Chuyên đề luyện thi ĐH - p2

CHUYÊN ĐỀ 1 TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng. Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây: Cho a = ( , = ta có: f b f ) f f f f ) 1 2 a, a ( 1 2 b, b a = f b f ⇔ 1 2 1 2 a = b a = b ⎧ ⎨ ⎩ a + = ( , ) b 1 1 a + b 2 2 a + b a – = ( , ) b 1 1 a - b 2 2 a - b k a = (k , k ) (k f 1 a 2 a ∈ R) α + = ( + a f β b f α 1 a β 1 b , α 2 a + β 2 b ) a . = + f f b 1 a 1 b 2 a 2 b . Với các quan hệ về độ dài ta có: a = ( , ) f 1 a 2 a ⇒ a f = 22 1 2 a + a () () AA BB A x, y Bx, y ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⇒ A B iiif = ( – , – ) B x A x B y A y và AB = ()() 22 BA BA x - x y - y+ . Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có: a + = 0 f f f f ⊥ b ⇔ 1 a 1 b 2 a 2 b cùng phương a b ⇔ f f sin( a, b) = 0 ⇔ – = 0 1 a 2 b 2 a 1 b ⇔ 1 1 a b = 2 2 a b ( , 1 b 2 b ≠ 0) A, B, C thẳng hàng ⇔ A B i iif cùng phương A C i iif ⇔ BABA CACA x - x y - y x - x y - y = 0 . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: - Góc hình học tạo bởi hai vectơ a f , b f được suy từ công thức: cos( ‹ a, b f f ) = 11 22 ab + ab a.b f f (1) - Số đo góc đònh hướng của hai vectơ a f , b f ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức: f f sin( a, b) = 12 1 f f 2 a b - a b a.b f f tg( a, b) = 12 1 11 2 2 2 a b - a b ab + a b Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: . M( , ) là trung điểm của đoạn thẳng AB M x M y ⇔ 2 2 AB M AB M x + x x = y + y y = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ . G( , ) là trọng tâm của G x G y Δ ABC ⇔ 3 3 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ AB G AB G x + x + x x = y + y + y y = C C . I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong ABC thì: I x I y J x J y Δ IB IC iif iif = − iiif JB JC iiif = − A B A C . Với A( , ), B( , ), C( , ) thì diện tích tam giác ABC là: A x A y B x B y C x C y S = 1 2 Δ với Δ = BABA CACA x - x y - y x - x y - y Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B. b) Tìm tọa độ điểm M để 2 + 3AM iiiif BM i iiif - 4 CM i iiif = 0 f c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên Ox. d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC. Δ e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng. Giải a) D là điểm đối xứng của A qua B B là trung điểm của AD ⇔ ⇔ AD B AD B x + x x = 2 y + y y = 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ hay D(–2, 7) ⇔ () () −−⎧ ⎪ ⎨ − ⎪ ⎩ DBA DBA x = 2x x = 2 0 2 = 2 y = 2y y = 2 3 + 1 = 7 − iiiif iiiif b) Ta có: 2 + 3 BM – 4 CM AM i iiif = 0 f = ( 0, 0 ) ⇔ ()() ( ) ()()() −−−−⎧ ⎪ ⎨ −− − ⎪ ⎩ MMM MMM 2x 2 + 3x 0 4x 4 = 0 2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0 ⇔ hay M(–12, –1) − ⎧ ⎨ − ⎩ M M x =12 y =1 c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox. ⇔ E y = 0 CE ⎧ ⎪ ⎨ ΑΒ ⎪ ⎩ iiif iiif // ⇔ E EE y = 0 x - 4 y - 2 = 0 - 2 3 + 1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⇔ hay E(5, 0) E E y = 0 x = 5 ⎧ ⎨ ⎩ d) H là trực tâm của ABC Δ ⇔ A H BC BH AC ⊥ ⎧ ⎨ ⊥ ⎩ ⇔ A H.BC = 0 BH.AC = 0 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ i iiif iiif iiiif iiif ⇔ ()()() ( ) ()()()() 412 42 321 0 −−++−=⎧ ⎪ ⎨ −−+−+= ⎪ ⎩ HH HH x2 0y x0 y 30 239 HH HH xy xy −−= ⎧ ⎨ +−= ⎩ ⇔ 490 0 ⇔ 18 7 9 7 H H x y ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ hay H 18 7 9 , 7 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ G là trọng tâm ABC ta có: Δ 204 2 33 132 4 33 ABC G ABC G xxx x yyy y ++ ++ ⎧ == ⎪ ⎪ ⎨ ++ −+ + ⎪ == ⎪ ⎩ 3 = = hay G 4 2 3 , ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ + I là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC ⇔ IA = IB = IC ⇔ 22 22 IA IB IA IC ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ ⇔ ()( )()( ()( )()( 222 222 2103 2142 III III xyx xyx ⎧ −+−−=−+− ⎪ ⎨ −+−−=−+− ⎪ ⎩ ) ) 2 2 I I y y 0 0 ⇔ 484 4615 II II xy xy −+ −= ⎧ ⎨ +−= ⎩ ⇔ 24 12 14 7 19 14 I I x y ⎧ == ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ hay I 12 19 714 , ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ e) Ta có : = HG iiiif 41 721 , ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ và HI i iif = 61 714 , ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ⇒ 4 7 6 7 − − = 1 21 1 14 = 2 3 ⇒ cùng phương với HG iiiif HI i iif ⇒ H, I, G thẳng hàng. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính cos ( A O iiif , A B iiif ) vaứ dieọn tớch tam giaực ABC. Giaỷi Ta coự: A O iiif = (2, 2 3 ), A B i iif = (1, 3 ) = ( a 1 ;a 2 ) cos( A O iiif , A B iiif ) = 26 41213. + + = 1 2 iiif A C = (3, 3 ) = = ( b 1 ; b 2 ) 12 21 1 2 = ABC Sabab = 1 1333 2 ()( ) () = 2 3 * * * CHUYÊN ĐỀ 2 ĐƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG Các bài toán về phần đường và phương trình đường thường yêu cầu xác đònh quỹ tích các điểm trong mặt phẳng tọa độ theo những điều kiện cho trước, quỹ tích này là một đường mà ta phải tìm phương trình của nó dựa vào đònh nghóa: F(x, y) = 0 là phương trình của đường (L) nếu ta có : M(, ) ∈ (L) F( , ) = 0 M x M y ⇔ M x M y Nếu M ∈ (L) và M có tọa độ phụ thuộc tham số t: ( ) () xft ygt =⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ (t ∈ R) thì đó là phương trình tham số của đường (L). Từ phương trình tham số, ta khử t thì có thể trở về dạng F(x, y) = 0 Lưu ý việc giới hạn của quỹ tích tuỳ theo các điều kiện đã cho trong đầu bài. Ví du1: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2). Tìm quỹ tích điểm M để (MA + iiiif MB i iiif ) A B i iif = 1 Giải Gọi (L) là quỹ tích phải tìm. M(, ) ∈ (L) M x M y ⇔ (MA i iiif + MB i iiif ) A B i iif = 1 [ (2 – ) + (–3 – ) ] (–3 – 2) + (1 – + 2 – ) (2 – 1) = 1 ⇔ M x M x M y M y 5 + 10 + 3 – 2 = 1 ⇔ M x M y 10 – 2 + 7 = 0 ⇔ M x M y M( , ) có tọa độ thỏa phương trình ⇔ M x M y F(x, y) = 10x – 2y + 7 = 0 Vậy quỹ tích phải tìm là đường thẳng (L) có phương trình 10x – 2y + 7 = 0. 1 Ví dụ 2: Lập phương trình quỹ tích tâm của những đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm A(1, 2). Giải Gọi (L) là quỹ tích những tâm đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm A(1, 2). I( , ) ∈ (L) I là tâm đường tròn qua A(1, 2) và tiếp xúc với Ox tại M I x I y ⇔ ⇔ IM Ox tại M IM = IA ⊥ ⎧ ⎨ ⎩ ⇔ ()()()() 22 2 00 MI M MI MI AI AI x x và y xx yy xx yy −= = ⎧ ⎪ ⎨ −+− = −+− ⎪ ⎩ 2 – 2 – 4 + 5 = 0 ⇔ 2 I x I x I y I( , ) có tọa độ thỏa phương trình ⇔ I x I y F(x, y) = x 2 – 2x – 4y + 5 = 0 Đó là phương trình của quỹ tích phải tìm (Parabol). * * * 2 CHUYÊN ĐỀ 3 ĐƯỜNG THẲNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng ta cần phải biết: () Δ 1) ( qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có vectơ chỉ phương a ) Δ f = (a 1 , a 2 ) sẽ có: . Phương trình tham số : (t 0 02 xx ta yy ta =+ ⎧ ⎨ =+ ⎩ 1 ∈ R) . Phương trình chính tắc : 0 1 xx a − = 0 2 yy a − (a 1 , a 2 ≠ 0) Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 > 0) 2) ( qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có 1 pháp véctơ là (a,b) có phương trình : a(x – x 0 ) + b(y – y 0 ) = 0 ) Δ 3) i) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng Ax + By + C = 0 với A 2 + B 2 > 0 (1) ii) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng x = x 0 hoặc y = kx + m (2). Ta dễ dàng thấy (1) và (2) là tương đương. + (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - 1 , C = m. + Nếu B = 0 ⇒ =− C x A , có dạng x = x 0 với x 0 = − C A . Nếu B ≠ 0 ⇒ =− − A C yx BB , có dạng y = kx + m. 3) ( qua hai điểm A(x A , y A ), B(x B , y B ) có phương trình : ) Δ A BA xx xx − − = A BA yy yy − − nếu 0 − −≠ BABA (x x )(y y ) 1 Nếu ( qua A(a, 0) ∈ Ox và B(0, b) ) Δ ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói ( ) Δ có đoạn chắn a, b với phương trình: x a + y b = 1 * Ghi chú: Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình của đường thẳng, thông thường ta nên viết phương trình ở dạng tổng quát và lưu ý : () Δ : Ax + By + C = 0 thì ( ) Δ có : . một pháp vectơ = (A, B) n f f . một vectơ chỉ phương a = (–B, A) . hệ số góc k = tg( , ) = Ox iiif Δ A B − . () ( ′ Δ // () Δ ⇒ ) ′ Δ : Ax + By + C 0 = 0 . () ( ′ Δ ⊥ () Δ ⇒ ) ′ Δ : Bx – Ay + C 0 = 0 Ta tìm được C 0 nếu biết thêm một điểm nằm trên ( ) ′ Δ . Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng ( ) Δ theo hệ số góc k, bài toán có thể bò thiếu nghiệm do trường hợp ( ) Δ ⊥ x ′ x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét thêm trường hợp có phương trình x = C để xem đường thẳng () Δ ( ) Δ này có thỏa mãn điều kiện của đầu bài không. Ghi chú - Nếu n = (A, B) là 1 pháp véc tơ của đường thẳng f ( ) Δ thì k. n = (kA, kB) cũng là pháp véc tơ của f ( ) Δ với mọi số thực k ≠ 0. - Nếu là 1 véc tơ chỉ phương của đường thẳng 12 =a(a,a) if ( ) Δ thì k. cũng là véc tơ chỉ phương của 12 =a(ka,ka) if ( ) Δ với mọi số thực k khác 0. II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để xét vò trí tương đối của hai đường thẳng ta cần nhớ Cho (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Đặt : 2 D = 11 22 A B A B ; D x = 11 22 BC BC ; D y = 1 22 CA CA 1 thì : D ≠ 0 ⇔ (d 1 ) cắt (d 2 ) tại I 1 x I y D x D D y D ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ D = 0 và D x 0 hoặc D y ≠ ≠ 0 ⇔ (d 1 ) / / (d 2 ) D = D x = D y = 0 ⇔ (d 1 ) ≡ (d 2 ) hoặc với A 2 , B 2 , C 2 0 ta có : ≠ 1 2 A A ≠ 1 2 B B ⇔ (d 1 ) cắt (d 2 ) 1 2 A A = 1 2 B B ≠ 1 2 C C ⇔ (d 1 ) / / (d 2 ) 1 2 A A = 1 2 B B = 1 2 C C ⇔ (d 1 ) ≡ (d 2 ) Ghi chú 11 22 BC BC = 11 22 − CB CB ; 11 22 CA CA = 11 22 − A C A C III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để tìm góc giữa hai đường thẳng, ta gọi α là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 thì cos α = 12 12 22 2 1122 2 A ABB A B.A B + ++ IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Để tìm khoảng cách từ điểm M(x M , y M ) đến đường thẳng () Δ : Ax + By + C = 0 ta áp dụng công thức : 3 [...]... (3, 0), D ( 1, 2) Ví dụ 5 ( ĐH KHỐI D -2 004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A ( 1; 0); B (4; 0); C (0; m) với m 0 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m Xác đònh m để tam giác GAB vuông tại G iiif f m iii m m ) ; GB (3; ) ; GA ( 2; 3 3 3 iiif iii f Tam giác GAB vuông tại G GA.GB 0 BÀI GIẢI: G 1; 6 m2 9 0 m= 3 6 Ví dụ6 ( ĐH KHỐI B -2 004) Trong mặt phẳng với hệ... A(1; 1), B(4; -3 ) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x 2 y 1 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 BÀI GIẢI: A (1; 1); B (4; 3) 4x + 3y – 7 = 0 C phương trình AB: đt : x – 2y – 1 = 0 x 1 3 C (2t + 1; t) 6 y 1 4 8t 4 3t 7 Ta có: d (C, AB) = 6 11t 3 5 t 3 11t 3 30 30 11t 3 6 30 t 27 11 43 27 ; 11 11 Vậy C (7; 3) hay C Ví dụ7 ( Đề DỰ TRỮ KHỐI D -2 003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc... là giao điểm (C) và Ox nên tọa độ của B, D 2 2 là nghiệm của hệ : (x 1) y 1 y x 0 x y 0 2 0 Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0) Vậy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1 ), D(2; 0) hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1 ), D(0; 0) Ví dụ (ĐH KHỐI B-2005)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C)... 1 hay 40 20 M0(6, 1) 4 : Ví dụ2 : (ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C (2; 0) và elíp (E) : x2 4 y2 1 1 Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều Giải 4 a2 ) 2 Giả sử A (a, (E) 4 a2 ) 2 B (a, (E) Và điều kiện: –2 < a < 2 Do A,B đối xứng qua Ox nên ta có: CAB đều CA2 = AB2 4 a2 = 4 – a2 7a2 –... (H) : – =1 1 4 k2 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2 k2 - 4 = 16 – 8k + k2 k= 20 8 5 Vậy 2 : 5 5 x–y–4– =0 2 2 5x – 2y – 13 = 0 Tóm lại có hai tiếp tuyến qua điểm N(1, 4) là x = 1, và *** 3 5x – 2y – 13 = 0 CHUYÊN ĐỀ 7 PARABOL Các bài toán về parabol thường qui về việc xác đònh các yếu tố của parabol (tiêu điểm, đường chuẩn), lập phương trình của parabol và các vấn đề về tiếp tuyến của parabol Do đó ta cần nắm... với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng Ví dụ (ĐH KHỐI A-2005) d1 : x – y = 0 và d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành Giải A d1 A (m; m) C d2 C (n; 1 – 2n) Vì B, D Ox và ABCD là hình vuông nên : A và C đối xứng nhau qua Ox m m n 2n 1 m 1 n 1 Suy ra A(1; 1), C(1; -1 ) Gọi (C) là đường tròn đường kính AC Phương... 2 m n 3 n n m2 4 m2 n2 MN n2 3 3m2 = 4n2 và m2 + n2 = 49 m2 = 28 và n2 = 21 Do đó : MN nhỏ nhất m = 2 7 và n = 21 (vì m, n>0) M ( 2 7 , 0); N (0, 21 ) Khi đó min MN = 7 Ví dụ4 : (ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho elip (E): x2 y2 1 và đường thẳng dm : mx – y – 1 = 0 9 4 5 a) Chứng minh rằng với mọi giá trò của m, đường thẳng dm luôn cắt elip (E) tại hai điểm phân biệt... xúc với (E) 2 2 1 2 k1 k2 : x + 2y + 5 = 0; kx – y – 3 – k = 0 9k + 4 = ( 3 – k) = 9 + 6k + k2 8k2 – 6k – 5 = 0 1 có dạng: 2 5 4 : 5x – 4y – 17 = 0 *** 6 CHUYÊN ĐỀ 6 HYPEBOL Để giải các bài toán có liên quan đến đường hypebol ta cần nắm vững các vấn đề cơ bản sau: Hypebol (H) có tâm O, hai trục đối xứng là x x, y y Hypebol có tiêu điểm trên x x Hypebol có tiêu điểm t rên y y x2 y2 – 2 =1 a2 b Phương... = 7 hay y = 1 Trường hợp 1: I(2; 7) R = d(I, Ox) = 7 Suy ra pt (C) : (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49 Trường hợp 2: I (2; 1) R = d(I, Ox) = 1 pt (C) : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1 Ví dụ (ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A -2 002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn: (C1) : x2 + y2 – 10x = 0; (C2) : x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0 4 x–2=0 1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2)... 2 yC 2 2 yA 2 hay K(2, 2) Phương trình cạnh BK : x 2 y 2 = 2 2 1 2 AH pt AH : 4x + y + C0 = 0 BK A(1, - 1) AH x – 4y + 6 = 0 4(1) + (–1) + C0 = 0 C0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0 b) Diện tích tam giác ABK là S = AH = d A (BK ) = S= 11 1 2 17 1 AH.BK với 2 1 4 6 17 42 12 = Ví dụ 3: 11 ( đvdt ) 2 ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác 4 1 ABC cân tại đỉnh A có trọng . hàng ⇔ A B i iif cùng phương A C i iif ⇔ BABA CACA x - x y - y x - x y - y = 0 . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: - Góc hình học tạo bởi hai vectơ a f , b f được suy từ công. diện tích tam giác ABC là: A x A y B x B y C x C y S = 1 2 Δ với Δ = BABA CACA x - x y - y x - x y - y Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm. D(0; 0) =∨= ⎧ ⎨ = ⎩ x0x2 y0 Vậy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1 ), D(2; 0) hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1 ), D(0; 0). Ví du ï (ĐH KHỐI B-2005)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;