Tài liệu Bồi dưỡng HSG_MTBT_06

Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 1 MỞ ðẦU húng ta biết rằng máy tính Casio là loại máy rất tiện lợi cho học sinh từ trung học ñến ðại học. Vì máy giải quyết hầu hết các bài toán ở trung học và một phần ở ðại học. ðể giúp học sinh ñặc biệt là học sinh THCS có thể sử dụng ñược loại máy tính cầm tay kiểu khoa học nói chung, loại máy Casio fx – 570 MS nói riêng. Ngoài những tài liệu hướng dẫn sử dụng và giải toán ñã có, khi học sinh mua máy . Học sinh ñọc những tài liệu ñó thì chỉ có thể biết chức năng cơ bản các phím và tính toán các phép toán cơ bản, mà chưa có bài tập thực hành nhiều về kỹ năng giải Toán bằng máy tính cầm tay. ðể HS tự mình khám phá những khả năng tính toán phong phú, khai thác các chức năng của máy gắn liền với việc học trên lớp cũng như trong các hoạt ñộng ngoại khóa toán học thông qua thực hành trên máy. Vì thế trong quá trình dạy học trên lớp (dạy học tự chọn, dạy BDHSG,…) . Chúng ta cần phải trang bị cho học sinh nắm ñược một số phương pháp giải và quy trình ấn phím. ðể từ ñó, mỗi học sinh tự mình giải ñược các bài tập toán một cách chủ ñộng và sáng tạo. ðứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, muốn ñược khám phá, muốn cho các em học sinh THCS có những dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay. Tôi xin ñưa ra một số dạng bài tập ñể học sinh tự thực hành, rèn luyện kỹ năng giải Toán bằng máy tính cầm tay. C Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 2 NỘI DUNG DẠNG 1: “ TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA CỦA SỐ A CHO SỐ B “ a) Số dư của số A chia cho số B: ( ðối với số bị chia tối ña 10 chữ số ) Cách ấn: A B màn hình hiện kết quả là số thập phân. ðưa con trỏ lên biểu thức sửa lại A B phần nguyên của A chia cho B và ấn Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 9124565217 cho 123456 . Ấn: 9124565217 123456 Máy hiện thương số là: 73909,45128 ðưa côn trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là: 9124565217 123456 73909 và ấn Kết quả: Số dư: r = 55713 BÀI TẬP: Tìm số dư trong các phép chia sau: a) 143946 chia cho 32147 KQ: r = 15358 b) 37592004 chia cho 4502005 KQ: r = 1575964 c) 11031972 chia cho 101972 KQ: r = 18996 d) 412327 chia cho 95215 KQ: r = 31467 e) 18901969 chia cho 1512005 KQ: r = 757909 b) Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số: Nếu như số bị chia A là số bình thường nhiều hơn 10 chữ số. Ta ngắt ra thành nhóm ñầu 9 chữ số ( kể từ bên trái ). Ta tìm số dư như phần a). Rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối ña 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa thì tính liên tiếp như vậy. Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567. Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567 ñược kết quả là 2203. Tìm tiếp số dư của 22031234 cho 4567. Kết quả cuối cùng là 26. Vậy r = 26. Số dư của A A B B = − x phần nguyên của (A chia cho B ) ÷ = - x - = ÷ x = Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các d ạ ng bài t ậ p toán gi ả i b ằ ng máy tính c ầ m tay “ Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 3 BÀI TẬP: 1) Tìm số dư r khi chia số 24728303034986074 cho 2003. KQ: r = 401 2) Tìm số dư r khi chia số 2212194522121975 cho 2005. KQ: r = 1095 c) Tìm số dư của số bị chia ñược cho bằng dạng lũy thừa quá lớn thì ta dùng phép ñồng dư thức theo công thức sau: . . (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) c c a b m n p a m p b n p a m p ≡ ≡   ⇒   ≡ ≡   Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 2004 376 cho 1975 Giải: Ta có 2004 2 ≡ 841 (mod 1975) 2004 4 ≡ 841 2 (mod 1975) ⇒ 2004 12 ≡ 231 3 ≡ 416 (mod 1975) ⇒ 2004 48 ≡ 416 4 ≡ 536 (mod 1975) ⇒ 2004 48 .2004 12 ≡ 536. 416 (mod 1975) 2004 60 ≡ 1776 (mod 1975) ⇒ 2004 62 ≡ 1776. 841 (mod 1975) 2004 62 ≡ 516 (mod 1975) ⇒ 2004 62x3 ≡ 516 3 ≡ 1171(mod 1975) ⇒ 2004 62x3x2 ≡ 1171 2 (mod 1975) 2004 62x6 ≡ 591 (mod 1975) ⇒ 2004 62x6+4 ≡ 591.231 (mod 1975) ⇒ 2004 376 ≡ 246 (mod 1975) Vậy 2004 376 chia cho 1975 có số dư là 246. Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 176594 27 cho 293 Giải: Ta có 176594 ≡ 208 (mod 293) 176594 3 ≡ 208 3 ≡ 3 (mod 293) 176594 27 ≡ 3 9 (mod 293) 176594 27 ≡ 52 (mod 293) Vậy 176594 27 chia cho 293 có số dư là 52 Bài tập: 1)Tìm số dư của phép chia 23 2005 cho 100. Giải: Ta có: 23 1 ≡ 23 (mod 100) 23 2 ≡ 29 (mod 100) Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các d ạ ng bài t ậ p toán gi ả i b ằ ng máy tính c ầ m tay “ Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 4 23 4 ≡ 29 2 ≡ 41 (mod 100) (23 4 ) 5 ≡ 41 5 (mod 100) 23 20 ≡ 1 (mod 100) ⇒ (23 20 ) 100 ≡ 1 100 ≡ 1 (mod 100) 23 2000 ≡ 1 (mod 100) ⇒ 23 2005 =23 200 .23 4 .23 1 ≡ 1.41.23 (mod 100) 23 2005 ≡ 43 (mod 100) Vậy 23 2005 chia cho 100 có số dư là 43 2) Tìm hai chữ số cuối cùng của 23 2005 Giải: Ta giải như bài 1. Trả lời: Hai chữ số cuối cùng của 23 2005 là 43 3) Tìm chữ số hàng chục của 23 2005 Giải: Ta cũng giải như bài 1. Trả lời: Chữ số hàng chục của 23 2005 là 4. 4) Tìm số dư của phép chia 7 2005 chia cho 10 ( Tìm chữ số hàng ñơn vị của 7 2005 ) Giải: Ta có 7 1 ≡ 7 (mod 10) 7 2 ≡ 49 (mod 10) 7 4 ≡ 1 (mod 10) ⇒ 7 2004 = (7 4 ) 501 ≡ 1 501 ≡ 1(mod 10) ⇒ 7 2005 = 7 2004 .7 1 ≡ 1.7 ≡ 7(mod 10) Vậy: + 7 2005 chia cho 10 là 7. + Chữ số hàng ñơn vị của 7 2005 là 7. 5) Tìm chữ số hàng ñơn vị của 17 2002 . Giải: Ta có 7 1 ≡ 7 (mod 10) 7 2 ≡ 49 (mod 10) 7 4 ≡ 1 (mod 10) ⇒ (7 4 ) 500 ≡ 1 500 ≡ 1(mod 10) ⇒ 7 2000 ≡ 1(mod 10) ⇒ 7 2002 ≡ 17 2000 . 17 2 ≡ 1.9 ≡ 9(mod 10) Vậy: Chữ số hàng ñơn vị của 17 2002 là 9. 6) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng A = 2 2000 + 2 2001 + 2 2002 Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các d ạ ng bài t ậ p toán gi ả i b ằ ng máy tính c ầ m tay “ Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 5 Giải: Ta có A = 2 2000 ( 1+ 2 1 + 2 2 ) = 7. 2 2000 Mà ta lại có 2 10 ≡ 24 (mod 100) ⇒ (2 10 ) 5 ≡ 24 5 ≡ 24 (mod 100) ⇒ 2 250 ≡ 24 5 ≡ 24 (mod 100) ⇒ 2 1250 ≡ 24 5 ≡ 24 (mod 100) ⇒ 2 2000 = 2 1250 .2 250. 2 250. 2 250 ≡ 24.24.24.24 ≡ 76 (mod 100) ⇒ A = 7. 2 2000 ≡ 7.76 ≡ 32 (mod 100) Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng A là 32 7) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng B = 2 2000 + 2 2001 + 2 2002 + 2 2003 + 2 2004 + 2 2005 + 2 2006 Giải: Ta có B = 2 2000 ( 1+ 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 ) = 127. 2 2000 ⇒ B = 127. 2 2000 ≡ 127.76 ≡ 52 (mod 100) Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng B là 52 8) Tìm số dư của phép chia 1997 1997 cho 13 Giải: Ta có 1997 1 ≡ 8 (mod 13) 1997 2 ≡ 12 (mod 13) 1997 3 ≡ 12.8 ≡ 5(mod 13) 1997 4 ≡ 1 (mod 13) ⇒ (1997 4 ) 499 ≡ 1 499 ≡ 1(mod 13) 1997 1997 = 1997 1996 . 1997 1 ≡ 1.8 (mod 13) Hay 1997 1997 ≡ 8 (mod 13) Vậy số dư của phép chia 1997 1997 cho 13 là 8 9) Tìm dư trong phép chia 2 1000 cho 25 Giải: Ta có 2 10 ≡ 24 (mod 25) ⇒ 2 20 ≡ 1 (mod 25) ⇒ 2 1000 ≡ 1 500 ≡ 1 (mod 25) Vậy số dư trong phép chia 2 1000 cho 25 là 1 10) Tìm dư trong phép chia 2 1997 cho 49 Giải: Ta có 2 2 ≡ 4 (mod 49) ⇒ 2 10 ≡ 44 (mod 49) ⇒ 2 20 ≡ 44 2 ≡ 25 (mod 49) Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các d ạ ng bài t ậ p toán gi ả i b ằ ng máy tính c ầ m tay “ Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 6 ⇒ 2 21 ≡ 25.2 ≡ 1 (mod 49) ⇒ (2 21 ) 95 ≡ 1 95 ≡ 1 (mod 49) ⇒ 2 1995 ≡ 1 (mod 49) ⇒ 2 1997 = 2 1995 .2 2 ≡ 1.4 ≡ 4 (mod 49) V ậy dư trong phép chia 2 1997 cho 49 là 4 11) Tìm dư trong phép chia 2 1999 cho 35 Giải: Ta có 2 1 ≡ 2 (mod 35) ⇒ 2 10 ≡ 9 (mod 35) ⇒ 2 20 ≡ 44 2 ≡ 25 (mod 35) ⇒ 2 30 ≡ 9.25 ≡ 29 (mod 35) 2 16 ≡ 16 (mod 35) ⇒ 2 48 ≡ 1 (mod 35) ⇒ 2 1999 = (2 48 ) 41 .2 31 ≡ 1.29.2 ≡ 23 (mod 35) V ậy dư trong phép chia 2 1999 cho 35 là 23. 12) Tìm dư khi chia a) 4362 4362 cho 11 b) 3012 93 cho 13 c) 1999 1999 cho 99 d) 109 345 cho 14 ( r = 1 ) e) 3 1000 cho 49 f) 6 1991 cho 28 ( r = 20) g) 35 150 cho 425 h) 22 2002 cho 1001 i) 2001 2010 cho 2003 13) a) CMR: 1890 1930 + 1945 1975 + 1 ⋮ 7 b) CMR: 2222 5555 + 5555 2222 ⋮ 7 Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các d ạ ng bài t ậ p toán gi ả i b ằ ng máy tính c ầ m tay “ Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 7 DẠNG 2: “ TÌM CHỮ SỐ x CỦA SỐ n = 1 1 0 n n a a xa a m − ⋮ với m ∈ N “ Phương pháp: Thay x lần lượt từ 0 ñến 9 sao cho n ⋮ m Ví dụ: Tìm chữ số x ñể 79506 47 x chia hết cho 23. Giải: Thay x = 0; 1; 2; …; 9. Ta ñược 79506147 ⋮ 23 Bài tập: 1)Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1 2 3 4 x y z chia hết cho 7. Giải: - Số lớn nhất dạng 1 2 3 4 x y z chia hết cho 7 sẽ phải là 19293 4 z . Lần lượt thử z = 9; 8; …;1; 0. Vậy Số lớn nhất dạng 1 2 3 4 x y z chia hết cho 7 sẽ phải là 1929354. - Số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4 x y z chia hết cho 7 sẽ phải là 10203 4 z . Lần lượt thử z =0; 1; …;8; 9. Vậy Số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4 x y z chia hết cho 7 sẽ phải là 1020334. 2)Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất của số 2 3 4 5 x y z chia hết cho 25. KQ: - Số lớn nhất là: 2939475 - Số nhỏ nhất là: 1030425. 4)Tìm chữ số b, biết rằng: 469283861 6505 b chia hết cho 2005. KQ: b = 9. 5) Tìm chữ số a biết rằng 469 8386196505 a chia hết cho 2005. KQ: a = 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 6)Hãy nêu các bước thực hiện trên máy tính và từ ñó suy ra phải thêm số nào vào bên phải số 200 một chữ số ñể ñược số có bốn chữ số chia hết cho 7. Hướng dẫn: n = 200 7 a ⋮ . KQ: 2002; 2009. Sáng ki ế n c ả i ti ế n k ỹ thu ậ t : “ Các d ạ ng bài t ậ p toán gi ả i b ằ ng máy tính c ầ m tay “ Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 8 DẠNG 3: “ TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ “ 1. Tìm các ước của một số a : Phương pháp: Gán: A = 0 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : a ÷ A Ấn nhiều lần phím Gán: Nhập: a Ấn nhiều lần dấu Ví dụ: Tìm ( các ước ) tập hợp các ước của 120 Ta gán: A = 0 Nhập: A = A + 1 : 120 ÷ A Ấn nhiều lần phím Ta có A = {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;30;40;60;120} 2. Tìm các bội của b: Gán: A = -1 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : b x A Ấn nhiều lần phím Ví dụ : Tìm tập hợp các bội của 7 nhỏ hơn 100. Ta gán: A = -1 Nhập: A = A + 1 : 7 x A Ấn nhiều lần phím Ta có: B = {0;7;14;21;28;35;42;49;56;63;70;77;84;91;98} BÀI TẬP: 1) Tìm các ước của các số sau: 24; 48; 176. 2) Tìm tất cả các bội của 14 nhỏ hơn 150 3.Kiểm tra số nguyên tố: ðể kiểm tra một số là số nguyên tố ta làm như sau: ðể kết luận số a là số nguyên tố ( a > 1) , chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. Vì nếu một số a là hợp số thì nó phải có ước nhỏ hơn a 0 = Shift STO T Alpha A A 1 = ÷ Alpha Alpha A Alpha : + Alpha = = = = A Sáng ki ế n c ả i ti ế n k ỹ thu ậ t : “ Các d ạ ng bài t ậ p toán gi ả i b ằ ng máy tính c ầ m tay “ Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 9 Ví dụ: Số 647 có phải là số nguyên tố không ? Giải Ta có 647 = 25,43 Gán: A = 0 Nhập: A = A + 1 : 647 ÷ A Ấn 25 lần phím mà trên màn hình kết quả thương là số thập phân thì kết luận 647 là số nguyên tố BÀI TẬP: 1)Các số sau ñây số nào là số nguyên tố: 197; 247; 567; 899; 917; 929 2) Tìm một ước của 3809783 có chữ số tận cùng là 9 KQ: 19339 3) Tìm một số tự nhiên x biết lập phương của nó có tận cùng là ba chữ số 1. HD: Gán : A = 10 Nhập: A = A + 1 : A 3 KQ: x = 471 4)Tìm các số a, b, c, d ñể ta có 5 a x 7850 bcd = . Giải: Số 5 a là ước của 7850. Bằng cách thử trên máy khi cho a = 0; 1; 2; ; 9 Ta thấy rằng a chỉ có thể bằng 2. Khi a = 2 thì 7850 bcd = : 25 = 314 Vậy a = 2; b = 3; c = 1; d = 4. = Sáng ki ế n c ả i ti ế n k ỹ thu ậ t : “ Các d ạ ng bài t ậ p toán gi ả i b ằ ng máy tính c ầ m tay “ Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 10 DẠNG 4: “ TÌM CẶP NGHIỆM (x; y) NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN PHƯƠNG TRÌNH “ Ví dụ: Tìm cặp số (x; y) nguyên dương sao cho x 2 = 37y 2 +1. Giải: Ta có x 2 = 37y 2 +1 nên y < x Suy ra x = 2 37 1 y + . Do ñó gán: Y = 0, X = 0; nhập Y = Y + 1 : X = 2 37 1 Y + . Nhấn dấu liên tục cho tới khi X nguyên. KQ: x = 73; y = 12. BÀI TẬP: 1) Tìm cặp số (x; y) nguyên dương sao cho x 2 = 47y 2 +1. KQ: x = 48; y = 7. 2)Tìm cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn phương trình ( ) 2 3 4 17 2 161312 x x y+ − = . Giải: Ta có ( ) 2 3 4 17 2 161312 x x y+ − = ⇔ ( ) 3 2 161312 4 2 17 x x y − − = ⇔ 3 161312 4 2 17 x x y − − = ⇔ 4 161312 4 2 17 x y x − = − . Do ñó gán: Y = 0, X = 0; nhập X = X + 1 : Y = 2X - 3 161312 4 17 X − . Nhấn dấu liên tục cho tới khi Y nguyên. KQ: x = 30; y = 4. = = . loại máy Casio fx – 570 MS nói riêng. Ngoài những tài liệu hướng dẫn sử dụng và giải toán ñã có, khi học sinh mua máy . Học sinh ñọc những tài liệu ñó thì chỉ có thể biết chức năng cơ bản các. từ 0 ñến 9 sao cho n ⋮ m Ví dụ: Tìm chữ số x ñể 79 506 47 x chia hết cho 23. Giải: Thay x = 0; 1; 2; …; 9. Ta ñược 79 5061 47 ⋮ 23 Bài tập: 1)Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất. chữ số cuối cùng của tổng B = 2 2000 + 2 2001 + 2 2002 + 2 2003 + 2 2004 + 2 2005 + 2 2 006 Giải: Ta có B = 2 2000 ( 1+ 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 ) = 127. 2 2000 ⇒