LỊCH SỬ ĐẠI SỐ

Tác động của việc biểu diễn các số hệ sáu m ơi ví dụ: giờ đồng hồ  dùng vị trí ký hiệu để biểu diễn số lớn... Đặc điểm Đại số thời cổ đại Các bài toán có ngữ cảnh đời th ờng  Các con

§¹i sè lµ g×?

 Phæ th«ng: gi¶i ph ¬ng tr×nh

 §¹i häc: nghiªn cøu c¸c cÊu tróc víi c¸c phÐp to¸n hai ng«i (nhãm, vµnh, tr êng, kh«ng gian tuyÕn tÝnh)

Ph¶n ¸nh qu¸ tr×nh h×nh thµnh m«n §¹i sè

trong lÞch sö (gÇn 4000 n¨m)

 Néi dung: c¸c ph ¬ng ph¸p gi¶i ph ¬ng tr×nh

 Al-jabr => Algebra => §¹i sè

 Al Khwarizmi => Algorithm => ThuËt to¸n

DÊu tÝch ®Çu tiªn

Papyrus Rhind

Tác động của việc biểu diễn các số

 hệ sáu m ơi (ví dụ: giờ đồng hồ)

 dùng vị trí ký hiệu để biểu diễn số lớn

Đặc điểm Đại số thời cổ đại

 Các bài toán có ngữ cảnh đời th ờng

 Các con số đ ợc chọn lọc để có nghiệm nguyên

 Không có số không và số âm

 Nặng về số học

 Không dùng ký hiệu

 Không có suy luận và chứng minh

(là toán nh ng ch a phải là toán học)

Hy l¹p (600 – 100 n¨m tr íc c/n)

 Trung t©m th ¬ng m¹i (hµng h¶i)

 Giao l u cña nhiÒu v¨n ho¸ vµ tÝn ng ìng kh¸c nhau

 Nhu cÇu t×m hiÓu thÕ giíi tù nhiªn

 Sù h×nh thµnh nghÒ “th«ng th¸i”: Appolonius, Archimedes, Aristoteles, Demokrit, Euklid,

Hippokrates, Plato, Pythagoras, Zeno

Sự ra đời của toán học

 Câu hỏi trọng tâm “tại sao”

(tr ớc kia “thế nào)

 Quan tâm đến các vấn đề toán học thuần tuý

 Toán học có suy luận và chứng minh

 Nặng về hình học (3 vấn đề nổi tiếng nhất: chia ba một góc, nhân đôi hình lập ph ơng, cầu

ph ơng đ ờng tròn)

Bộ sách “Cơ sở” của Euklid

 13 tập: tổng kết kiến thức toán học Hy Lạp

 Xây dựng hình học trên cơ sở một hệ tiên đề

 Cuốn sách đ ợc in nhiều thứ hai trên thế giới

 Sách giáo khoa cho nhiều thế kỷ sau (vua Càn Long đã học cuốn sách này) và ảnh h ởng đến tận ngày nay (các chứng minh hình học)

 Giải ph ơng trình thông qua hình học

(các số = đoạn thẳng: chỉ chấp nhận số d ơng)

Euklid

Cuèn s¸ch §¹i sè ®Çu tiªn

Điểm sáng Tiểu á (700 – 1200)

 Vua Al Mamun (~ 800) thành lập “Ngôi nhà của các nhà thông thái” tập trung các nhà khoa học các dân tộc (có th viện và đài thiên văn)

 Phát huy và giữ gìn các thành tựu của toán học

Hy Lạp (ta biết về toán học Hy Lạp thông qua các bản dịch ả rập của thời kỳ đó)

 Chịu ảnh h ởng của toán học ấn Độ và Trung Quốc (hệ thập phân và cách viết theo vị trí)

Cuèn s¸ch cña Al Khwarizmi

Hy L¹p)

ph©n lo¹i ph ¬ng tr×nh phøc t¹p

viÖc truyÒn b¸ §¹i sè sang ch©u ¢u (mét sè vÝ

Al Khwarizmi

Giải ph ơng trình bậc ba

 Ng ời có công đầu tiên: delle Ferro (1465-1526), giáo s tr ờng Đại học Bologna (đại học đầu tiên trên thế giới)

giải ph ơng trình dạng ax3 + bx = c (hệ số d ơng)

 Tr ờng hợp tổng quát: Tartaglia (1500-1557)

 Công bố: Cardano (1501-1576) trong cuốn sách

“Ars Magna”

Tartaglia

Cardano

Cuộc cách mạng “Ars Magna”

 Chứa đựng những ý t ởng mới sau hơn hai nghìn năm (từ thời Babylon)

 Lần đầu tiên xuất hiện số âm và số ảo (Cardano coi những số này không tồn tại trên thực tế, nh

ng có thể tính toán đ ợc)

 Hạn chế: dùng ngôn ngữ hình học, không dùng

ẩn số

Giải ph ơng trình bậc bốn

 Ferrari (1522-1565, học trò của Cardano):

lời giải dựa trên việc giải ph ơng trình bậc ba

 Công bố trong “Ars Magna”

 B ớc tiến lớn: các nhà toán học tr ớc đó không công nhận có đại l ợng bậc bốn (v ợt khuôn khổ không gian ba chiều)

Ph ơng pháp bất định

 Cuốn “Số học” của Diophantus dùng ký hiệu ẩn

số đầu tiên nh ng bị quên lãng (do ảnh h ởng của

ph ơng pháp hình học), đ ợc tìm thấy lại 1463

 Bombelli (1530-1572): công bố sách “Đại số” viết lại Ars Magna, dùng ẩn số thay lời (tiện lợi hơn cho suy luận và tổng quát hóa)

 Viete (1540-1603): dùng ký hiệu (bất định) cho

Viete

Gauss

Descartes

Giải ph ơng trình bậc cao

 Vấn đề giải ph ơng trình bằng căn thức

 Abel (1802-1829): không có công thức tổng quát giải ph ơng trình bậc > 4 (dùng nhóm đối xứng)

 Galois (1811-1832): tiêu chuẩn để một ph ơng trình giải đ ợc bằng căn thức (đ a ra khái niệm nhóm)

Abel

Galois

Sự ra đời của các cấu trúc Đại số

 Mở đầu: nhóm và phép toán hai ngôI (Galois)

 Hamilton (1805-1865): tr ờng quaternion (không giao hoán)

 Grassmann (1809-1877): không gian tuyến tính (chiều bất kỳ)

 Dedekind (1831-1916): tr ờng, vành

Đại số hiện đại

 Đặc điểm: “thoát khỏi” các vấn đề cụ thể của

Noether

Artin

Đại số ngày nay

“Đại số hiện đại” = Đại số cơ sở

Câu hỏi “Đại số là gì?” sẽ do t ơng lai trả lời