TÌM GTLN VÀ GTNN C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ: Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau: 33)(/ 2 ++= xxxfa )5()(/ − = xxxgb Giải 4 3 2 3 4 3 4 9 2 3 233)(/ 2 22 + +=+++=++= xxxxxxfa Ta có ,0 2 3 2 ≥ +x nên 4 3 4 3 2 3 2 ≥+ +x Vậy: f(x) đạt GTNN bằng 4 3 khi 2 3 0 4 3 2 −=⇔= + xx Cách giải chung của bài toán trên là: Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng: ( ) [ ] axh + 2 trong đá a là một hằng số. Vì ( ) [ ] 0 2 ≥xh nên ( ) [ ] aaxh ≥+ 2 . Do đó GTNN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0. Ví dụ 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau: 142)(/ 2 +−−= xxxfa 2 )(/ xxxgb −= Giải ( ) 151142)(/ 2 2 ++−=+−−= xxxxfa Ta có ( ) 01 2 ≥+x nên ( ) 01 2 ≤+− x ⇒ ( ) 15151 2 ≤++− x Vậy: f(x) đạt GTLN bằng 15 khi ( ) 101 2 −=⇔=+ xx Cách giải chung của bài toán trên là: Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng: ( ) [ ] axh +− 2 trong đá a là một hằng số. Vì ( ) [ ] 0 2 ≥xh nên ( ) [ ] aaxh ≤+− 2 . Do đó GTLN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0. 2/ Bài tập tự giải: Bài tập 1: Tìm GTLN của các biểu thức sau: 132)( 2 ++−= xxxf Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng 4 3 8 17 =xkhi Bài tập2 : Tìm GTNN của các biểu thức sau: 1 6 4 1 )( 2 −−= x xxg Đáp số: g(x) đạt GTNN bằng 3 1 36 37 =− xkhi Bài tập 3: a/ Tìm GTNN của các biểu thức sau: )4)(3)(2)(1()( + + + + = xxxxxf Đáp số: f(x) đạt GTNN bằng 2 55 1 2,1 ±− =− xkhi b/ Giải phương trình trên khi f(x)=3 Đáp số: Phương trình có nghiệm 2 135 2,1 ±− =x Bài 4: Cho phương trình ( ) ( ) 01381 222 =−++−++ xmmxmm Gọi 21 , xx là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm GTLN và GTNN của biểu tổng S= 21 xx + Đáp số: S đạt GTLN bằng 1323 3413 3 132 − − =mkhi S đạt GTNN bằng 1323 3413 3 132 + + −=− mkhi Bài 5: Cho x và y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = 1 a/ Tìm GTNN của biểu thức: 22 3 yxM += Đáp số: M đạt GTNN bằng 4 1 ; 4 1 4 1 == yxkhi b/ Tìm GTLN của biểu thức: N = 2xy Đáp số: N đạt GTLN bằng 2 1 ; 6 1 6 1 == yxkhi Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức Đường lối chung để giải dạng toán này: Cho biểu thức )( )( xG xF A = . Biểu thức A đạt GTLN khi F(x) đạt GTLN và G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN khi F(x) đạt GTNN và G(x) đạt GTLN. 1/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: 10 6 35183 2 2 + − +− = x x xx A Giải ( ) 13 5 3 106 5 3 106 35183 222 2 +− += +− += +− +− = x xxxx xx A A đạt GTLN khi ( ) 13 2 +−x đạt GTNN, mà ( ) 113 2 ≥+−x Vậy GTLN của 8 1 5 3 =+=A khi ( ) 303 2 =⇔=− xx Cách giải chung của bài toán trên là: Ta thấy bậc của tử thức bằng bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép chia để đưa biểu thức về dạng A = M + )(xf N (M, N là hằng số). Do đó biểu thức A đạt GTLN khi biểu thức f(x) đạt GTNN. Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: ( ) 0 12 2 ≠ + = x x x A Giải Ta có thể viết: ( ) 1 111212 2 2 2 2 2 22 2 − + = −+ = −++ = + = x x x xx x xxx x x A Do đó: 101 1 1 2 −≥⇔≥+⇒ + =+ AA x x A Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1010 1 −=⇔=+⇔= + xx x x Vậy biểu thức A đạt GTNN bằng -1 khi x=-1 Cách giải chung của bài toán trên là: Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép biến đổi để đưa biểu thức về dạng A = K xg xf F + 2 )( )( (K là hằng số). Do đó biểu thức A đạt GTNN là K khi biểu thức )( )( xg xf =0. 2/ Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm GTLN của hàm số: ( ) 0 1 )( 4 2 ≠ + = x x x xf Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng 1 2 1 ±=xkhi Bài 2: Cho x>0. Tìm giá trị của x để biểu thức ( ) 2 2009+ = x x M đạt GTLN. Đáp số: M đạt GTLN bằng 2009 . 4 1 khi x=2009 Bài 3: Cho biểu thức: ( ) xxx x xx xx M 23 : )2(1 20092 23 32 +− −− +− = a/ Rút gọn M Đáp số: ( ) 0;2;1 20092 2 2 ≠≠≠ +− = xxx x xx M b/ Tìm GTNN của M. Đáp số: M đạt GTNN bằng 2009 2009 2008 =xkhi Bài 4: Cho biểu thức: )1(2 4123 : 23 3 232 ++ −+− + − = xx xxx x xx N a/ Rút gọn N . Đáp số: −≠≠ + = 3 2 ; 3 1 4 2 xx x x N b/ Tìm GTNN và GTLN của N Đáp số: N đạt GTNN bằng 2 4 1 −=− xkhi Đáp số: N đạt GTLN bằng 2 4 1 =xkhi Bài 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: 2 1 1 1 1 1 1 = + + + + + c b a Tìm GTLN của biểu thức abc: Đáp số: abc đạt GTLN bằng 2 1 8 1 === cbakhi Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức 1/ Ví dụ: Ví dụ 1:Cho biểu thức: xxxf +−−= 12)( . Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTLN. Giải Biểu thức f(x) có nghĩa khi: 21 01 02 ≤≤−⇔ ≥+ ≥− x x x Trong điều kiện này ta có f(x) 0 ≥ nên f(x)đạt GTLN khi và chỉ khi ( ) [ ] 2 xf đạt GTLN. Ta có: ( ) [ ] ( )( ) 2 2 22312212 xxxxxxxf −++=+−+++−= 2 2 2 1 4 9 23 4 1 4 9 23 −−+=++−+= xxx Do đó ( ) [ ] 2 xf đạt GTLN khi và chỉ khi 2 1 0 2 1 =⇔=− xx Vậy khi 2 1 =x thì GTLN của biểu thức )(xf = 6 2 1 1 2 1 2 =++− Cách giải chung của bài toán trên là: Ta cần xác điều kiện các biểu thức dưới dấu căn để cho căn thức có nghĩa, sau đó tìm điều kiện để biểu thức ( ) [ ] 2 xf đạt GTLN . Điều kiện đó cũng chính là điều kiện để biều thức f(x) đạt GTLN. Ví dụ 2: Cho biểu thức: 21 3 )( −− − = x x xf . Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTNN. Giải Biểu thứ f(x) có nghĩa khi: ≠ ≥ ⇔ ≠−− ≥− 3 1 021 01 x x x x Ta biến đổi: 21 21 )21)(21( 21 21 21 3 )( +−= − +−−− = −− −− = −− − = x x xx x x x x xf Do đó: 21)( +−= xxf nên ( ) xf đạt GTNN khi và chỉ khi 1−x đạt GTNN mà 01 ≥−x nên 1−x đạt GTNN bằng 0 khi 1 = x Vậy f(x) đạt GTNN bằng 2 khi 1 = x Cách giải chung của bài toán trên là: Ta cần xác điều kiện để biểu thức có nghĩa và phân tích đa thức thành nhân tử sau đó rút gọn biểu thức đã cho. 2/ Bài tập tự giải: Bài 1: Cho biểu thức: ( ) 2 2 1 2 12 1 )1(2 1 x x xx M − + − − + + = a/ Rút gon biểu thức M. Đáp số: ( ) 1;0 1 1 2 ≠≥ + + −= xx x x M b/ Tìm GTNN của M Đáp số: M đạt GTNN bằng -1 khi x=0 Bài 2: Cho biểu thức ( ) 2 1 2 : 12 2 1 2 xxx x x x M − − ++ + − − − = a/ Rút gọn biểu thức M. Đáp số: M= ( ) 1;0 ≠≥− xxxx b/Tìm GTLN của M. Đáp số: M đạt GTLN bằng 4 1 4 1 =xkhi Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức 12 1 +− = xx M Đáp số: M đạt GTLN bằng 16 1 7 8 =xkhi Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 2 13 1 x M −− = Đáp số: M đạt GTLN bằng 0 2 1 =xkhi M đạt GTNN bằng 1 3 1 ±=xkhi Bài 5:Tìm GTNN của biểu thức: ( ) ( ) 22 20092008 −+−= xxM Đáp số: M đạt GTNN bằng1 khi 20092008 ≤ ≤ x . 1010 1 −=⇔=+⇔= + xx x x Vậy biểu thức A đạt GTNN bằng -1 khi x =-1 Cách giải chung của bài toán trên là: Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép biến đổi để đưa. ) 0 1 )( 4 2 ≠ + = x x x xf Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng 1 2 1 ±=xkhi Bài 2: Cho x>0. Tìm giá trị của x để biểu thức ( ) 2 2009+ = x x M đạt GTLN. Đáp số: M đạt GTLN bằng 2009 . 4 1 khi. Các bài toán mà biểu thức là căn thức 1/ Ví dụ: Ví dụ 1:Cho biểu thức: xxxf +−−= 12)( . Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTLN. Giải Biểu thức f(x) có nghĩa khi: 21 01 02 ≤≤−⇔ ≥+ ≥− x x x