T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Dạng cơ bản Giải phương trình : 2 4321 x4x2 −=− 2 2 22 2 21 4x 0 0x4 0 x2 4321 2x x2 2 43421 x4x2 432110 x x4xx4 x4x2 − −≥ <≤ ≥ −=−⇔⇔⇔⇔= −= −=−+ −=− Giải phương trình : x6 x6x9x6x9 23 + +−−−=+ Đặt 2 tx9,t0xt99 =−≥⇒=+≥ Phương trình cho viết lại : 2 2 2 t40 t2 0t3 6t36t3t32t4 t12t320 t8 t3 −= = ≤< ++−=+⇔⇔= −+= = ≥ t2x92x13 t4x94x25 t8x98x73 •=⇔−=⇔= •=⇔−=⇔= •=⇔−=⇔= Vậy phương trình cho có 3 nghiệm x13,x25,x73 === Giải phương trình : 2 2 132xx x13x =++− ++− Điều kiện để phương trình có nghĩa : 10 13 30 +≥ ⇔−≤≤ −≥ x x x . Đặt ()() 2 222 t4 tx13x,2t22t42x13x4232xx32xx 2 − =++−≤≤⇒=++−=++−⇒+−= () () () 2 232 22t4 132xx1t2t40t2t2t20* t2 x13x − =++−⇔=+⇔−−=⇔−++= ++− Vì 2 t2t20 ++> nên () ()() *t2x13x2x13x0x1,x3 ⇔=⇔++−=⇔+−=⇔=−= Chú ý : Cho hai số a0,b0 ≥≥ nếu tab =+thì () abt2ab +≤≤+ ( Đại số 9) Dễ thấy () () AMGM 22 tabtab2ababtab2ab2ababt2ab − =+⇔=++⇔+≤=++≤+⇔+≤≤+ AMGM − viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân. T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Giải phương trình : () () 22 4x1x12x2x11 −+=++ () () ( ) 2222 4x1x12x2x14x1x12x11 −+=++⇔−+=++ Đặt 2 tx1,t1 =+≥ Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 14x1t2t2x12t4x1t2x102t1t2x10 ⇔−=+−⇔−−+−=⇔−−+= () 2 2 2 1 1 2x10 x t1 4 x 2 2 3 x12x1 t2x1 3x4x0 −> > =< ⇔⇔⇔⇔= +=− =− −= Giải phương trình : () () 4 222 12xx12xx21x2x4x1 +−+−−=−−+ Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 2002 −≥⇔≤≤ xxx. () () 4 222 12xx12xx21x2x4x1 +−+−−=−−+ () () () () ( ) 4 222 11x2x111x2x121x2x2x11 ⇔+−−++−−−+=−−+− () () ()()() 2242 11x111x121x2x1* ⇔+−−+−−−=−− Đặt () [ ] [ ] () 2 tx1,x0;2t0;1a =−∈⇔∈ Phương trình () ()() 2 *11t11t2t2t1** ⇔+−+−−=− Điều kiện để phương trình có nghĩa : () 1 210 2 −≥⇔≥ ttb .Từ ()() 1 ,;1 2 ⇒∈ abt . Với 1 ;1 2 ∈ t , bình phương 2 vế phương trình ( ) ** ta được () () 22 4 4 3 11 1t2t2t122t1 t tt +=−⇔+=− () 4 3 2 11 2 1 ;12 2 2212 =+≥ ∈⇒⇒== =−≤ VT t tt tVTVP VPt xảy ra khi 12 =⇔= tx Vậy phương trình có nghiệm 2 = x. Giải phương trình : 242 3 x3x1xx1 3 −+=−++ ()()()() 2422222 33 x3x1xx12xx1xx1xx1xx1 33 −+=−++⇔−+−++=−−+++ () 22 22 xx13xx1 210* xx13xx1 −+−+ ⇔+−= ++++ Đặt 2 2 xx1 t,0t1 xx1 −+ =<≠ ++ T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Phương trình () 2 22 2 3 t0 3xx13 3 *2tt10x2x10x1 3xx13 3 t 3 =−< −+ ⇔+−=⇔⇔=⇔−+=⇔= ++ = Vậy phương trình có nghiệm x1 = . Giải phương trình : () 2 x35 x1 12 x1 += − Điều kiện để phương trình có nghĩa : 1 > x . Đặt () 1 ,101=>⇒<< xxya y () () 22 22 x35113535 x1y1yy1y2 12y1212 x11y +=⇔+=⇔+−=− −− Đặt () 2 22 1 113 2 − =+−⇒−= t tyyyy với 0112 <<⇒<≤yt Phương trình ( ) 2 viết lại : ( 2 2 7 t 35t1 5 t.35t24t350 5 122 t1;2 7 = − =⇔−−=⇔ =−∉ () () 2 2 22242 2 164 49 1 112144144 255 25 110 93 2225625625 255 ==± − − −===⇔−=⇔−+=⇔⇔ ==± yy t yyyyyyb yy Từ ( ) ( ) à avb suy ra () 5453 ;;,; 4535 = xy Vậy phương trình cho có nghiệm : 55 , 43 == xx Chú ý : Với điều kiện 1 > xgợi liên tưởng bài toán này có cách giải lượng giác , với 1 cos =x t hoặc 1 sin =x t Giải phương trình : 2 x4x3x5 −−=+ Điều kiện để phương trình có nghĩa : 505 +≥⇔≥− xx () 2 2 x4x3x5x27x5 −−=+⇔−−=+ Đặt () 2 y2x5,y2y2x5 −=+≥⇔−=+ Ta có hệ : () () () ()() () () 2 2 2 2 2 x2y5 x2y5 x2y5 xy0 529 x y2x5xyxy30 2 x2y5 x1 y2y2 xy30 y2 −=+ −=+ −=+ −= + = −=+⇔−++=⇔⇔ −=+ =− ≥≥ ++= ≥ T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Giải phương trình : 2 2x1532x32x20 +=+− Điều kiện để phương trình có nghĩa : 15 2150 2 +≥⇔≥− xx. () 2 2 2x1532x32x202x1524x228 +=+−⇔+=+− Đặt () 2 1 4y22x15,y4y22x15 2 +=+≥−⇔+=+ Ta có hệ : () () ()() () () () 2 2 2 22 4x22y15 xy 1 4y22x15xy8x8y90 x 2 4x22y15 4x22y154x22y15 9221 8x8y90 x 11 yy 16 22 1 y 2 +=+ = +=+−++= = +=+ +=+⇔+=+⇔⇔ −− ++= = ≥−≥− ≥− Dạng tổng hiệu – bình phương Giải phương trình : () () 4 x1x2x1x2x1x1 +−+−−−= Điều kiện để phương trình có nghĩa : 0 01 10 ≥ ⇔≤≤ −≥ x x x . () () () ( ) () ( ) 44 x1x2x1x2x1x1x2x1x1xx2x1x1x0 +−+−−−=⇔−−+−−−−+−= ( ) ( ) ( ) ( ) 22 444444 x1xx1x0x1xx1xx1xx1x0 ⇔−−−−−=⇔−−−+−−−+−−= () () 44 44 x1xx1x01 x1xx1x02 −−−+−= ⇔ −−+−−= Phương trình () 4444 11 x1xx1x011x1xxx0 44 −−−+−=⇔−−−+−−+= ()() 22 444444 11 1xx01xx1xx10 22 ⇔−−−−=⇔−−−+−= () () 44 44 1xx0a 1xx10b −−= ⇔ −+−= () 4444 1 1xx0a1xx1xxx 2 •−−=⇔−=⇔−=⇔= () 44 23 44444 1xx10b1x1x1x14x6x4xx •−+−=⇔−=−⇔−=−+−+ ( ) ( ) ( ) 444322 44444 xx2x3x20xx1xx20 ⇔−+−=⇔−−+= T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 4 4 4 4 42 4 x0 x0x0 x10 x1 x1 xx20 = == ⇔−=⇔⇔ = = −+> Phương trình () 4444 11 x1xx1x02xx1x1x0 44 −−+−−=⇔++−−+−+= ()() 22 444444 11 x1x0x1xx1x10 22 ⇔+−−+=⇔−−+−+= 44 44 44 x1x0 1 x1xx1xx 2 x1x10 −−= ⇔⇔=−⇔=−⇔= +−+> Vậy phương trình cho có 3 nghiệm 1 x0,x,x1. 2 === Dạng dùng bất đẳng thức Giải phương trình : 222 xx1xx1xx2 +−+−++=−+ Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 2 xx10 xx10 +−≥ −++≥ . Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , () () 22 22 22 22 22 1xx1xx xx11.xx1 22 xx1xx1x1 1xx1xx2 xx11.xx1 22 ++−+ +−=+−≤= ⇒+−+−++≤+ +−++−++ −++=−++≤= Phương trình : () 2 2222 xx2xx1xx1xx2x1x10x1 −+=+−+−++⇔−+≤+⇔−≤⇔= Vập phương trình cho có nghiệm x1 = Giải phương trình : 222 2xx3x3x1x2x3 −+−++=−+ Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 2 2xx0 3x3x10 −≥ −++≥ . Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , () () () 2 22 22 22 2 2 22 12xx 2xx1.2xx 2 13x3x13x3x2 3x3x11.3x3x1 22 x1 x3x2 VT2xx3x3x122 22 +− −=−≤ +−++−++ −++=−++≤= − −++ ⇒=−+−++≤=−≤ () 2 2 VPx2x3x122 =−+=−+≥ T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 2 2 x10 VTVP2khi12xxx1 113x3x −= ===−⇔= =+− Vậy phương trình có nghiệm x1 = . Dạng khác Giải phương trình : 22 a)x4x23x4x +−=+− ()() b)x1x4x1x45 ++−++−= 2 c)4x14x11 −+−= Hướng dẫn : 22 a)x4x23x4x +−=+− Đặt 2;4 2 ≤−+= xxxt có 20'; 4 1' 2 =⇔= − −= xt x x t t2;22 ⇒∈− Phương trình : 22 x4x23x4x +−=+− 3 142 ,2,00823 2 −− ===⇔=−−⇔ xxxtt ()() b)x1x4x1x45 ++−++−= Đặt [ ] tx14x;x1;4t'0t5;10 =++−∈−⇒=⇒∈ ()() x1x4x1x45 ++−++−= 305 2 5 2 =∨=⇔= − +⇔ xx t t 2 c)4x14x11 −+−= >−+−= ≥ 0)(';1414)( 2 1 2 xfxxxf x 2 1 ) 2 1 (1)( =⇒==⇒ xfxf Nhân lượng liên hợp Giải các phương trình : a) ( ) ( ) x11x12x5x ++++−= b) 22 2x3x52x3x53x +++−+= a) ( ) ( ) x11x12x5x ++++−= Nhân cả hai vế phương trình với x11 +− ta được phương trình hệ quả ( ) ( ) ( ) ( ) xx12x5xx11xx12x5x110 ++−=+−⇔++−−+−= ()() x0 x0 x12x5x110 x2 = = ⇔⇔ ++−−+−= = Thử lại ta thấy x2 = thỏa mãn . b) () 22 2x3x52x3x53x1 +++−+= Nhân cả hai vế phương trình với 22 2x3x52x3x5 ++−−+ ta được phương trình hệ quả : T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net ( ) () 22 22 x0 6x3x2x3x52x3x5 2x3x52x3x522 = =++−−+⇔ ++−−+= Lấy ( ) ( ) 12 + ta được ( ) () 2 22 22x3x523x42x3x523x ++=+⇔++=+ phương trình hệ quả 222 x4 8x12x20412x9xx16 x4 = ⇔++=++⇔=⇔ =− Kiểm tra lại các nghiệm x4;x4;x0 ==−= ta thấy x4 = thỏa mãn Giải các phương trình : a) 2 x x11x2 4 ++−=− b) 22 4x12x11x2x −−+=+− a) 2 x x11x2 4 ++−=− Độc giả thấy quá quen thuộc bài toán trên giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức , đánh giá , lượng giác… nay tôi giới thiệu cách giải nhân lượng liên hợp . Điều kiện để phương trình có nghĩa : 10 11 10 +≥ ⇔−≤≤ −≥ x x x . Vì 11 −≤≤ x nên 2 x 20 4 −> Phương trình cho () 42 2222 xx 221x4x211xx1 1616 ⇔+−=−+⇔−−=− ()() () 2 2222 x 211x11xx111x 16 ⇔−−+−=−+− ( ) () 2 2 222 2 2 x0 x 2xx111xx0 x 16 2111x 16 = ⇔=−+−⇔⇔= =−+− Vì x0 ≠ nên () 2 2 2 2 x 11 x 16 111x2 16 11x2 −< ⇒−+−< +−< Vậy phương trình cho có nghiệm x0 = b) 22 4x12x11x2x −−+=+− kiện để phương trình có nghĩa : 2 1 410 2 1 210 2 ≥ −≥ ⇔ +≥ =− x x x x • Nếu 1 2 =− x thì phương trình nghiệm đúng . Suy ra 1 2 =− x là nghiệm phương trình . T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net • Nếu 1 2 ≥ x thì phương trình cho ()()()() () 212121121212111 ⇔+−++−=+⇔−++−= xxxxxxxx () ( ) ( ) () ( ) 211211211211211211 ⇔−−=+−+⇔−−−+=+−+−+ xxxxxxxx () () () () 1 212112111 2212110 = ⇔−=+−+−+⇔⇔= ++−+= x xxxxx xx Vậy phương trình cho có nghiệm 1 ,1 2 =−= xx Dùng đạo hàm Giải phương trình : 6 2 3 x7x2x12 ++−+= 3 3 6 2 33 3 3 3 x7x12 x1 x7x2x12x7x12 x7x12 x1 ++−= ≥ ++−+=⇔++−=⇔ +−−= < Trường hợp 1: 3 3 x7x12 x1 ++−= ≥ . Xét hàm số ( ) 3 3 fxx7x1 =++− . Hàm số ( ) fx là hàm số đồng biến và luôn cắt đường thẳng y2 = tại 1 giao điểm ; do đó phương trình cho có nghiệm duy nhất và ( ) f12x1 =⇒= là nghiệm duy nhất của phương trình . Trường hợp 2 : 3 3 x7x12 x1 +−−= < Đặt 3 3 ux7,vx1 =+=− Hệ 3 3 3 3 33 3 3 x1 u0 x70 v2 uv2 x7x12 x12 x7 uv8 u2 x1 x72 v0 x10 < = += =− −= +−−= −=− ⇔⇔⇔⇔=− −= = < += = −= Vậy hệ cho có nghiệm x7;x1 =−= . Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: ( ) xxmxxx −+−=++ 4512 Phương trình cho ( ) ( ) mxxxxx =−−−++⇔ 4512 X ét () ( ) () ( ) () 1254 =++−−− 14424431442443 gxhx fxxxxxx ; [ ] 4,0∈D ( ) ( ) 12++= xxxxg : đồng biến trong D T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net () ()()()() 11 '0 0;4: 2524 − =+>∀⇒= −− hxxfxgxhx xx đồng biến mọi ∈ x D ⇒ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) 12453240 ≤≤−⇔≤≤ mfxff . Bài tập : Bài tập 1: Xác định m để phương trình : ( ) ( ) 0156 2 =−−++− xxmxx có nghiệm. Hướng dẫn : ()() 2 tx51x ; 0t4 19 m17 4 mtt5 =−−≤≤ ⇒≤≤ =−+ Bài tập 2: Tìm m để phương trình : mxxxx =−+−+ 22 sin2sinsin2sin có nghiệm. Hướng dẫn : [] 2;0 2 2 ' 1|| ; sin sin2sin 2 2 2 ∈⇒ − −− =⇒ ≤= −+= t z zz t zxz xxt [] 31 2;0 )(222 2 2 sin2sin 2 2 2 ≤≤−⇒ ∈ =−+= ⇒ − =−⇒ m t tfttm t xx Bài tập 3 : Cho phương trình : mxxxx =++++− 22 cossin1sinsin2 1. Giải phương trình khi 22=m 2. Định m để phương trình cho có nghiệm −∈ 2 ; 2 ππ x Hướng dẫn : ∈⇒−=⇒ ≤= −+= 4 9 ;021' 1|| ; sin sinsin2 2 tzt zxz xxt 222 14)( 4 9 ;0 ≤≤⇒ =+−= ∈ ⇒ m mttf t Bài tập 4: Xác định theo m số nghiệm phương trình : 444 446 xxmxmm +++++= Hướng dẫn : 444 4 ; ()416 txxmfxxxm =++=−−+= 19 m > : vô nghiệm ; 19 m = : 1 nghiệm ; 19 m < : 2 nghiệm Tìm m để bất phương trình : ()() ( ) 2 123253 xxmxx +−>+−+ thỏa mãn 1 ;3 2 x ∀∈− . Đặt ()() ()() 1541 123 ; ;3 có ',;3 22 2123 − =+−∈−=∈− +− x txxxtx xx 5 '0 4 tx =⇔= T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net x 1 2 − 5 4 3 t’ + 0 – t 7 2 17 :;30; 22 xt ∈−⇒∈ 0 0 Để bất phương trình cho đúng 2 1 ;3 thì : 6 2 xttm ∈−+>+ đúng 7 0; 2 t ∈ . Đặt 2 1 ()'()21'()0 2 ftttfttftt =+⇒=+⇒=⇔=− t −∞ 1 2 − 0 7 2 f’(t) + f(t) 0 7 0; 2 6min()(0)0 6 ∈ ⇒+<==⇒<− tmftfm . () () 22 22 x35113535 x1y1yy1y2 12y1212 x11y +=⇔+=⇔+−=− −− Đặt () 2 22 1 113 2 − =+−⇒−= t tyyyy với 0112 <<⇒<≤yt Phương trình ( ) 2 viết lại : ( 2 2 7 t 35t1 5 t.35t24t350 5 122 t1;2 7 = − =⇔−−=⇔ =−∉