ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 24 tháng 4 năm 2005 Bài 14. CÁC BÀI TOÁN VỀ VÀNH ƠCLÍT Các vành chính - như đã biết ở mục trước - nhờ có tính chất cơ bản : mỗi iđêan là iđêan chính mà s ở hữu được khá nhiều các tính chất chia hết như trong vành Z các số nguyên. Tuy vậy, chúng vẫn còn một khoảng cách khá xa so với Z. Chẳng hạn, ước chung lớn nhất của hai phần tử trong một vành chính A, đã tồn tại, nói chung vẫn không có được một thuật toán tìm UCLN như trong vành số nguyên - thuật toán Ơclit. Khái niệm về vành Ơclit (mà các điều kiện định nghĩa nó có được nhờ sự phân tích, đánh giá các điều kiện đảm bảo cho sự thực hiện thuật toán Ơclit trong vành Z !), được xem là một bổ sung rút ngắn bớt khoảng cách đó. Định nghĩa Vành Ơclit là một miền nguyên A, sao cho trên tập A ∗ các phần tử khác 0 xác định được ánh xạ δ : A ∗ −→ N, vào tập số tự nhiên N thỏa các điều kiện: E1 : Nếu a, b ∈ A ∗ mà a\b thì δ(a) δ(b). E2 : ∀a, b ∈ A, b = 0 luôn tồn tại q, r ∈ A sao cho a = qb + r, hơn nữa nếu r = 0 thì δ(r) < δ(b). Ánh xạ δ được gọi là hàm bậc hay ánh xạ Ơclit. Hiển nhiên vành Ơclit A là vành chính và đặc điểm nhận biết một vành Ơclit trong lớp các vành chính nói chung đó là sự xác định của hàm bậ c trên nó. Vì vậy các bài toán về vành Ơclit, ngoài các dạng tương tự như có trong vành chính, mà cách xử lí nói chung cũng tương tự như trong vành chính, đáng để ý hơn ở đây là các bài toán liên quan tới hàm bậc. Trứơc hết, chính là các bài toán kiểm tra một vành đã cho là vành Ơclit. Ví dụ 1 Cho æ = a b −b a : a, b ∈ Z . Chứng minh rằng æ cùng với hai phép toán cộng và nhân ma trận là một vành Ơclit. Giải : Để chứng minh æ là một vành Ơclit, trước hết ta cần kiểm tra æ là một miền nguyên theo cá c bước sau: + æ có nhiều hơn một phần tử. + æ ⊂ v M 2 , với M 2 là vành các ma trận cấp hai. 1 + Đơn vị của æ là 1 0 0 1 + Phép nhân trên æ là giao hoán. + æ không có ước của 0. Bốn bước đầu khá đơn giản, xin dành cho bạn đọc. Để kiểm tra æ không có ước của 0, ta để ý rằng : a b −b a = a 2 + b 2 = 0 ⇔ a = b = 0 nên A = a b −b a = 0 khi và chỉ khi det A = 0. Vậy nếu A = 0, B = 0 thì det AB = det A. det B = 0 nên AB = 0. Vậy æ là miền nguyên. Tiếp theo ta xây dụng hàm bậc δ : æ ∗ −→ N mà với mỗi A ∈ æ ∗ thì δ(A) = det A = a 2 +b 2 ∈ N. Ta lần lượt kiểm tra δ thỏa các điiều kiện E1, E2 Thật vậy, trước hết nếu A\B (A, B ∈ æ ∗ ) thì tồn tại C mà B = AC ⇒ det B = det A. det C, từ đó ta có det A det B (do det C 1). Vậy : δ(A) δ(B) tức δ thỏa E1. Bây giờ nếu A, B ∈ æ và B = 0. Khi đó det B = 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo B −1 ∈ M 2 . Xét ma trận AB −1 ∈ M 2 , dễ thấy nó có dạng AB −1 = r s −s r Ta chọn các số nguyên a, b sao cho |a −r| 1 2 và |b − s| 1 2 , và lập ma trận Q = a b −b a ∈ æ Khi đó ta có A = QB + (A −QB), trong đó ma trận R = A −QB = (AB −1 − Q)B thỏa mãn yêu cầ u det R < det B (nếu R = 0) bởi : det(AB −1 − Q) = r − a s −b b −s r − a =(r − a) 2 + (s −b) 2 1 4 + 1 4 < 1. tức δ thỏa điều kiện E2. Vậy æ là vành Ơclit. Các bài toán về tính chất của các phần tử liên quan tới bậc (tức giá trị của ánh xạ Ơclit) của chúng cũng là những dạng toán đáng chú ý trong vành Ơclit. 2 Ví dụ 2: Cho vành Ơclit A với hàm bậc δ. Đặt m = min δ(A ∗ ) và n = min{δ(A ∗ ) \m} Chứng minh rằng : a. Nếu u ∈ A ∗ mà δ(u) = m thì u \1 b. Nếu a ∈ A ∗ mà δ(a) = n thì a bất khả qui. Giải : a) Theo tiên đề E2, với cặp phần tử 1, u = 0, ắt tồn tại q, r ∈ A sao cho 1 = qu + r . Nếu r = 0 thì δ(r) < δ(u) = min δ(A ∗ ) là điều không thể xảy ra. Vậy r = 0 tức 1 = qu hay u \1 . b) Hiển nhiên a = 0 và a không khả nghịch do δ(a) = n > m = min δ(A ∗ ). (nếu a \ 1 thì δ(a) = m! ). Để chứng minh a bất khả qui ta lấy ước bất kỳ b của a ta chỉ ra b là ước khả nghịch hay ước liên kết với a. Vì b \ a nên tồn tại c mà a = bc ; đồng thời do E1 mà δ(b) ≤ δ(a). Suy ra δ(b) = n hay δ(b) = m. Nếu δ(a) = m, theo a) ta có : b \1. Nếu δ(a) = n, theo tiên đề E2 áp dụng cho cặp b, a = 0, tồn tại q, r sao cho : b = qa + r. Nếu r = 0 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do đó theo a) thì r \1. Khi đó ta có : r = b − qa = b −q(bc) = b(1 −qc) ⇒ b \r. Điều này không thể xảy ra vì δ(b) = n > m = δ(r) ! Vậy r = 0 và b = qa, tức a \b. Do b \ a và a \b nên b ∼ a Vậy ước bất kỳ b của a là ước tầm thường, do đó a bất khả qui. Ví dụ 3 Cho A là vành Ơclit với hàm bậc δ không là hàm hằng (δ(A ∗ ) nhiều hơn một phần tử !). Chứng minh rằng tồn tại phần tử a ∈ A, sao cho trong vành thương A / a , mỗi lớp ghép khác 0 đều chứa ít nhất một đại diện khả nghịch. Giải : Vì δ(A ∗ ) nhiều hơn một phần tử nên tồn tại các số tự nhiên m = min δ(A ∗ ) và n = min{δ (A ∗ )\ m}. Chọn a ∈ A ∗ mà δ(a) = n; ta chỉ ra a là phần tử cần tìm. Thật vậy, nếu x + A là lớp ghép khác 0 trong A / a thì x không là bội của a, do đó tồn tại q, r ∈ A với r = 0 mà : x = qa + r. Theo điiều kiện E2 thì δ(r ) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do vậy r khả nghịch và r = x −qa ∈ x + A, là đại diện khả nghịch của lớp x + A = 0. 3 BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng vành các số phức có dạng a + ib với a, b ∈ Z là vành Ơclit. 2. Cho tập các số phức Z( √ −2) = a + b( √ −2) : a, b ∈ Z Chứng minh Z( √ −2) là vành Ơclit (với phép cộng và phép nhân số phức). Chứng minh rằng phần tử a+b √ −2 ∈ Z( √ −2) là bất khả qui trong Z( √ −2) nếu a 2 +2b 2 là số nguyên tố. 3. Cho A là vành Ơclit. Chứng minh rằng giá trị của hàm bậc δ trên hai phần tử liên kết là bằng nhau. Từ đó suy ra rằng A là trường khi và chỉ khi hàm bậc δ trên A ∗ là hàm hằng (tức δ(x) = n ∈ N, ∀x ∈ A ∗ ) 4. Cho A là vành Ơclit với ánh xạ Ơclit δ : A ∗ −→ N. Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ Ơclit δ : A ∗ −→ N sao cho δ (A ∗ ) = {0, 1, 2, . . . , n} hay δ (A ∗ ) = N 5. Cho A là vành Ơclit không phải là trường và cho a ∈ A ∗ là phần tử sao cho mỗi lớp ghép khác 0 của vành thương A / a đều chứa một đại diện khả nghịch. Chứng minh rằng a là phần tử bất khả qui. Có kết luận gì về bậc của a ? 6. Cho A là vành Ơclit và I A. Chứng minh rằng vành thương A / I là vành Ơclit ⇔ A / I là miền ngyuên. 4 . ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa TS. Trần Huyên Ngày 24 tháng 4 năm 2005 Bài. và r = x −qa ∈ x + A, là đại diện khả nghịch của lớp x + A = 0. 3 BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng vành các số phức có dạng a + ib với a, b ∈ Z là vành Ơclit. 2. Cho tập các số phức Z( √ −2) = a +. 0 xác định được ánh xạ δ : A ∗ −→ N, vào tập số tự nhiên N thỏa các điều kiện: E1 : Nếu a, b ∈ A ∗ mà a thì δ(a) δ(b). E2 : ∀a, b ∈ A, b = 0 luôn tồn tại q, r ∈ A sao cho a = qb + r, hơn