Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận PHẦN I : HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I.) BẢNG ĐẠO HÀM Đạo hàm hàm hợp: Phép tốn: • (U+ V − W= U + V − W' ) ' ' ' • (U V ) = UV + U V ' ' ' • (k U ) = k U ' ' y = y u ' x ' u Công thức: • ( ax b ) =' a + • (u u '.v − u.v ' u • =− v2 v ' ' x • ) = n u n ' ( ) n −1 ' u = u ' u' u ax + b ( ac ≠ 0) cx + d SƠ ĐỒ KHẢO SÁT thức : y = d c Sự biến thiên: ad − cb ′ Chiều biến thiên: y = (cx + d ) - Nếu y' > hàm số đồng biến khoảng ( −∞; x0 ) ,( x0 ; + ∞ ) - Nếu y' < hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; x0 ),( x0 ; + ∞ ) Cực trị: Hàm số khơng có cực trị Giới hạn tiệm cận: a a lim y = , lim y = c c x →+∞ x →−∞ ⇒ - Đường thẳng y = • • u ( log u ) = u.ln' a • ( a ) = u a ln ' a • ' a u ' ( u' cos 2u +1 tan ) u ' u tan) =' u =( • ( c os) =' −u '.sin u u II.) KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Khảo sát vẽ đồ thị hàm phân Tập xác định: D = R \ { x0 } với x0 = − ' u' 1 • =− u u • ( sin) =' u c' os u u −u ' sin u = − ( +1 cot ) u u ( cot) =' u ' (Nếu u = x u' = 1) u Ví dụ 1: Khảo sát vẽ đồ thị y = Giải: Tập xác định: D = \ {1} Sự biến thiên hàm số 2x − x −1 −1 Chiều biến thiên: y ' = ( x − 1) < 0∀x ∈ D ⇒ Hàm số nghịch biến ( −∞;1 ) ; ( 1; + ∞ ) Cực trị: Hàm số khơng có cực trị Giới hạn tiệm cận: lim y = ; x →+∞ lim= y x →−∞ ⇒ Đường thẳng y=2 tiệm cận ngang lim y = lim + x→1+ x→1 2x −1 = +∞ x −1 ; x →1− y =lim− x →1 2x −1 lim= −∞ x −1 ⇒ Đường thẳng x=1 tiệm cận đứng Bảng biến thiên a tiệm cận ngang c Nếu y ' < 0, ∀x ∈ D lim y = +∞ lim y = −∞ ; + − x→xo x→xo Nếu y ' > 0, ∀x ∈ D lim y = −∞; lim y = +∞ + − x →xo x →xo ⇒ Đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng Bảng biến thiên: Đồ thị - Vẽ đường tiệm cận lên hệ trục toạ độ - Tìm giao điểm đồ thị với trục toạ độ, điểm đặc biệt biểu diễn chúng lên hệ trục tọa độ BÀI TẬP:Khảo sát vẽ đồ thị hàm số a) y = Đồ thị - Giao đồ thị hàm số Ox: y = ⇒ x=1/2 - Giao đồ thị hàm số Oy: x = ⇒ y=1 - Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng 2x + 2x + 1 ; b) y = ; c) y = x −1 1− x 2x −1 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận Ví dụ 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x4 − x2 − Giải: x= x2 Tập xác định: D = ( y =f ( ) x −2 −3 ) Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y ' = x − x = ⇔ x = ±1 x = Khảo sát vẽ đồ thị hàm số trùng phương y = ax + bx + c ( a ≠ 0) SƠ ĐỒ KHẢO SÁT 1.Tập xác định: D = R Sự biến thiên: Chiều biến thiên: - Đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) - Xét dấu y' từ suy đồng biến, nghịch biến hàm số Cực trị: - Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (-) hàm số đạt cực đại x0 ; yCĐ = y(x0) - Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (-) sang (+) hàm số đạt cực tiểu x0 ;yCT = y(x0) Giới hạn: +∞, a > - lim (ax + bx + c ) = x →±∞ −∞, a < Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: - Biểu diễn điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ - Tìm giao điểm đồ thị với trục toạ độ, điểm đặc biệt biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ BÀI TẬP: Bài 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số a) y = x + x − ; b) y = x − x ; 2 c) y = x + x ; d) y = – x4 ; ⇒ Hàm số đồng biến khoảng (−1;0) (1; +∞ ) ;1 Hàm số nghịch biến khoảng (−∞−) (0;1) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = ; yCĐ=f(0)= –3 Hàm số đạt cực tiểu hai điểm : x T =− ⇒ yCT = f( −1 )= – x T =1⇒ yCT = f(1 )=– C C lim y = +∞ , lim y = +∞ Giới hạn: x →−∞ x →+∞ Bảng biến thiên: • Đồ thị: Bảng giá trị: x –1 − 3 y –4 –3 –4 - Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng e) y = − x + x ; f) y = −2 x + x − Bài 2: a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) = x + x − (C) b) Từ đồ thị hàm số (C) miền giá trị f(x) x ∈ [ −2;5 ) * Lưu ý: +) Khoảng phải chứa + ∞ , y’ dấu a +) Hàm số trùng phương bậc ln có điểm cực trị ( x = 0) Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận Khảo sát vẽ đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx + cx + d SƠ ĐỒ KHẢO SÁT Tập xác định: D = R Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: - Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c - Xét dấu y' từ suy đồng biến, nghịch biến hàm số * Cực trị: - Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (–) hàm số đạt cực đại x0; yCĐ = y(x0) - Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (–) sang (+) hàm số đạt cực tiểu x0; yCT = y(x0) * Giới hạn: –) lim (ax + bx + cx + d ) = +∞, a > −∞, a < −∞, a > lim (ax + bx + cx + d ) = x →−∞ +∞, a < x →+∞ –) * Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: - Biểu diễn điểm cực trị (nếu có) - Tìm giao điểm đồ thị với trục toạ độ, điểm đặc biệt biểu diễn b) Một số tính chất (dùng để suy luận) * Điểm uốn tâm đối xứng * Điểm uốn trung điểm đoạn thẳng nối điểm cực đại cực tiểu * Đồ ln cắt trục hồn điểm nhiều điểm * Nếu y’ = có hai nghiệm phân biệt hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu, ( a ≠ 0) Ví dụ: Khảo sát,vẽ đồ thị hàm số y =− 3+ 32 +1 x x Giải: 1.Tập xác định: D = R Sự biến thiên: Chiều biến thiên: - Ta có : y’ = – 3x2 + 6x y’ = ⇔ x = x = Dấu y’ Hàm số đồng biến khoảng (– ∞ ;0); (2;+ ∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = Giới hạn: lim y = +∞, lim y = −∞ x →−∞ x →+∞ Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: Bảng giá trị: x −1 y 5 +) Đồ thị hàm số nhận (1; 3) làm tâm đối xứng * Nếu y’ = có nghiệm kép vơ nghiệm hàm số khơng có cực trị BÀI TẬP: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số a) y = f ( x) = x3 + x − ; b) y =f ( )=− 3 x x +x c) y = f ( x) = x3 − ; d) y =f ( )=−2 +3 x x3 SƠ ĐỒ CHUNG VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Tập xác định Đồ thị: Tìm TXĐ hàm số - Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ đồ thị Sự biến thiên Xét chiều biến thiên hàm số: - Xác định thêm số điểm đặc biệt khác +Tính y’và tìm xi mà f’(xi)=0 hoặcf’(xi)không xác định BÀI TẬP: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số + Xét dấu y’ suy chiều biến thiên hàm số 2x +1 a) y = x − x + ; b) y = * Tìm cực trị x +1 * Tìm giới hạn vô cực, giới hạn vô cực suy tiệm cận (nếu có) c) y = sin( x + ) với x ∈ [ 0;3 ] * Lập bảng biến thiên (Ghi kết tìm vào bảng biến thiên) Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận III.CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bài tốn 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP: * Hàm số y = f(x) có đồ thị (C), điểm Mo(xo;yo) thuộc (C) * Tiếp tuyến Mocó hệ số góc k = f’(xo)và có phương trình : y – yo = f’(xo)(x – xo) • Để viết phương trình tiếp tuyến cần xác định: xo , yo = f(xo) f’(xo) Ví dụ 1: Cho đường cong (C) y = x3 Với xo=1 ⇒ f(xo)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong : y = 3(x –1) + hay y = 3x – ( thỏa nãn) a.Tại điểm A(–1 ; –1) Với x0= –1 ⇒ f(x0)= –1 ⇒ b.Tại điểm có hồnh độ –2 Phương trình tiếp tuyến là: c.Tại điểm có tung độ –8 y = 3(x +1) –1 hay y = 3x + ( thỏa nãn) Giải: Ví dụ Cho hàm số y = x − 2x + có đồ thị (C) y = f(x) = x3 , f’(x) = 3x2 xác định R a) Ta có A(–1 ; –1) thuộc (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến xo = –1 , yo = –1 , f’(–1) = cắt tia Ox,Oy A,B cho OB = 2OA Vậy tiếp tuyến : y + = 3(x + 1) hay y = 3x + Giải: b)Ta có x0= –2 ⇒ yo= f ( −2) = −8 f '( − 2) = 12 Hệ số góc tiếp tuyến : ⇒ Phương trình tiếp tuyến : OB k= tan = – = –2 y = 12(x+2) – hay y =12x + 16 OA c)Ta có tung độ y0= –8 Giả sử (xo;yo) tiếp điểm ⇔ f(x0)= – ⇔ x = – ⇔ x0= – ⇒ f’(xo)= – ⇔ xo – = – ⇔ xo = ⇒ yo = f(0) = ⇒ f’(x0)=12 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: Vậy tiếp tuyến : y – = – 2(x – 0) hay y = –2x + y = 12(x+2) – hay y = 12x + 16 BÀI TẬP: 2x + Ví dụ 3: Cho hàm số y = (C) Viết phương Bài 1:Cho hàm số y = f ( x) = −2 x3 + (C).Viết x−2 phương trình tiếp tuyến (C) điểm A nằm trình tiếp tuyến đồ thị (C),biết hệ số góc (C) có hồnh độ – ĐS: y = −6 x − –5 Giải: Bài 2:Cho hàm số y = f ( x) = x − Viết phương * Tiếp tuyến điểm (xo; yo) trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm với có hệ số góc –5 khi : trục Ox ĐS: y = 3x − −5 f’(xo) = –5 ⇔ = −5 ⇔ x0 = hay x0 = Bài3 :Cho hàm số y = f ( x) = x − x Viết ( x0 − 2) phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số * Với x0 = ⇒ y0 =f (3) = y’(3) = –5 điểm uốn Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: Bài : Cho hàm số y = (C).Viết phương y – 7= –5(x –3) hay y = –5x + 22 x−4 * Với x0 = ⇒ y0(1) = –3 y’(1) = –5 trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: * Chú ý : Đường thẳngd1:y=k1x+b1và d2:y=k2x+b2 y + = – 5(x – 1) hay y = – 5x + k = k * Vậy có tiếp tuyến có hệ số góc k = –5 +) Song song ⇔ +) Vng góc ⇔ k1.k2=−1 d1 : y = –5x + 22 d2: y = – 5x + b1 ≠ b2 Ví dụ 3: Cho đường cong (C) y = x3 Viết phương * Bài toán viết phương trình tiếp tuyến qua điểm trình tiếp tuyến điểm (C): (thuộc chương trình nâng cao) a) Biết tiếp tuyến song song với Δ: y = 3x + +) Hai hàm số y =f(x) y =g(x) tiếp xúc f ( x) = g ( x) b*)Biết tiếp tuyến vng góc với (d): 2x +3y–4 = điểm thỏa mãn : f '( x ) = g '( x ) Giải: Ta có : y = f(x) = x3,f’(x) = 3x2 xác định R f (x) = x + k b a) Vì tiếp tuyến song song với y = 3x + x +) y = kx + b tiếp tuyến y=f ( ) ⇔ f '( ) = x k Hệ số góc tiếp tuyến ⇔ f’(x0) = ⇔ x0 = ⇔ x0 = ± { { Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận Bài toán 2: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO PHƯƠNG PHÁP: * Cho hai hàm số y =f(x) có đồ thị (C1) y =g(x) có đồ thị (C2) +) Phương trình hồnh độ giao điểm : f(x) = g(x) (1) +) Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình (1) +) Khi giao điểm (xo; f(xo) ) * Đường thẳng y = m (y = k(m)) đường thẳng song song trục hoành cắt trục tung điểm ( 0; m) Dạng 1: Dựa vào đồ thị (hoặc bảng biến thiên) biện luận số nghiệm phương trình Ví dụ Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (C).Tìm toạ độ giao điểm (C) đường thẳng y = Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm : x3 – 3x2 + = ⇔ x – 3x2 = ⇔ x = x = +) Với x = ⇒ Giao điểm (0 ;4) +) Với x = ⇒ Giao điểm (3 ;4) Ví dụ Tìm toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y = 2x3 + 3x2 (C)và hàm số y = 6x2 – 2x + (P) Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm : 2x3 + 3x2 = 6x2 – 2x + ⇔ 2x3 – 3x2 + 2x – = ⇔ (x – 1)(2x2 – x + 1) ⇔ x = +) Với xo = ⇒ yo = 6xo2 – 2xo + 1= ⇒ Giao điểm (1 ;5) Ví dụ Cho hàm số y = x − x + (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hs (C) b) Tìm giá trị tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = có nghiệm thực phân biệt Giải: b) x – 6x + m = ⇔ 3 m x − x +5 = − +5 4 Để phương trình có nghiệm phân biệt đường thẳng y = − m +5 cắt (C) điểm phân m biệt,khi đó: −3 < − + < ⇔ < m < 32 Vậy với m∈( 0; 32 )thì phương trình có nghiệm thực phân biệt Ví dụ Cho hàm số: y = − x + x − a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b)Tuỳ theo giá trị m, biện luận số nghiệm phương trình: − x + x − = m Hướng dẫn b) Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị y = − x + x − y = m Dựa vào đồ thị ta có kết luận: m > m < -1 Ph ương trình có nghiệm m = * phương trình có nghiÖm m = -1 * -1< m < 3: Phương trình có nghiệm Vớ d a) Khảo sát đồ thị hàm số y = x3 + x − * b) Tìm m để phương trình: sin3x – 3cos2x = m + vơ nghiệm Giải: b) Đặt sinx = t ( −1 ≤ t ≤ 1) Phương trình sin3x – 3cos2x = m + trở thành : t3 – 3(1 – t2) = m + ⇔ t3 +3t2 – = m (1) Xét hàm số :y =f(t) = t3 +3t2–4 [ −1;1] * Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 + x − Ta có đồ thị hàm số y =f(t) (nét liên hình) * Để phương trinh cho vơ nghiệm y =f(t) khơng cắt y = m, từ ta có kết luận Với m < –4 m > phương trình vơ nghiệm BÀI TẬP: Cho hàm số y = x − x − ; gọi đồ thị hàm số (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x − x − − m = Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận Dạng Dựa vào tính chất phương trình biện luận số giao điểm hai đồ thị Ví dụ Xác định m để hàm số y = 2mx − x +1 (Cm) cắt đường thẳng y = x + m tại2 điểm phân biệt Giải: * Phương trình hồnh độ giao điểm : mx − x +1 ∆’ > ⇔ ( m + 1) – m2 > ⇔ m > − =x+m ⇔ x2+ (1 – m)x + m +1 = (1) với x ≠ -1 *Để hàm số (Cm) cắt đường thẳng điểm phân biệt (1) có nghiệm khác -1, : 1≠ a≠0 f ( −1) ≠ ⇔ − + m + m + ≠ ∆>0 ( m − 1)2 − 4(m + 1) > m≠−2 m≠− ⇔ ⇔ m < − m − m − > m > + ( ) ( 3) ∪( + ⇔ m ∈ −∞; − ∪ + 3; +∞ ( *Vậy m ∈ −∞; − ) ) 3; +∞ thì(Cm) Ví dụ Xác định m để hàm số y = mx 4− x 2+ (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt Giải: * Phương trình hồnh độ giao điểm : mx − x + = ⇔ mx − x + 20 = (1) * Đặt x2 = t , Phương trình (1) trở thành : ⇔ mt − 6t + 20 = (2) *Để hàm số (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt ,suy (2) có nghiệm dương phân biệt ,khi : a ≠ m ≠ ∆ ' > 9 − 20 m > m > ⇔ ⇔ ⇔ 0< m< S > 20 6/m > m < 20 P > 20 / m > *Vậy m ∈ 0; thì(Cm) trục hồnh điểm 20 phân biệt Ví dụ Xác định m để y = x2 – 2mx + 1+m2 (P) cắt đường thẳng y = 2x + hai điểm phân biệt A B nằm phía với trục hồnh Giải: * Phương trình hồnh độ giao điểm : * Giả sử x1 x2 hai nhiệm (*), x1 + x2 = 2m + , x1 x2 = m tọa độ giao điểm: A(x1 ;y1)với y1= 2x1+1 B(x2 ;y2)với y2= 2x2+1 * Vì A B nằm phía với trục hoành ⇒ y1.y2 > ⇔ (2x1 + 1)( 2x2 + 1) > ⇔ x1 x2 + 2(x1 + x2 ) + > ⇔ 4m + 2(2m + 2) + > ⇔ 4m + 4m + > ( ) * Vậy m > − cắt đường thẳng điểm phân biệt x2 – 2mx + 1+ m2 = 2x + 2 ⇔ x – 2(m+1)x + m = (*) * Để parabol cắt đường thẳng điểm phân biệt (*) phải có hai nghiệm phân biệt,khi đó: thỏa mãn toán BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = 2x+ x−1 Tìm giá trị m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số cho điểm phân biệt (ĐS: m < -12 m > 0) Bài 2: Cho hàm số y = f ( x) = x3 + 3x − a) khảo sát hàm số b) Biện luận số nghiệm phương trình x + x + m = tuỳ theo giá trị tham số m Bài 3: Cho hàm số y = f ( x) = x + x − a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận số nghiệm phương trình x4 + 2x +m =0 tuỳ theo giá trị tham số m Bài 4: Xác định m để hàm số y = mx3 + x + − 2m cắt đường thẳng y = 3x –m 2 điểm phân biệt thỏa mãn x12 + x + x = *Định lý dấu tam thức bậc hai : ,∆ , = f (x ) =ax +bx +c (a ≠ 0),∆= b−4 ac ' = 'b− ac' b Nếu Δ < (Δ’< 0) a.f(x) > với ∀x ∈ R −b Nếu Δ = (Δ’= 0) a.f(x) > với ∀x ≠ 2a b Nếu Δ > 0(Δ’>0),tam thức có nghiệm (x1 < x2) a.f(x) > x > x2 (hayx ∈(−∞; x )∪ ( ; +∞ )) x2 x < x1 a.f(x) < x1 < x < x2 (hay x ∈( x1; x2 ) ) Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận Dạng 3* Biến đổi đồ thị toán tương giao f ( x) nêu f x ( ≥) ⇒ Đồ thị hàm số y = f ( x) gồm hai phần − f ( x) nêu f x ( hàm số có cực tiểu xi; + f ”(xi) < hàm số có cực đại xi) •Chú ý: Qui tắc thường dùng với hàm số lượng giác việc xét dấu f’(x) phức tạp Ví dụ Tìm cực trị hàm số y=2 3 2−36−10 x +x x Giải: Cách 1(Qui tắcI ) * Tập xác định : D = R x = * Ta có: y ' = x + x − 36 ⇒ y ' = ⇔ x = −3 * Bảng biến thiên Cách 2(Qui tắc II) * Tập xác định : D = R * Ta có: y ' = x + x − 36 x = y ' = ⇔ x + x − 36 = ⇔ x = −3 * y”= 12x + * Mặt khác : y’’(2) = 30 > nên hàm số đạt cực tiểu x = yct = - 54 y’’(-3) = -30 < nên hàm số đạt cực đại x = -3 ycđ =71 Vậy x =-3 điểm cực đại ycđ =71 x = điểm cực tiểu yct = - 54 BÀI TẬP: Tìm cực trị hàm số sau: a ) y = 10 + 15x + 6x − x ; c) y = x - x ; d) y = x+1 x +1 ; e) y = 2sinx + cos2x với x ∈ [ ; ] Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận Dạng Xác lập hàm số biết cực trị Phương pháp: f '(a) =0 * Hàm số y = f(x) đạt cực trị x = a ⇔ f ''(a) ≠0 f '(a) =0 * Hàm số y =f(x) đạt cực đại x = a ⇔ a f ''( ) 0 6.2−6m > BÀI TẬP: f '(a) =0 * Hàm số y =f(x) đạt cực tiểu x= a ⇔ a f ''( ) >0 Cách 2: y ' = x − mx + m − Hàm số đạt cực trị x = y’(2) = ⇔ 3.(2) − m.2 + m− = ⇔ m = Với m = ta hàm số: y = x3 – 3x2 + có : x = y ' = 3x − x ⇒ y ' = ⇔ x = x = hàm số đạt giá trịcực tiểu Vậy m = giá trị cần tìm Bài Xác định m để hàm số y = mx + x + x + đạt cực đại x = 2 Bi Tìm m để hàm số y = x − mx + ( m − ) x + có cực trị x = Khi hµm sè cã cực đại hay cực tiểu 3 2 Bài Tìm m để hàm số y = x − mx + m x − ®¹t cùc tiĨu t¹i x = Bài Tìm hệ số a, b, c cho hàm số: f ( x ) = x + ax + bx + c đạt cực tiểu điểm x = 1, f(1) = -3 đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ Dạng Tìm m để hàm số có cực trị cực trị thoả mãn tính chất đó.’ Hàm số y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) có cực trị phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt Hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) ln có điểm cực trị x = (1) b Hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) có y ' = x ( 4ax + 2b ) = ⇔ (k = − ) (2) 2a x = K +) Để hàm số có cực trị (2) có nghiệm phân biệt khác , K > +) Để hàm số có cực trị (2) vơ nghiệm có nghiệm x = , K ≤ a x + b1 (a2 ≠ 0, D = a1b2 − a b1 ≠ 0) khơng có cực trị Hàm số y = a x + b2 Ví dụ 1: Xác định m để hàm số sau có điểm cực trị y = x + mx + (m + 6)x − ; 3 Hướng dẫn y ' = x + mx + m + Để hàm số có cực trị phương trình: x + 2mx + m + = cã nghiƯm ph©n biƯt Ví d 2: Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu y =(m+2 x3 +3x2 +mx ) Giải: Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình y ' ( x) = cã nghiƯm ph©n biƯt ⇔ 3(m + 2) x + 6x + m = cã nghiÖm ph©n biƯt m + ≠ m ≠ −2 ⇔ ⇔ 2 ∆ ' = −3m − 6m + > m + 2m − < ⇔ −3 < m ≠ − < m > ⇔ ∆ ' = m2 − m − > ⇔ m < −2 BÀI TẬP: Bài 1: Tìm m để hàm số : y = x + mx + (m + 6) x − (2m + 1) có cực đại cực tiểu Bài 2: Tìm m để hàm số y = x + 2mx + 3m + có ba điểm cực trị Bài 3: Tìm m để hàm số f ( x) = x + 3(m − 1) x + 6(m 2) x có đường thẳngđi qua CĐ,CT song song với đường thẳng y = ax + b Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận Bài tốn : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP: Cách 1: (Áp dụng chung) - Lập bảng biến thiên f ( x) D - Từ bảng biến thiên suy GTLN, GTNN Cách 2: (Nếu f ( x) liên tục D = [a;b]) - Tìm điểm x1 , x2 , …, xn khoảng (a;b) mà f , ( x) f , ( x) không tồn - Tính f (a), f (x1), f (x2), … f (x n), f (b) , - Tìm số lớn M số nhỏ m số -Ta có: f ( x) = m, max f ( x) = M [ a ;b ] Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x + khoảng (0 ; + ∞ ) x Giải(C1) * Xét hàm số y = f ( x ) = x + D = (0; +∞ ) x x− * Ta có: y' = − 2= ⇒ ⇔ =x 1 y' = x −0 ⇒ =± x x Ta có lim f ( x) = +∞ , lim f ( x ) = +∞ x →+∞ x →0 * Bảng biến thiên * Vậy minf ( x ) = x = Hàm số khơng có giá trị lớn Ví dụ2:Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x) = x − ln(1 − 2x) đoạn [-2; 0] Giải(C2): * Xét hàm số f (x) = x − ln(1 − 2x) D = [-2;0] −4x + 2x + * Ta có : f’(x) = 2x + = − 2x − 2x f’(x) =0 ⇔ x = 1(loại) hay x = − (nhận); * Vì f(x) liên tục [-2; 0] , mà -2 f(x) – ln5 − − ln * Vậy : maxf (x) = − ln5 x = – [ −2;0] [ a ;b ] = (cos2x + sin2x )2 – 2sin2x cos2 = 1– sin22x Ta có ≤ sin22x ≤ 1 ⇔ ≥ – sin22x ≥ – 2 ⇔ ≥ – sin 2x ≥ 2 f ( x) = sin = ⇔x = +k 2x max f ( x ) = sin ⇔ x = k x=0 BÀI TẬP: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số sau: a) f(x) = x + x − x + trªn [-4; 4] c) f(x) = x − x + 16 đoạn [-1; 3] d) f(x) = x + x − x − đoạn [-4; 3] e) y = x + cos x ; ; f) y = x +1 j) y = x + − x ; x − x +1 g) y = cos 2 x − sin x.cos x + ; l) y = cos x + sin x h) y = (3 − x) x + đoạn [0;2] ; i ) f ( x ) = 3x − x − x + [ 0;3] ; k) f ( x) = ex đoạn [ ln ; ln ] ex + e ; m) f ( x) = ln( x + + x ) đoạn [-2;2] − ln x = − Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn 4 hàm số f ( x ) = cos x + sin x Giải(C3): * f ( x) = cos x + sin x x∈D [ −2;0] f (x) = x∈D max f ( x) = M x = x2 b) f(x) = x + x đoạn [-3; 1] x(0;+ ) x Cách 3: (Dùng tính chất bất đẳng thức) m ≤ f ( x ) ≤ M Tồn tại: f(x1) = m với x1∈ D f(x2) = M với x2∈ D, ⇒ f ( x) = m x = x1 Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 10 Bài tốn 5: TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT Điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x) ln có dạng: M(a;f(a))với a D(tập xác định) Điểm uốn: Hoành độ điểm uốn hàm số y = f(x) nghiệm phương trình f"(x) = f '(xo) =0 Điểm cực trị: Điểm M(xo; f(xo)) ( Hồnh độ nghiệm phương trình: f'(x) = ) f ''(xo) ≠0 Điểm tọa độ nguyên hàm phân thức dạng y = Khi a x + b ước b 3x − Ví dụ 1: Cho hàm số y = có đồ thị (H) x +1 Tìm điểm (H) có toạ độ số nguyên Giải : 3x − Ta có y = = 3− x +1 x +1 Điểm M(xo; yo)∈ (H) với x, y thuộc Z ⇒ ∈ Z ⇒ x + ước số x +1 x + = x = x + = −1 x = −2 x + = x = ⇒ ⇔ x + = −2 x = −3 x + = x = x + = −4 x = −5 Vậy (H)có điểm có tọa độ số nguyên: (0; -1), (–2; 7), (1; 1), (–3; 5), (3; 2), (–5; 4) a1x + b1 b (Chuyển y = a + : a, b nguyên) a x + b2 a x + b2 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 - 6x2.Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn Giải : Ta có y' = 4x – 12x , y"= 12x2 –12 y” = ⇔ 12x2 – 12 = ⇔ x2 = ⇔ x = ±1 +) Với x = ⇒ y(1) = – ⇒ y'(1)= –8 Phương trình tiếp tuyến: y = – 8(x – 1) – ⇔ y = – 8x + +) Với x = ⇒ y(–1) = – ⇒ y'(– 1)= Phương trình tiếp tuyến: y = 8(x + 1) – = ⇔ y = 8x + Ví dụ 3: Cho hàm số y = ,có đồ thị (C).Tìm x điểm M thuộc (C) ,biết OM = Giải : 1 Giả sử M a; thuộc (C) với a ≠ , theo a 1 OM = ⇔ a + = ⇔ a − 2a + = a ⇔a2 = a =± ⇒M≡ M1(1 M ≡M2( 1−1) ⇔ ;1) −; IV.CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hàm số y = x3 − x + a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tính khoảng cách điểm cực đại đồ thị hàm số (ĐS: d=2) Bài 2: Cho hàm số y = ; có đồ thị (H) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x + 2y −5= Bài 3: Cho hàm số y = x − x + , gọi đồ thị (C) Trên (C) lấy điểm A có hồnh độ x A = Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C) A Bài 4: Cho hàm số y = x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm k để đường thẳng (d) qua gốc tọa độ, có hệ số góc k, cắt (C) hai điểm phân biệt c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x Bài 5: Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) −x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm điểm đồ thị ( C ) hàm số có tọa độ số nguyên Bài 6: Cho hàm số y = x − x + (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hoành Bài 7: Cho hàm số y = x − x + (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm giá trị tham số m để phương trình − x + x + m = có nghiệm phân biệt 2 Bài 8: Cho f (x) = x3 + (m +1)x2 + (m2 + 4m + 2)x a) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu b) Tìm m để hàm số đồng biến Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 11 ... soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận Bài toán : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP: Cách 1: (Áp dụng chung) - Lập bảng biến thiên f ( x) D - Từ bảng... bảng biến thiên (Ghi kết tìm vào bảng biến thiên) Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận III.CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bài toán 1: VIẾT PHƯƠNG... 30 > nên hàm số đạt cực tiểu x = yct = - 54 y’’ (-3 ) = -3 0 < nên hàm số đạt cực đại x = -3 ycđ =71 Vậy x =-3 điểm cực đại ycđ =71 x = điểm cực tiểu yct = - 54 BÀI TẬP: Tìm cực trị hàm số sau: a