Phòng GD& ĐT Sa Đéc CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THCS TTN Độc lập- Tự do- Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011- 2012 Ngày thi: 4/ 12/ 2011. Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(4 điểm). a/ Phân tích đa thức A thành nhân tử với: 4 3 2 4A x x x= + + − ; b/ Cho biểu thức 5 5 1 3 1 1 x x B x x + − − = − − − , tìm điều kiện của x để B có nghĩa. Chứng minh: 2 1 1 B x = − − c/ Cho hai số x và y thoả mãn: ( ) ( ) 2 2 2011 2011 2011x x y y+ + + + = . Tính tổng x y+ . Câu 2.(3 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức sau: ( ) 1 1 1 9 a b c a b c ≤ + + + + ÷ Câu 3.(2 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 5 2 4 2 4 2016P x y xy x y= + + − + + Câu 4.(3 điểm). a/ Tính số đường chéo của thất giác lồi. b/ Hãy xây dựng công thức tính số đường chéo của n- giác lồi, với n là số tự nhiên lớn hơn 3. Câu 5.(3 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi I là trung điểm của AH, J là trung điểm của CD. Tính số đo góc BIJ. Câu 6.(3 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A; 2BC = ; đường cao 2 2 AH = . Chứng minh: AB= AC. Câu 7. (2 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh: . ABC S BD DC= (Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác đó) Hết - 1 – Đề tham khảo gởi về PGD ĐỀ THAM KHẢO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THAM KHẢO Câu Nội dung Điểm 1a ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 2 2 4 2 2 2A x x x x x x x= + + − = + − + + ( ) ( ) 2 2 2 2x x x= + + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1x x x= + + − 0,25 0,25 0,5 b Mẫu thức ( ) 2 1 3 1x x= − − − , với 1x ≥ ( ) 1 3 1x x= − − − ĐKXĐ: 1 0 1 1, 10 1 3 0 x x x x x − ≠ ≥ ⇔ ≥ ≠ − − ≠ Vậy B có nghĩa khi 1, 10x x≥ ≠ Tử thức ( ) 2 5 5 1 1 5 1 6x x x x= + − − = − − − + ( ) ( ) 1 2 1 3x x= − − − − Vậy ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 5 5 1 3 1 1 1 3 1 x x x x B x x x x − − − − + − − = = − − − − − − 1 2 2 1 1 1 x x x − − = = − − − 0.5 0.5 0,5 0,5 c Ta có ( ) ( ) 2 2 2011 2011 2011x x y y+ + + + = (a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2011 2011 2011 2011 2011x x x x y y x x⇔ − + + + + + = − + ( ) ( ) 2 2 2011 2011 2011 2011y y x x⇔ − + + = − + ( ) ( ) 2 2 2011 2011y y x x⇔ − + + = − + 2 2 2011 2011x y x y⇔ + = + − + (b) (a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2011 2011 2011 2011 2011y y x x y y y y⇔ − + + + + + = − + ( ) ( ) 2 2 2011 2011 2011 2011x x y y⇔ − + + = − + ( ) ( ) 2 2 2011 2011x x y y⇔ − + + = − + 2 2 2011 2011x y y x⇔ + = + − + (c) Cộng từng vế (b), (c), ta được: 0x y+ = 0.25 0.25 0,5 - 2 – Đề tham khảo gởi về PGD 2 Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 a a b b c c a b c a b c b c a c a b + + + + = + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ 3 a b b c c a b a c b a c = + + + + + + ÷ ÷ ÷ Ta lại có: ( ) 2 2 2 0 2a b a b ab− ≥ ⇔ + ≥ ( ) 2 2 2, , 0 a b a b ab + ⇒ ≥ > 2 a b b a ⇔ + ≥ , với , 0a b > Tương tự: 2; 2 b c c a c b a c + ≥ + ≥ , với , , 0a b c > Vậy: ( ) 1 1 1 3 2 2 2 9a b c a b c + + + + ≥ + + + = ÷ Hay: ( ) 1 1 1 9 a b c a b c ≤ + + + + ÷ (Đpcm) 1 1 0,5 0,5 3 Ta có 2 2 5 2 4 2 4 2016P x y xy x y= + + − + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 2 1 4 4 2011P x xy y x x y y= + + + − + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2011P x y x y= + + − + + + Vì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 0 2 0 x y x y + ≥ − ≥ + ≥ nên 2011P ≥ . Vậy 2011 nn P = khi x= 1; y= -2. 1 0,25 0,5 0,25 4 a/ Số đường chéo của thất giác lồi bằng 14. b/ Mỗi đỉnh n- giác lồi nối với (n- 1) đỉnh còn lại. Nên ta có, số đoạn thẳng nối hai đỉnh bất kì là: ( ) . 1 2 n n − . Vậy số đường chéo cần tìm là: ( ) . 1 2 n n n − − 1 1 1 - 3 – Đề tham khảo gởi về PGD 5 + Gọi M là trung điểm của BH, ta có: MB= MH và IA= IH, nên IM là đường trung bình của tam giác ABH Suy ra IM// AB, IM=AB: 2. Lại có JC// AB, JC= CD: 2 hay JC= AB: 2 Do đó, tứ giác IMCJ là hình bình hành. Suy ra JI// CM (1) + Ta có AB ⊥ BC (gt), IM// AB (cmt) Nên IM ⊥ BC. Do đó M là trực tâm của tam giác BIC và ta có: CM ⊥ IB. Từ (1) suy ra IJ ⊥ IB tại I hay góc BIJ bằng 90 0 1 1 0,5 0,5 6 ∆ ABC vuông tại A; AH là đường cao, nên: . .AH BC AB AC= 2 . 2 . 2 AB AC⇔ = 1 .AB AC⇔ = Ta lại có: 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 1 1 1 , 1 2 2 1 2 2. 1 0 1 0 Do AC AB AB AB AB AB AB AB AB ⇔ = + = ÷ ÷ ÷ ⇔ = + ⇔ − + = ⇔ − = 1AB AC⇔ = = (Đpcm) 0,5 0,5 1 1 - 4 – Đề tham khảo gởi về PGD 7 Đặt BC= a, AC= b, AB= c. Gọi (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và (O) tiếp xúc với AC tại E, tiếp xúc với AB tại F. Ta có: BD= BE; CD= CF; Khi đó, BD+ BF= (BC- CD)+ (AB- AF) = (BC+ AB)- (CD+ AF) = (BC+ AB)- (CE+ AE)=BC+ AB- AC ⇔ 2. BD= a+ c- b= a- (b- c) Tương tự: 2. DC= a+ b- c= a+ (b- c) Do đó: 4. BD. DC= [a- (b- c)][ a+ (b- c)]= a 2 - (b- c) 2 = [a 2 - (b 2 + c 2 )]+ 2bc = 2bc Vậy BD. DC= (b.c): 2= ABC S (Đpcm) 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 (HS sinh có cách trình bày khác, đúng đạt điểm tối đa) - 5 – Đề tham khảo gởi về PGD . của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác đó) Hết - 1 – Đề tham khảo gởi về PGD ĐỀ THAM KHẢO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THAM KHẢO Câu Nội dung Điểm 1a ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 2 2 4 2 2 2A x x. c a c b a c + ≥ + ≥ , với , , 0a b c > Vậy: ( ) 1 1 1 3 2 2 2 9a b c a b c + + + + ≥ + + + = ÷ Hay: ( ) 1 1 1 9 a b c a b c ≤ + + + + ÷ (Đpcm) 1 1 0,5 0,5 3 Ta có 2. VIỆT NAM Trường THCS TTN Độc lập- Tự do- Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011- 2012 Ngày thi: 4/ 12/ 2011. Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu