Bộ đề thi HSG môn Toán

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2 TỔ TOÁN  NGUYỄN VĂN XÁ   TÀI LIỆU THAM KHẢO MÔN TOÁN  TẬP HAI MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI                2009 20092009 2009  Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 1 MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI  1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài 1 (6 ñiểm) 1/ So sánh hai số 2009 2010 và 2010 2009 . 2/ Tìm giới hạn 2 0 3 3 1 1 lim 3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1) x x x x x x →   −   + +   + + + +   . Bài 2 (4 ñiểm) 1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2009 + y 2009 + z 2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của F = x 2 + y 2 + z 2 . 2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 2 1 2009 2010 2009+n 1 1 1 1 C C C 2007 n+ + + + < . Bài 3 (4 ñiểm) Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180 o và các cạnh bên SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 . Bài 4 (4 ñiểm) 1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax 3 + bx 2 + cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng 2 2 2 1 2 2+ 3 + - m + n + p m n p ≤ . 2/ Giải hệ phương trình 3 3 2 3 3 2 3 3 2 ( ) 14 ( ) 21 ( ) 7 x y x y z xyz y z y z x xyz z x z x y xyz  + + + = +  + + + = −   + + + = +  . Bài 5 (2 ñiểm) 1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác ñó. 2/ Cho y = a 0 x + a 1 x 3 + a 2 x 5 + … + a n x 2n+1 + … thoả mãn (1 – x 2 )y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). Tìm các hệ số a 0 , a 1 , a 2 , …, a n .  2. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007 BÀI 1: (3 ñiểm) Tìm tất cả các giá trị a sao cho bất phương trình sau có một số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 cos 4 4 . cos 4 2 2 0 tan x a tan x a π π − − − + + ≤ . BÀI 2: (3 ñiểm) Với những giá trị nào của a thì hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 1 2 sin sin 3 2 3 x x f x x a a a π = − + − + + có không quá hai ñiểm cực trị trên khoảng ( ; 5 π π ) ? BÀI 3: (4ñiểm) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 2 Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị x nguyên. ( ) ( ) ( ) 144 2 +≤++− aaxaaxx . ðÁP ÁN BÀI 1 (3 ñiểm) ðặt t = ( ) 2 2 cos 4 tan x π − , với 1 t tan ≤ . Dễ thấy rằng với [ ] 0 1, 1 t tan tan ∈ − phương trình ( ) 2 2 0 cos 4 tan x t π − = có s ố nghi ệ m h ữ u h ạ n. Do ñ ó ta tìm t ấ t c ả a sao cho h ệ 2 4 2 2 0 1 1 t at a tan t tan  − + + ≤  − ≤ ≤  có s ố nghi ệ m h ữ u h ạ n. ð i ề u này ch ỉ có th ể khi h ệ có ñ úng m ộ t nghi ệ m. N ế u bi ể u th ứ c ∆ c ủ a tam th ứ c b ậ c hai t ươ ng ứ ng âm thì rõ ràng h ệ vô nghi ệ m. N ế u ∆ = 0, t ứ c là a = 1 hay a = 2 1 − , thì nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình th ứ nh ấ t c ủ a h ệ s ẽ ch ỉ là m ộ t ñ i ể m t = 2a. T ừ hai giá tr ị tìm ñượ c c ủ a a ch ỉ có a = 2 1 − là thích h ợ p, v ớ i a = 2 1 − ta ñượ c t = 1 [ ] 1; 1 tan tan ∈ − t ừ ñ ây suy ra ( ) 2 2 cos 4 tan x π − = 1 hay π π π nx +−=− 4 4cos 22 , v ớ i n Z ∈ . Ph ươ ng trình này có nghi ệ m ch ỉ khi n = 0. Lúc ñ ó 4 4cos 22 π π −=− x hay π π ππ 2 4 arccos4 22 kx +       −±=− , v ớ i k Ζ ∈ . D ễ th ấ y r ằ ng ph ươ ng trình này có nghi ệ m: 2 2 4 arccos4       ±−±= π ππ x . N ế u ∆ > 0 thì nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình s ẽ là ñ o ạ n [ ] 21 ,tt , ñ o ạ n này ph ả i có ch ỉ m ộ t ñ i ể m chung v ớ i ñ o ạ n [ ] 1, 1 tan tan − . Suy ra t 1 = tan 1 hay t 2 = - tan 1 . Lúc ñ ó giá tr ị c ầ n tìm c ủ a tham s ố ñượ c tìm b ằ ng cách gi ả i t ậ p h ợ p hai h ệ sau : ( ) 0 1 0 1 f tan tan t  =  <  hay ( ) 0 1 0 1 f tan tan t  − =  − >  v ớ i f(t) = t 2 – 4at +2 + 2a . Suy ra 2 1 2 4 1 2 1 1 2 tan a tan a tan  + =   −   >   hay ( ) 2 1 2 4 1 2 1 1 2 tan a tan a tan  − +  =  +   < −   . D ễ th ấ y r ằ ng h ệ th ứ nh ấ t có nghi ệ m , còn h ệ th ứ hai vô nghi ệ m. Giá tr ị v ừ a tìm c ủ a tham s ố t ươ ng ứ ng t = tan 1. Suy ra ( ) 2 2 cos 4 tan x π − = tan 1, ππ nx +=− 14cos 22 , n Ζ ∈ . Ph ươ ng trình này ch ỉ có ba nghi ệ m x 1 = 0 , x 2 = -2 π , x 3 = 2 π . K ế t lu ậ n : N ế u a = 2 1 thì 2 2 4 arccos4       ±−±= π ππ x . Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 3 N ế u 2 1 2 4 1 2 tan a tan + = − , thì x 1 = 0 , x 2 = -2 π , x 3 = 2 π . V ớ i các giá tr ị còn l ạ i c ủ a a ph ươ ng trình vô nghi ệ m ho ặ c có vô s ố nghi ệ m . BÀI 2 (3 ñ i ể m) Ta có ( ) ( ) 3 2 cos 3 cos211 ' xx aaxf +−+−= . Nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ( ) 0 ' =xf s ẽ là các ñ i ể m t ớ i h ạ n c ủ a hàm f . Ta vi ế t : ( ) 0 3 2 cos 3 cos211 =+−+− xx aa D ễ th ấ y r ằ ng ph ươ ng trình này t ươ ng ñươ ng v ớ i t ậ p h ợ p:      = −= a x x 3 cos 2 1 3 cos . Ph ươ ng trình th ứ nh ấ t c ủ a t ậ p h ợ p có hai nghi ệ m x 1 = π 2 và x 2 = π 4 trên kho ả ng ( π , π 5 ). Các ñ i ể m này là ñ i ể m t ớ i h ạ n c ủ a hàm f . Khi vi ế t ñạ o hàm d ướ i d ạ ng ( )       −       += a xx xf 3 cos 2 1 3 cos2 ' d ễ th ấ y r ằ ng các ñ i ể m t ớ i h ạ n tr ở thành ñ i ể m c ự c tr ị ch ỉ khi a 2 1 −≠ (n ế u a = 2 1 − thì ñạ o hàm không ñổ i d ấ u , và do ñ ó hàm f không có ñ i ể m c ự c tr ị ). Nh ư v ậ y n ế u 2 1 −≠a thì hàm f có ít nh ấ t hai ñ i ể m c ự c tr ị trên kho ả ng ñượ c xét . Do ñ ó , c ầ n tìm các giá tr ị a sao cho ph ươ ng trình th ứ hai không có thêm ñ i ể m c ự c tr ị . Trên kho ả ng ( π , π 5 ) hàm y = cos 3 x nh ậ n t ấ t c ả các giá tr ị thu ộ c ñ o ạ n 1 1; 2   −     9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 F E D N ế u       −∈ 2 1 ,1a và 2 1 −≠a thì hàm f s ẽ có 4 c ự c tr ị . Có ngh ĩ a là v ớ i nh ữ ng giá tr ị a khác hàm f s ẽ có không quá hai c ự c tr ị . K ế t lu ậ n : 2 1 ≥a , 2 1 −=a , 1 − ≤ a . Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 4 BÀI 3 (4 ñ i ể m) B ấ t ph ươ ng trình ñ ã cho t ươ ng ñươ ng v ớ i t ậ p h ợ p hai h ệ :    +≥ ≤ 4 2 ax ax hay    +≤ ≥ 4 2 ax ax . Nh ờ t ậ p h ợ p này ta bi ể u di ễ n nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình ban ñầ u. K ẻ các ñườ ng th ẳ ng x = k , v ớ i Ζ ∈ k . 14 12 10 8 6 4 2 -5 5 10 15 - 6 12 x=a+4 x=a 2 A Lúc ñ ó giá tr ị a 0 mà v ớ i nó ñườ ng th ẳ ng a = a 0 c ắ t các ñườ ng th ẳ ng x = k không quá 4 ñ i ể m trong t ậ p h ợ p ñ ã ñượ c ñ ánh d ấ u, s ẽ là giá tr ị c ầ n tìm. C ă n c ứ vào hình v ẽ ta có các giá tr ị a c ầ n tìm là : 06 <− , 1 0 < < a , 121 << a .  3. KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007 Câu 1: (4 ñ i ể m) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình: 3 2 cos cos 3 2 cos cos 3 2 cos cos x y z y z x z x y + = +   + = +   + = +  . Câu 2: (4 ñ i ể m) Cho dãy s ố { } n x tho ả mãn: 0 3 1 1 3 3 2 n n n x x x x + + =    − = +   . Tìm lim n n x →+∞ . Câu 3: (4 ñ i ể m) Tìm t ấ t c ả các hàm s ố f(x) liên t ụ c trên * + R và tho ả mãn: Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 5 2 2 2 (1) 5 4 ( ) ( ) 4 , 0 . f f x x f x x x x =    − = − ∀ >   Câu 4: (4 ñ i ể m) Trên m ặ t ph ẳ ng cho hình vuông ABCD c ạ nh a và ñ i ể m M thay ñổ i. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a m ỗ i t ổ ng sau: 1) T 2 = 2.MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 . 2) T 1 = 2.MA + MB + MC + MD. Câu 5: (4 ñ i ể m) Cho t ậ p h ợ p A = { 0,1,2,…,2006 } . M ộ t t ậ p con T c ủ a A ñượ c g ọ i là t ậ p con “ngoan ngoãn” n ế u v ớ i b ấ t kì x, y ∈ T (có th ể x = y) thì | x – y | ∈ T. 1) Tìm t ậ p con “ngoan ngoãn” l ớ n nh ấ t c ủ a A và khác A. 2) Tìm t ậ p con “ngoan ngoãn” bé nh ấ t c ủ a A ch ứ a 2002 và 2005.  4. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007) Bài 1: (4 ñ ) Gi ả i ph ươ ng trình : 1 ( 3) 2 1 x x − − = . Bài 2 : (4 ñ ) Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 22 yx + n ế u : 3 2 6 7 3 4 x y x y + ≤ − ≤      . Bài 3 : (4 ñ ) Cho dãy n21 x, ,x,x , v ớ i      =+= = + , )2,1n(,xxx 2 1 x n 2 n1n 1 . Hãy tìm ph ầ n nguyên c ủ a A bi ế t 1x 1 1x 1 1x 1 A 10021 + ++ + + + = . Bài 4: (4 ñ ) Cho dãy (a n ) v ớ i :        −− = = + 2 a11 a 2 1 a 2 n 1n 1 . Ch ứ ng minh t ổ ng t ấ t c ả các s ố h ạ ng c ủ a dãy nh ỏ h ơ n 1,03. Bài 5: (4 ñ ) Cho t ứ di ệ n ABCD trong tam giác BCD ch ọ n ñ i ể m M và k ẻ qua M các ñườ ng th ẳ ng song song v ớ i các c ạ nh AB,AC,AD c ắ t các m ặ t (ACD), (ABD) và (ABC) t ạ i 111 C,B,A . Tìm v ị trí c ủ a M ñể th ể tích hình t ứ di ệ n 111 CBMA l ớ n nh ấ t.  5. THI HỌC SINH GIỎI LẠNG SƠN Câu 1 : Gi ả i BPT: x x xxxxxx 2 23234 1 ln)ln()1222ln( − ≤+−+−++ . Câu 2: Cho tam giác ABC ñề u. Tìm t ậ p h ợ p các ñ i ể m M n ằ m trong tam giác tho ả mãn h ệ th ứ c: 222 MCMBMA += . Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 6 Câu 3 : Cho 2 s ố th ự c d ươ ng x, y tho ả mãn: x + y =1. Tìm min c ủ a bi ể u th ứ c: A= xy yx 8 11 22 + + . Câu 4 : Cho dãy )( n x xác đị nh: 1 1 2 2 n n x x x +  =   = +   (n >0). Tìm lim n x . Câu 5 : Cho tam giác đề u ABC c ạ nh b ằ ng 1. Trên dt (d) vng góc v ớ i mf (ABC) t ạ i A l ấ y đ i ể m M tu ỳ ý. G ọ i H là tr ự c tâm tam giác MBC. Khi M ch ạ y trên dt (d), tìm max V(HABC) Câu 6: Tìm các đ a th ứ c P(x) tho ả mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1 Câu 7: V ớ i m ỗ i s ố t ự nhiên n, g ọ i P(n) là t ậ p h ợ p các s ố t ự nhiên k sao cho: 1 50750 + << nkn . Kí hi ệ u S là s ố ph ầ n t ử c ủ a P(n). CMR v ớ i m ỗ i s ố t ự nhiên n, ta có: S=2 ho ặ c S=3; và CMR t ồ n t ạ i vơ s ố s ố t ự nhiên k sao cho S = 3.  6 . KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008 Bài 1: (5 điểm). a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho PT x 2 + (m 2 - m)x - m 3 +1 = 0 có một nghiệm nguyên. b) Giải bất phương trình. Bài 2 : (5 điểm). a) Giải phương trình 4sin 2 5x - 4sin 2 x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0. b) Cho các số thực x 1 ,x 2, … ,x n thỏa mãn sin 2 x 1 +2sin 2 x 2 +…+ nsin 2 x n = a, với n là số nguyên dương, a là số thực cho trước, ( 1) 0 2 n n a + ≤ ≤ . Xác đònh các giá trò của x 1 , x 2, … , x n sao cho tổng S = sin2x 1 +2sin2x 2 + … + nsin2x n đạt giá trò lớn nhất và tìm giá trò lớn nhất này theo a và n. Bài 3 : (4 điểm). a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc =1 .Chứng minh : 6 2 2 6 2 2 6 2 2 1 1 1 3 . ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b + + ≥ + + + b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện cot (cot 2cot ) 2cot( ) cot . 2 2cot( ) cot 2 A A B A B B A B B + + = − + + Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. Bài 4 : (2 điểm). Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’ và CC’ đồng qui tại điểm M. Gọi S 1 , S 2 và S 3 lần lượt là diện tích của các tam giác MBC, MCA, MAB và đặt ' ' ' , , . MA MB MC x y z MA MB MC = = = Chứng minh rằng: (y + -1) S 1 +(x + z-1)S 2 +(x + y -1)S 3 = 0. Bài 5 : (2 điểm). Cho dãy {u n } , n là số nguyên dương , xác đònh như sau : . Tính u n và chứng minh rằng u 1 + u 2 +…+ u n . Bài 6: (2 điểm). Cho đa thức f(x)=x 3 + ax 2 + bx + b có ba nghiệm x 1 , x 2 , x 3 và đa thức g(x) = x 3 + bx 2 + bx + a. Tính tổng S = g(x 1 ) + g(x 2 ) + g(x 3 ) theo a, b. 2)12(log13)12(log 22 ≤+−++− xx 1 2 1 1 1 1 . 0 n n n n u u u u u + =   + −  =    >  ]) 2 1 (1[ 4 1 1− −+≥ n π Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 7 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài 1 : (5 điểm). Câu Đáp án Điểm a)(3 điểm) + Biến đổi: x(x+m 2 ) -m(x+m 2 ) = -1. + (x+m 2 )(x-m) = -1. + (a) hoặc 2 1 (b) 1 x m x m  + = −  − =  +Giải (a) m =1 hoặc m =-2. +Giải (b) vô nghiệm. +Vậy m =1 hoặc m =-2. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(2 điểm) + Biến đổi: (1) +Vì nên + +Vậy 2 1 2 1 log 2 3log 2 x + + ≤ ≤ 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2: (5 điểm). Câu Đáp án Điểm 21)12(log3)12(log 22 ≤−+++− xx BABA xx +≥+=−+++− ,21)12(log3)12(log 22 ⇔≥−++− 0)1)12()(log3)12((log 22 xx ⇔≥−+++− 0)1)12()(log3)12(log( 22 xx 3)12((log1 2 ≤+≤ x    −=− =+ 1 1 2 mx mx Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 8 a)(2 điểm) Biến đổi 4sin 2 5x+1-sin 2 x+4sin5xcosx=3sin 2 x 4sin 2 5x+4sin5xcosx+cos 2 x=3sin 2 x (2sin5x+cosx) 2 =3sin 2 x Vậy nghiệm hoặc hoặc hoặc 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(3 điểm) + Biến đổi +Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có: +Dấu = xảõy ra khi hay hay 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 2 2 2 2 1 2 tan tan tan sin 2sin sin sin 2 0 n n i x x x x x n x x = = =   + + +   >  )cos.sin cos2.sin2cos(sin2 2211 nn xnxnxxxxS +++= )cos cos2)(cossin sin2(sin2 2 2 2 1 22 2 2 1 2 nn xnxxxnxxS ++++++≤ )sin sin22sin1(2 2 2 2 1 2 n xnnxxaS −++−+−≤ )]sin sin2(sin) 21[(2 2 2 2 1 2 n xnxxnaS +++−+++≤ ] 2 )1( [2 a nn aS − + ≤ n n xn xn x x x x cos sin cos2 sin2 cos sin 2 2 1 1 ===        ≤≤ = + ==== π α α i n x a nn xxx 20 sin 2 )1( 2 21 ⇔±=+ xxx sin3cos5sin2 ⇔−±= xxx cos 2 1 sin 2 3 5sin ) 6 5 sin(5sin ) 6 sin(5sin π π −= −= xx xx 2 24 π π kx +−= 3 36 7 π π kx += 2 24 5 π π kx +−= 3 36 11 π π kx += Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 9 Vậy Max S= ( 1) 2 [ ] 2 n n a a + − khi 1 2 2 sin ( 1) 0 2 n x x x a n n α α π α   = = = =   =  +   ≤ ≤   0.5 Bài 3: (4 điểm). Câu Đáp án Điểm a)(2 điểm) p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 1 1 1 ( )( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( . . . ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c a + + + + + + + ≥ + + + ≥ + + + + + = + + + = + + + + = = + + ⇒ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 4 4 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 . 2 2 2 b c c a a b c a b a b c b c a c a b b c c a a b a b c + + ≥ = + + + + + + + + = ≥ = 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(2 điểm) +Biến đổi ,ta có +Biến đổi vế trái + + Dấu = xãy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B Vậy tam giác ABC cân tại C. 0.5 0.5 0.5 0.5 . 3 4 =x 2 2 (cot cot ) 4cot ( ) cot cot 2cot( ) 2 2 A B A B A B A B + + + = ⇔ + = sin( ) 2sin( ) 2sin( ) cot cot sin sin cos( ) cos( ) 1 cos( ) A B A B A B A B A B A B A B A B + + + + = = ≥ − − + − + 2 ( ) ( ) 4sin cos ( ) 2 2 cot cot 2cot ( ) 2 2sin 2 A B A B A B A B A B + + + + ≥ = + [...]... đ nh và x + y = 3xy 2 Xác đ nh v trí c a M, N đ di n tích tồn ph n t di n ADMN đ t giá tr nh nh t và l n nh t.Tính các giá tr đó 16 ð THI TH HSG VỊNG T NH L N 3 - THPT CAO LÃNH 2 NĂM 2008 Bài 1: (2.0 đi m) V i a,b,c > 0 th a mãn đi u ki n abc =1 Ch ng minh r ng: ð thi HSG mơn Tốn Trang 16 Nguy n Văn Xá 3 3 3 a b c 3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 Bài 2: (3.0 đi m) Gi i phương... , y = a + c – b , z = b + c – a, v i a, b, c là các s ngun t Cho bi t x2 = y và hi u z − y là bình phương c a m t s ngun t Xác đ nh t t c giá tr c a a, b, c ð thi HSG mơn Tốn Trang 18 Nguy n Văn Xá 19 ð THI CH N H C SINH GI I B C PTTH TH A THI N HU NĂM H C 1999-2000 Bài 1: ( 2.5 đi m) Cho phương trình: x − 34x + a − (x − 1)(x − 33) = 1 a/ Gi i phương trình khi a = 64 b/ Tìm a đ phương trình có nghi... d th a mãn (133a + 29b + 7c + 2d − 7)(91a + 25b + 7c + 2d − 7) < 0 Ch ng minh r ng t n t i 2 s th c u, v sao cho u + v = 7 và a (u 3 + v3 ) + b(u 2 + v 2 ) + c(u + v) + 2d = 7 ð thi HSG mơn Tốn Trang 27 Nguy n Văn Xá 23 THI HSG L P 11 NĂM 2004 Câu 1 (6 đi m) Cho phương trình (m + 3) sin 3 x + (m − 1)cos3 x + cosx − (m + 2) sinx = 0 1./ Gi i PT khi m = 5 π 2./ Tìm m đ t PT có đúng m t nghi m trên π... x 2 y 2 − x 2 − 8 y 2 = 2 xy Câu 6: Tìm hàm s kh vi f : (-1 ; 1) → ℝ th a mãn x+ y ), ∀x, y ∈ (−1; 1) f ( x) + f ( y ) = f ( 1 + xy 28 THI HSG L P 10 HÀ N I VỊNG 1 (1991 – 1992) Bài 1 (5 đi m) 1991 − sinx 1992 1991 + ≥1 , ∀x ∈ ℝ Ch ng minh 1992 1992 − sinx 1992 ð thi HSG mơn Tốn Trang 30 Nguy n Văn Xá Bài 2 (5 đi m) Cho t giác ABCD v i M, N theo th t là trung đi m AC, BD Tìm h th c gi a AD, CD, MN đ... A'A.A'H+B'B.B'H+C'C.C'H theo a, b, c là s đo các c nh △ABC Bài 3 ð thi HSG mơn Tốn Trang 32 Nguy n Văn Xá Gi i b t phương trình x − 1 + 3 − x + 4 x 2 x ≤ x + 10 Bài 4 Cho hình ch nh t ABCD n i ti p đư ng tròn (O) M t đo n th ng MN n m ngồi (O) sao cho MN//AB và AM c t DN t i I trên (O) Ch ng minh giao đi m K c a CM, BN cũng n m trên (O) 3 33 THI HSG L P 10 HÀ N I VỊNG 2 (1993 – 1994) Bài 1  x 4 + y 4 + 4... các góc ∠AMB = ∠BMC = ∠CMA = 900 Bài 4 Xét dãy s dương tăng a1 , a2 , , a1990 trong đó a1990 < 1 Hãy so sánh log 1 (a1 + a2 + + a1989 ) và log 1 (a1 + a2 + + a1990 ) 1989 ð thi HSG mơn Tốn 1990 Trang 33 Nguy n Văn Xá 35 THI HSG L P 11 HÀ N I VỊNG 2 (1989 – 1990) Bài 1 Ch ng minh b t đ ng th c 2( sin1990 x + cos1990 x) ≥ sin1988 x + cos1988 x, ∀x ∈ ℝ Bài 2 Cho đo n th ng AB, hai đư ng th ng d1, d2... khơng n m trên d1, d2 Hãy d ng qua M đư ng th ng d sao cho d chéo nhau v i d1, và d chéo nhau v i d2, các đo n vng góc chung c a d và d1, c a d và d2 cùng b ng đ dài ℓ cho trư c 37 THI HSG L P 11 HÀ N I VỊNG 1 (1992 – 1993) ð thi HSG mơn Tốn Trang 34 Nguy n Văn Xá Bài 1 Cho P(x) = mcosx – sin2x + 2 Tìm m đ : 1 Phương trình P(x) = 0 có nghi m 2 B t phương trình P(x) ≥ 0 nghi m đúng v i m i x ∈ℝ Bài 2 Cho... các bình phương c a n + 1 s h ng đ u b ng t ng các bình phương c a n s h ng còn l i H i có giá tr nào c a n sao cho trong dãy 2n + 1 s đó có m t s h ng b ng 1993 hay khơng, t i sao ? 39 THI HSG L P 12 QU C GIA 2008 ð thi HSG mơn Tốn Trang 35 ... m t i đa 22 THI HSG L P 11 NĂM 2002 Câu 1 (5 đi m) 1) Ch ng minh v i m i x ta có sinx + 1 − sinx ≥ 1 2) Gi i phương trình sinx + 1 − sinx = 2cosx − cos 2 x Câu 2 (5 đi m)  b2 + c2 ≤ a2  Tính các góc c a △ABC n u tam giác đó th a mãn   sinA + sinB + sinC = 1 + 2  Câu 3 (7 đi m) Trong m t ph ng (P) cho đư ng tròn (O) bán kính R và đi m A c đ nh trên đư ng tròn (O) T giác ABCD bi n thi n, n i ti... (E) Ch ng minh r ng: 4 đư ng th ng MF1, MF2, NF1, NF2 cùng ti p xúc v i m t đư ng tròn 13 KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH Câu 1 (4 đi m): HÀ N I 2003 Gi i và bi n lu n theo tham s a s nghi m c a phương trình: (n + 2) x n +3 − 2003(n + 3) x n + 2 + a n + 3 = 0 (v i n là s t nhiên l cho trư c) Câu 2 (4 đi m): ð thi HSG mơn Tốn Trang 14 Nguy n Văn Xá Cho đư ng cong (C) có phương trình y = − x + 4 x − 3 Tìm . 2009 20092009 2009  Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 1 MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI  1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài 1 (6 ñiểm) 1/ So sánh. THI THỬ HSG VÒNG TỈNH LẦN 3 - THPT CAO LÃNH 2 NĂM 2008 Bài 1: (2.0 ñ i ể m) V ớ i a,b,c > 0 th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n abc =1. Ch ứ ng minh r ằ ng: Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán. c ả giá tr ị c ủ a a, b, c. Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 19  19. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THI N HUẾ NĂM HỌC 1999-2000. Bài 1: ( 2.5 ñ i ể m) Cho