GM ta có P = 3x 2 +4 4x +( 2 y 2 + y 4 + y 4 )+ y 2 ≥ 3x 2 +4 4x +3 3  2.y.y y 2 .4.4 + y 2 = 1 2 (x+y)+( x 4 + 1 x )+ 3 2 ≥ 2+2  x.1 4.x + 3 2 = 9 2 . Do đó min P = 9 2 đạt được khi x = y = 2. Nhận xét. Bài toán này được giải bằng cách đánh giá biểu thức P và cố gắng chuyển về một biến. 2.1.5 Bài tập. Cho x, y ∈ [−3; 2] thoả mãn x 3 + y 3 = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 . Bạn đọc tự giải. 2.1.6 Bài tập. Cho x, y ≥ 0 thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P = x y+1 + y x+1 . Bạn đọc tự giải. 10 www.VNMATH.com