Dáp án đề thi chuyên toán năm 2009-2010

S GIÁO DC VÀ ÀO TO TNH BÌNH PHC TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG HNG DN GII  THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG MÔN TOÁN CHUYÊN NM HC 2009-2010 Bài 1 (2,5 im) a) Gii phng trình: 2 2 2 4 8 4 + − = − x x x Gii +) K:         ≥  − ≥ ⇔  ≤ −  +) t     = − , k:   ≥ Phng trình tr thành:           + + = − +                                = + +    ⇔ = − ⇔ = − ⇔ + − = ⇔      = −  +) Vi    = ta có:             − = ⇔ = ⇔ = ± +) KL: Tp nghim ca phng trình là:         = −     . b) Cho x, y là hai s nguyên dng tha mãn h phng trình 2 2 71 880 + + =   + =  xy x y x y y x . Tính      = + . Gii +) t                 = +  − ≥  =  . H phng trình tr thành 71 . 880 + =   =  S P S P . Gii h phng trình hai n S, P này ta có:                  =    =    =    =    +) Vi     =   =  ta có x, y là các nghim ca phng trình:           =  − + = ⇔  =  . Vy h phng trình ã cho có hai nghim là     =   =  và     =   =  (u tho mãn iu kin x, y là hai s nguyên dng). C hai nghim u cho B có cùng mt giá tr là B = 146. +) Vi     =   =  ta có x, y là các nghim ca phng trình:       − + = . D thy phng trình không có nghim nguyên dng nên không tho mãn bài toán. +) KL:      = + = . Bài 2 (3,0 im) a) Mt máy bay trc thng có vn tc 280 km/h. Máy bay bay t A n B cách nhau 960 km. Khi bay t A ti B do b gió cn nên thi gian bay phi nhiu hn mt gi so vi thi gian bay t B n A (do c gió  y). Tìm vn tc c!a gió. Gii +) Gi x là vn tc ca gió, iu kin    < < . +) Ta có vn tc ca máy bay khi bay t A n B là: 280 – x  thi gian ca máy bay bay t A n B là    − . +) Ta có vn tc ca máy bay khi bay t B n A là: 280 + x  thi gian ca máy bay bay t B n A là    + . +) Theo gi thit ta có phng trình:                        =  = + ⇔ + − = ⇔  − + = −  +) KL: Vn tc ca gió là 40 km/h. b) Cho parabol (P):     = − và ng th"ng (d):       = − − . Ch#ng minh r$ng (d) luôn c%t (P) t&i hai i'm phân bit A, B khi m thay (i. G)i      l*n lt là hoành  c!a A và B. Xác nh m '             + &t giá tr nh nh+t và tính giá tr nh nh+t này. Gii +) Phng trình hoành  giao im ca (d) và (P):                 − = − − ⇔ + − − = , (*). +) Ta thy phng trình bc hai (*) có                ∆ = + + = + + > ∀ ∈ . Do ó (*) luôn có hai nghim phân bit  (d) luôn ct (P) ti hai im phân bit A và B vi mi m. +) Áp dng nh lí Viét ta có:               + = −   = − −  . Do ó                                          + = + = − − − = + = + − ≥ − ∀ ∈ Du “=” xy ra   ⇔ = − . +) KL: Giá tr nh nht ca biu thc             + là –16, t c khi   = − . Bài 3 (1,5 im) a) Tìm các s nguyên không âm x, y tha mãn "ng th#c       = + + . Gii +) T gi thit ta có           = − +  < , (1). +) Ta s i chng minh      + ≤ + . Tht vy ta có:                    + ≤ + ⇔ + ≤ + + ⇔ + ≥ , luôn úng vì   ≥ .               + + ≤ + + = + , (2). ng thc xy ra   ⇔ = . +) T (1) và (2) ta có:             < = + + ≤ + . Vì        + là hai s chính phng nên ta có             = + + = +  = và x = 1. +) KL: Vy     =   =  là cp s không âm tho mãn bài toán. b) Cho    > ≥ . Ch#ng minh r$ng           + ≥ − + . D+u “=” xy ra khi nào? Gii Cách 1 (Áp dng k thut chn im ri) +) Áp dng BT Cô Si cho 4 s dng                    + + − − + ta có: ( ) ( )                                   + + + − + + + ≥ − − + − +                      ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ − + − + , (pcm). +) ng thc xy ra                  =  + − = = ⇔  − + =  Cách 2 (Chuyn v BT mt bin). +) Ta có BT ã cho             ⇔ − + ≥ − − + +) Áp dng BT Cô Si cho 2 s dng            − − + ta có: ( )                                    − + ≥ − ⇔ − + ≥ − + − + − + + +)  chng minh BT ã cho ta s i chng minh      ≥ − + , (*) Ta có (*) ( ) ( )                 ⇔ ≥ − + ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ , (luôn úng)  BT ã cho là úng. +) ng thc xy ra                   − = =   − +⇔ ⇔   =   − =  Cách 3 (Bin !i tng ng r"i s# dng BT Cô Si dng tích). +) BT ã cho ( ) ( )                                 ⇔ ≥ − ⇔ − + − ≤ ⇔ − + − ≤ − + , (*). +) Theo BT Cô Si ta có:                        + + +   + + + ≥ ⇔ ≤ ∀ ≥     , (**). +) Áp dng (**) ta có: ( ) ( )                               − + + + + + − − + − ≤ =     Vy (*) úng  BT ã cho c chng minh. +) ng thc xy ra              =  ⇔ − = + = − ⇔  =  Cách 4 (S# dng BT Cô Si). +) Áp dng BT Cô Si cho 4 s dng             + + − − ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                         + + + + − + − ≥ + + − − ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )                               ⇔ ≥ + − − ⇔ ≥ + − − ⇔ ≥ + − − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )                         ⇔ ≥ + − − ⇔ ≥ − ⇔ + ≥ + − + − +) ng thc xy ra              =  ⇔ − = + = − ⇔  =  Bài 4 (2,0 im) Cho n,a ng tròn ng kính AB = 2a. Trên o&n AB l+y i'm M. Trong n,a m-t ph"ng b AB ch#a n,a ng tròn ta k. hai tia Mx, My sao cho        = = . Tia Mx c%t n,a ng tròn t&i i'm E, tia My c%t n,a ng tròn t&i i'm F. K. EE’ và FF’ vuông góc vi AB l*n lt t&i E’ và F’. a) Cho     = . Tính din tích hình thang vuông EE’F’F theo a. b) Khi i'm M di ng trên AB. Ch#ng minh r$ng ng th"ng EF luôn tip xúc vi mt ng tròn c nh. Gii a) Tính din tích hình thang vuông EE’F’F theo a. Gi C, D l$n lt là giao im ca EE’ và FF’ vi n#a di ca ng tròn, gi H là hình chiu vuông góc ca O trên CF. D thy MCE và MDF là các tam giác u. +) Xét     ∆ ta có:                = = = +) Xét     ∆ ta có:               = − = − =  CF = 2HF =    . +) Mt khác ta có:               = = ( )                    + = + = = +) Mt khác ta có:                 = = = ( )                         = + = + = = Do ó                                  + = = = (vdt). b) Ch#ng minh r$ng ng th"ng EF luôn tip xúc vi mt ng tròn c nh. +) Ta có    ( ) ( )                   = − + = − + = +) Ta có    ( )            = + mà         =            = = . +) K%     ⊥ ta có              = = = . +) Vì O c nh và     = không !i nên I luôn chy trên ng tròn tâm O bán kính    = . Mà       ⊥  tip xúc vi ng tròn này. +) KL: Khi M thay !i thì EF luôn tip xúc vi ng tròn tâm O bán kính    = . H C D F' M I O E' F E B A Bài 5 (1 im) Cho ng tròn (C). V/ hai dây cung AB, EF c%t nhau t&i i'm I, vi I n$m trong ng tròn. G)i M là trung i'm c!a BF, MI kéo dài c%t AE t&i i'm N. Ch#ng minh r$ng        = . (Thí sinh c s, d0ng công th#c             = ). Gii +) Ta có hai tam giác IMB và IMF có din tích b&ng nhau (chung ng cao và cnh áy MB = MF). +) Ta có hai tam giác IAN và IEN có chung ng cao        = , (*). +) Mt khác ta có                =                                  = = , (**). t (*) và (**) ta có           = , (1) +) Ta có          ∆ ∆ −  =  , (2). Thay (2) vào (1) ta có        = , (pcm). Ht GV: Ph&m Vn Quý, Trng THPT chuyên Quang Trung O I N M F E B A . DC VÀ ÀO TO TNH BÌNH PHC TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG HNG DN GII  THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG MÔN TOÁN CHUYÊN NM HC 2009-2010 Bài 1 (2,5 im) a) Gii phng. t B n A là: 280 + x  thi gian ca máy bay bay t B n A là    + . +) Theo gi thi t ta có phng trình:                        =  =. a) Tìm các s nguyên không âm x, y tha mãn "ng th#c       = + + . Gii +) T gi thi t ta có           = − +  < , (1). +) Ta s i chng minh      + ≤ + .