Bài 4: ĐƯỜNG TRÒN I.Mục tiêu: 1)Kiến thức: Hiếu được định nghĩa phương trình đường tròn, dạng phương trình đường tròn, những điều kiện để một phương trình là phương trình đường tròn 2)Kỹ năng: - Viết được phương trình đường tròn trong một số trường hợp đơn giản - Xác định được tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình đường tròn. - Biết được phương trình dạng x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 có phải là phương trình đường tròn hay không?Nếu phải thì xác định được tâm và bán kính. - HS biết viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn. 3)Về tư duy, thái độ: - Cẩn thận, chính xác. - Sáng tạo bài toán mới, biết quy lạ về quen - Phát huy tính tích cực trong học tập II.Chuẩn bị - Giáo viên: giáo án sách giáo khoa, hình vẽ sẵn vào giấy. - Học sinh: sách giáo khoa, chuẩn bi bài trước ở nhà, compa, thước kẻ. III.Tiến trình bài giảng: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung HOẠT ĐỘNG 1: ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRÒN R O I x M y O - H: Khi nào ta xác định được một đường tròn? - Khi có tâm và bán kính ta dễ dàng vẽ được một đường tròn bằng compa - Bây giờ thầy gắn một hệ trục tọa độ Oxy lên đường tròn. Khi đó tâm I có tọa độ I(x 0 ;y 0 ) - Bây giờ chúng ta cần xây dựng phương trình đường tròn. - Trên mặt phẳng tọa độ, lấy một điểm M bất kì thì: + M có thể nằm ngoài đường tròn + M có thể nằm trong đường tròn - Vậy khi nào thì M(x;y) nằm trên (C)? - Hãy tính độ dài IM - Bình phương 2 vế thu được Đ: Khi ta xác định được tâm và bán kính HS: Khi IM=R 1.Phương trình đường tròn *Định nghĩa: (SGK/91) phương trình (1): (x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 = R 2 (1) Phương trình (1) là phương trình đường tròn (C) - Nhấn mạnh các bước cần làm khi viết phương trình đường tròn: *Để viết được phương trình đường tròn chúng ta cần: * Xác định tọa độ tâm I * Tính bán kính - Sau đó viết phương trình đường tròn theo định nghĩa - Bây giờ chúng ta sẽ cùng làm ví dụ 1: - VD1: Cho 2 điểm A(-3;2) và B(3;- 2) a)Hãy viết phương trình đường tròn(C1) tâm P đi qua A b)Hãy viết phương trình đường tròn (C2) đường kính AB Từ câu b) rút ra chú ý HS:=R 1 HS lên bảng làm ví dụ b) Đường tròn(C2): PT(C2): x 2 +y 2 =13 Đường tròn (C): PT (C): (x-x 0 ) 2 +(y- y 0 ) 2 =R 2 GIẢI a)Đường tròn(C1): PT(C1): (x+3) 2 +(y- 2) 2 =52 b) Đường tròn(C2): PT(C2): x 2 +y 2 =13 *Chú ý: Đường tròn(C) có tâm là gốc tọa độ, BK:R PT(C): x 2 +y 2 =R 2 HOẠT ĐỘNG 2: NHẬN DẠNG ĐƯỜNG TRÒN Khai triển PT(1): (x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 =R 2 x 2 +y 2 -2x 0 x-2y 0 y+x 0 2 +y 0 2 -R 2 =0 Vì x 0 ,y 0 là những số thực nên phương trình trên có thể đưa về dạng: x 2 +y 2 +2ax+2by+c=0 Vậy ngoài PT dạng (1) đã nêu ở định nghĩa,đường tròn (C) còn có phương trình dạng : Tuy nhiên có phải mọi phương trình có dạng như trên với a, b, c tùy ý đều là phương trình đường tròn hay không? Chúng ta sẽ đi đến phần 2 nhận dạng phương trình đường tròn Xét phương trình: Gọi I (-a; -b);M (x; y) Thì Vậy ta cùng xét quỹ tích của M thỏa mãn đẳng thức trên Vì a, b, c là những số thực nên cũng là 1 số thực. Vì vậy có thể “âm”, có thể bằng 0, hoặc có thể “dương”. • TH1: Quỹ tích M là rỗng. • TH2: Quỹ tích là 1 điểm M (-a, -b) • TH3: không đổi. Vậy M cách đều I 1 khoảng không đổi => quỹ tích của M là đường tròn tâm I (-a, -b), bán kính R= Từ quỹ tích rút ra cách nhận dạng phương trình Vd2: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình đường tròn? a) b) c) d) Gọi học sinh đọc kết quả Nhận xét: nếu c0 thì phương trình đó luôn là phương trình đường tròn. VD3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm M (1; 2), N (-3; 0), P (3; -2) Tương tự ví dụ 1, muốn viết phương trình đường tròn ta phải xác định tọa độ tâm và tính bán kính Vây đường tròn (C) đi qua 3 điểm M, N, P thì ta sẽ xác định tâm I và tính bán kính như thế nào? HS: Phương trình a, d là phương trình đường tròn Phương trình b, c không là phương trình đường tròn. 2) Nhận dạng phương trình đường tròn Phương trình: Là phương trình đường tròn có tâm I (-a; -b), bán kính R= Vd2: Trong các phương trình sau,phương trình nào là phương trình Như vậy dựa vào tính chất cách đều tâm ta sẽ xác định được tọa độ tâm I và tính bán kính R. Từ đó viết được phương trình theo định nghĩa. (Học sinh về nhà làm) Tuy nhiên hôm nay thầy muốn nhấn mạnh phương trình đường tròn ở dạng 2 Ta thấy phương trình: chứa 3 tham số a, b, c Vì vậy muốn viết được phương trình đường tròn dạng 2 ta cần tìm 3 tham số a, b, c Theo đề bài đường tròn (C) đi qua 3 điểm M, N, P. Làm thế nào để tìm a, b, c? (gọi học sinh trình bày bài giảng) (cho học sinh làm ví dụ 4) Từ PT (C m ) ta xác định a, b, c ? Áp dụng điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn,xác định m? b)Từ PT(C m )xác định tọa độ tâm.Tìm phương trình liên hệ giữa y I và x I qua m giới hạn quỹ tích. HS: Tâm I là điểm cách đều 3 điểm M, N, P Thay tọa độ 3 điểm vào phương trình 2 Giải hệ phương trình thu được tìm a, b ,c. HS: Phương trình đường tròn (C): Đường tròn (C) đi qua 3 điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình: Phương trình (C) : HS: đường tròn: a) b) c) d) Phương trình a, d là phương trình đường tròn. Phương trình b, c không phải là phương trình đường tròn. VD3:Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm M (1; 2), N (-3; 0), P (3; -2) Giải Phương trình đường tròn (C) : Đường tròn (C) đi qua 3 điểm M, N, P ta có hệ phương trình: Phương trình đường tròn (C) : Vd4: Cho họ đường cong (C m ) có phương trình : (C m ):x 2 +y 2 - 2(m+2)x+4my+5m 2 +4=0 a)Xác định m để (C m )là đường tròn b)Khi (C m ) là đường tròn hãy xác định quỹ tích tâm của các đường tròn đó Giải: a)(C m ): x 2 +y 2 - 2(m+2)x+4my+5m 2 +4=0 Ta có: Để (C m ) là đường tròn thì : a 2 +b 2 -c>0 [-(m+2)] 2 +4m 2 -5m 2 - 4>0 4m>0 m>0 Vậy m>0 thỏa mãn yêu cầu bài toán b)Với m>0 thì (C m ) là đường tròn có tâm I(m+2;-2m) Ta có: Từ (1):m=x I -2 Thay m vào pt(2) y I = -2(x I -2) y I =-2x I +4 Vì m>0 nên: x I - 2>0x I >2 Vậy quỹ tích tâm các đường tròn là đường thẳng (d):y=-2x+4,với x>2 HOẠT ĐỘNG 3: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN - Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng thì ta cần xác định những yếu tố nào? - Vậy dựa vào hình vẽ, em nào có thể xác định những yếu tố đó của đường thẳng ()? - Viết phương trình đường thẳng () ? - Đặt vấn đề: nếu Cô cho 1 đường thẳng () bất kì. Vậy khi nào () là tiếp tuyến của đường tròn (C)? Đ: Một điểm và 1 VTPT HS:) : HS : Phương trình (): (x 0 - a)(x-x 0 )+(y 0 -b)(y-y 0 )=0 Đ: Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng () bằng bán kính R. Cho đường tròn (C), có tâm I (a, b), bán kính R và điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) (C) Gọi () là @ếp tuyến của (C) tại M 0 . (): Phương trình () : (x 0 -a)(x-x 0 )+(y 0 -b)(y-y 0 )=0 Chú ý: đường thẳng () (bất kì )là @ếp tuyến của (C) ⇔ d(I, )=R -Giáo viên xét ví dụ 1. -Giáo viên goi học sinh tính a, b, c. -Xét a 2 +b 2 -c > 0 -Tìm tâm và bán kính R -Giáo viên treo hình vẽ minh họa. -Xét xem điểm A (-1; 0) có thuộc đường tròn (C) không? -Áp dụng cách viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đường tròn (C). -Dựa vào hình vẽ , em nào xác định các yếu tố để viết phương trình đường thẳng () ? -Viết phương trình tiếp tuyến () ? -Giáo viên hướng dẫn HS giải câu b -vuông góc với đường thẳng :x+2y=0 => pt( -Áp dụng điều kiện tiếp xúc để viết pttt(’) -Giáo viên xét VD 2 -GV gọi HS xác định tâm, bán kính của đường tròn(C) -Ptđt(qua M(1;3)có dạng như thế nào? Ta có : Tâm I (2; -4), bán kính R=5 HS : A (-1; 0) (C) HS :(): Phương trình (): 3(x+1)-4(y-0)=0 ⇔ 3x-4y+3=0 2x-y+c=0 HS: -Tâm I(3;-1) -BK:R=2 HS: a(x-1)+b(y-3)=0 HS:d(I,)=R 4.Ví dụ: + VD1: Cho đường tròn (C): x 2 +y 2 -4x+8y-5=0 a)Viết pttt(của (C) tại A(-1;0) b)Viết pttt(của (C) vuông góc với đt x+2y=0 Giải (C): x 2 +y 2 -4x+8y-5=0 Ta có => a 2 +b 2 -c=25>0 Tâm I(2;-4),bán kính R=5 a)A(-1;0) ( Chọn =(3;-4) PT(: 3(x+1)-4(y-0)=0 3x-4y+3=0 b)Vì ( vuông góc với đường thẳng: x+2y=0 nên phương trình (: 2x-y+c=0 ( là tt của (C) ⇔ d(I,=R ⇔ =5 ⇔ ⇔ ⇔ KL: (C) có 2 tt: (:2x-y+5-8=0 -Đt ( là tiếp tuyến của(C) khi nào? -Dựa vào điều kiện tiếp xúc tìm được a,b.Từ đó ta viết được ptđt(). -GV treo hình vẽ minh họa. -Giáo viên hướng dẫn học sinh giải cách 2. +Đường thẳng () đi qua M (1; 3) có phương trình: • x=1 x-1=0 => d(I, )= => () là tiếp tuyến của (C) + Đường thẳng () đi qua M (1; 3) với hệ số góc k có phương trình: • y=k(x-1)+3 kx-y-k+3=0 () là tiếp tuyến của (C) d(I,)=R (k+2) 2 =k 2 +1 4k= - 3 k= Kết luận : có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: ():x-1=0 (): 3x+4y-15=0 - Giáo viên xét VD3. - GV hướng dẫn HS cách giải: Để đt() tiếp xúc với(C) thì ta phải có d(I,)=R(*) Giài pt(*) tìm được m (: 2x-y 8=0 +VD2:Cho đường tròn(C): (x-3) 2 +(y+1) 2 =4 Viết pttt(của (C) qua M(1;3) Giải (C): (x-3) 2 +(y+1) 2 =4 Tâm I(3;-1), bk:R=2 Đt( qua M(1;3) có pt: a(x-1)+b(y-3)=0, (a 2 +b 2 =0) ax+by-a-3b=0 Đt( là tt của (C) d(I=R =2 (a-2b) 2 =a 2 +b 2 Với b=0 thì a.Chọn a=1 => pt(: x-1=0 Với 3b-4a=0, chọn a=3, ta được b=4 => pt(:3x+4y-15=0 KL: (C) co 2 tt: (:x-1=0 (3x+4y-15=0 +VD3: Cho đường tròn (C): (x- 2) 2 +(y+4) 2 =5 Và đường thẳng (): x+(m-1)y+m 2 +2m-4=0 Tìm đk của m để() tiếp xúc với đường tròn (C) Giải (C):(x-2) 2 +(y+4) 2 =5 Tâm I(2;-4),bk: R= ()tiếp xúc với (C) d(I,)=R = KL: với m = -1 hoặc m = 3 thì đt() tiếp xúc với đtròn (C). IV.Dăn dò củng cố : -Các em về đọc lại bài, làm bài tập trong SGK và chuẩn bị bài mới . Biết được phương trình dạng x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 có phải là phương trình đường tròn hay không?Nếu phải thì xác định được tâm và bán kính. - HS biết viết phương trình tiếp tuyến của. nhiên có phải mọi phương trình có dạng như trên với a, b, c tùy ý đều là phương trình đường tròn hay không? Chúng ta sẽ đi đến phần 2 nhận dạng phương trình đường tròn Xét phương trình: Gọi. liên hệ giữa y I và x I qua m giới hạn quỹ tích. HS: Tâm I là điểm cách đều 3 điểm M, N, P Thay tọa độ 3 điểm vào phương trình 2 Giải hệ phương trình thu được tìm a, b ,c. HS: Phương trình