268 bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 9 tham khảo

WWW.MATHVN.COM MAI TR PH Ch s a) Ch b) Ch Cho x + y = Tìm giá tr ÀI + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) 2 h + b2)(c2 + d2) +y a+b ³ ab a) Cho a bc ca ab + + ³a+b+c a b c b) Cho a, b, c > Ch c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá tr a tích P = ab Cho a + b = Tìm giá tr + b3 3 Cho a + b = Tìm giá tr Cho a, b, c s + b3 + abc Tìm liên h a b bi a+b > a-b a) Ch b) Cho a, b, c > abc = Ch 10 Ch a) (a + b)2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá tr a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x c) 2x(2x – 1) – 12 Tìm s + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho bi + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 V tr c b M nh ìm giá tr 14 Cho bi + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá tr 15 Ch c ãn 2 x + 4y + z – 2a + 8y – 6z + 15 = A= 16 Tìm giá tr 17 So sánh s a) + 15 c) ùng máy tính) : 18 Hãy vi ình : b) 17 + + 27 d) àm 23 - 19 19 Gi 20 Tìm giá tr x - 4x + 2 45 3 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = - 2x - x yv i 2x + xy = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 - k + 1) 1998 - 1998 Hãy so sánh S 1999 22 Ch ên a không ph s ì a s 21 Cho S = 23 Cho s y d www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR x y + ³2 y x æ x y2 ổ x y b) ỗ + ữ - ỗ + ữ x ứ èy xø èy a) ỉ x y4 ỉ x y2 ổ x y + ữ-ỗ + ữ+ỗ + ữ y4 x ứ è y2 x ø è y x ø è c) ỗ 24 Ch s a) 1+ b) m + v n s 25 Có hai s 26 Cho s às ỉx x y2 + + 3ỗ + ữ y x èy xø y khác Ch x y2 z2 x y z + + ³ + + y2 z2 x y z x 27 Cho s 28 Ch 29 Ch àm a) (a + b)2 + b2 ) b) (a + b + c)2 + b2 + c2) 2 2 c) (a1 + a2 + … + an) + a2 + … + an ) 30 Cho a3 + b3 = Ch g minh r 31 Ch [ x ] + [ y] £ [ x + y] x - 6x + 17 x y z A= + + v y z x A= 32 Tìm giá tr 33 Tìm giá tr 34 Tìm giá tr 35 Tìm giá tr 36 Xét xem s A = x2 + y2 bi b có th s a s b a b) a + b s b a) ab c) a + b, a2 b2 s 37 Cho a, b, c > Ch 38 Cho a, b, c, d > Ch 39 Ch 40 Cho s Ch [ 2x ] b + b3 + abc a b c d + + + ³2 b+c c+d d+a a +b [ x ] ho [ x ] + hai ch ên 96 41 Tìm giá tr www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM A= x - B= MAI TR x + 4x - C= D= x - 2x - 1 E= x+ 1- x2 - + -2x x G = 3x - - 5x - + x + x + 42 a) Ch “=”x ? M = x + 4x + + x - 6x + b) Tìm giá tr c) Gi 4x + 20x + 25 + x - 8x + 16 = x + 18x + 81 ình : 43 Gi ình : 2x - 8x - x - 4x - = 12 44 Tìm giá tr A = x2 + x + E= G= 2x + + x 45 Gi 1 - 3x B= ng trình : C = - - 9x x + x-2 x -4 D= x - 5x + H = x - 2x - + - x 2 x - 3x =0 x -3 A = x +x 47 Tìm giá tr B = 3- x + x +1 48 So sánh : a) a = + b= b) c) n + - n + n+1 - n (n s 46 Tìm giá tr 49 V 4-2 11 + b) d) A = m + 8m + 16 + m - 8m + 16 bi M= 52 Tìm s 53 Tìm giá tr 54 Gi c) 27 - 10 e) B = n + n - + n - n - (n 41 45 + 41 + 45 - 41 (2x - y) + (y - 2)2 + (x + y + z) = ãn P = 25x - 20x + + 25x - 30x + ình sau : a) x - x - - x - = d) x - x - 2x + = b) x - + = x e) x + 4x + + x - = h) x - 2x + + x - 6x + = k) x + - x - + x + - x - = 3 -1 A = - - 6x + 9x + (3x - 1) c 50 Tính : a) 51 Rút g - 13 + c) x - x + x + x - = g) x - + x - = -5 i) x + + - x = x - 25 l) 8x + + 3x - = 7x + + 2x - www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM 55 Cho hai s MAI TR y th ãn x + y2 ³2 x-y x > y CMR: 56 Rút g a) 13 + 30 + + b) m + m - + m - m - c) + + + + + + - + + 2+ = 57 Ch d) 227 - 30 + 123 + 22 + 2 58 Rút g a) C = 6+2 ( ) + + - 6-2 ( 6- 3+ ) 9-6 - b) D = 59 So sánh : + 20 1+ a) +1 c) 28 - 16 - A = x - x - 4x + 60 Cho bi a) Tìm t b) Rút g a) 61 Rút g c) 17 + 12 b) 11 - 10 b) - 14 + 11 + - + + + - + 10 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 62 Cho a + b + c = ; a, b, c x - 16x + 60 < x - 63 Gi ình : 64 Tìm x cho : 65 Tìm giá tr x2 - + £ x2 + y2 , bi x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x a) A = x - 2x - 67 Cho bi a) Tìm giá tr b) Rút g 68 Tìm 20 ch 69 Tìm giá tr 70 Tìm giá tr 71 Trong hai s A= 16 - x b) B = + x - 8x + 2x + x + x - 2x x - x - 2x - x - x - 2x x + x - 2x ìm giá tr ên c 0,9999 (20 ch |x4 2|+|y–1|v |x|+|y|=5 + y + z bi n + n + n+1 (n s l www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR A = + + - Tính giá tr 72 Cho bi 73 Tính : ( + + 5)( + - 5)( - + 5)( - + + 5) 74 Ch 3- ; 2 +3 a = 3 - b=2 - ; 75 Hãy so sánh hai s 76 So sánh 3+ ; às + +1 + - - - s 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ Q= 77 Rút g 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy bi 79 Tính giá tr 80 Tìm giá tr A = 1- x + 1+ x àl M= 81 Tìm giá tr x - y2 + y - x = + y2 bi ( a+ b ) v àa+b 82 CMR s 2b + c - ad ; 2c + d - ab ; 2d + a - bc ; 2a + b - cd có nh , b, c, d > 0) N = + + + 18 83 Rút g 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Ch ( 86 Ch a+ b ) ³ 2(a + b) ab 87 Ch ài 88 Rút g a) A = 1)(1 a, b, c c ab - b a b b + a2)…(1 + an) n (a, b ài a, b, c l ành m ành m ì (x + 2) - 8x xx a +2 ³2 a +1 b) B = 89 Ch 90 Tính : A = + + - b 91 So sánh : a) 92 Tính : P = 93 Gi 94 Ch +5 6,9 b) 2+ 2- + + 2+ - 2- ình : 13 - 12 7- x + + 2x - + x - - 2x - = 2 1.3.5 (2n - 1) Pn = < ; "n Ỵ Z+ 2.4.6 2n 2n + www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR 95 Ch a2 b2 a+ b£ + b a ì 96 Rút g A= x - 4(x - 1) + x + 4(x - 1) ổ ỗ1 ữ ố x -1 ø x - 4(x - 1) a b +b a : = a - b (a, b > ; a ab a- b æ 14 - ỉ a + a ưỉ a - a 15 - b) ỗ + = -2 c) ỗ + ữ: ữỗ ữ = - a (a > 1- ø - a + øè a -1 ø è 1- è a) 97 Ch 0) - - 29 - 20 98 Tớnh : a) ổ c) ỗ è ; b) + - 13 + 48 28 - 16 ÷ + 48 ø 99 So sánh : a) + 15 b) + 15 12 + 16 c) 18 + 19 d) 25 + 48 - 100 Cho h a± b = a + a2 - b a - a2 - b ± (a, b > a2 – b > 0) 2 Áp d a) c) 2+ + 2+ + 2- - 2- ; b) 3- 2 - 17 - 12 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 - 2 - : 10 - 2 -1 101 a) A = b) B = xy - x - y - v xy + x - y - a + bx + a - bx a + bx - a - bx 102 Cho bi v x= 1ổ 1ử ỗ b + ÷ (a > ; b > 1) 2è bø 2am , m < b (1 + m ) 2x - x - P(x) = 3x - 4x + a) Tìm t b) Ch 103 Cho bi 1ổ 1ử x = ỗa + ÷ , y = 2è ì P(x).P(- x) < A= x+2-4 x -2 + x +2+4 x -2 4 - +1 x2 x www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR a) Rút g b) Tìm s 104 Tìm giá tr l a) - x e) - - 3x àm b) x - x (x > 0) c) + - x g) 2x - 2x + d) x - - i) 2x - x + h) - - x + 2x + A = x + 2x - - x - 2x - , b 105 Rút g + 48 - 10 + a) 106 Rút g b) ên + 10 + + - 10 + c) 94 - 42 - 94 + 42 b 107 Ch ( ) a) a + b ± a - b = a ± a2 - b b) a + a2 - b a - a2 - b a± b = ± 2 A = x + 2x - + x - 2x - 108 Rút g 109 Tìm x y cho : x+y-2 = x + y - (a + c) + (b + d) 110 Ch a + b2 + c2 + d ³ 111 Cho a, b, c > Ch a2 b2 c2 a+b+c + + ³ b+c c+a a +b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Ch a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM : (a + c )( b + c2 ) + a +b + b+c + c+a £ b) (a + d )( b + d ) ³ (a + b)(c + d) v A=x+ x (x + a)(x + b) A= x 114 Tìm giá tr 115 Tìm giá tr 116 Tìm giá tr 117 Tìm giá tr 118 Gi ình : 2-x x - - 5x - = 3x - 119 Gi ình : x + x -1 + x - x -1 = 120 Gi ình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Gi ình : + 3y2 122 Ch 123 Ch 124 Ch 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = - 2x - x às 3- ; 2+ x -2 + 4-x £ ình h a + b b + c ³ b(a + c) v www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR (a + b)(c + d) ³ ac + bd v 125 Ch 126 Ch ài a, b, c l ành m a, b, c c ài ành m ì (a + b)2 a + b + ³a b +b a v a b c + + >2 v b+c a+c a+b 127 Ch 128 Ch 129 Cho x - y + y - x = Ch + y2 = 130 Tìm giá tr A = x - x -1 + x + x -1 131 Tìm GTNN, GTLN c A = 1- x + 1+ x 132 Tìm giá tr A = x + + x - 2x + 133 Tìm giá tr A = - x + 4x + 12 - - x + 2x + a) A = 2x + - x 134 Tìm GTNN, GTLN c 135 Tìm GTNN c ( b) A = x 99 + 101 - x ãn ) a b + = (a b h x y 136 Tìm GTNN c xy yz zx + + v z x y x2 y2 z2 A= + + bi x+y y+z z+x A= 137 Tìm GTNN c 138 Tìm GTNN c A= 139 Tìm giá tr b) B = ( a+ b ) ( + v 140 Tìm giá tr 141 Tìm GTNN c 142 Gi a+ c ) ( + ( a+ b a+ d ) xy + yz + zx = v ) ( + b+ c ) ( + b+ d ) ( + c+ d ) a + b + c + d = A = 3x + 3y v b c + v c+d a+b A= ình sau : a) x - 5x - 3x + 12 = d) x - - x + = b) x - 4x = x - e) x - x - - x - = h) x + - x - + x + - x - = k) - x - x = x - m) x + = x - x - o) x - + x + + c) 4x + - 3x + = g) x + 2x - + x - 2x - = i) x + x + - x = l) 2x + 8x + + x - = 2x + n) x + + x + 10 = x + + x + ( x - 1) ( x - 3x + 5) = - 2x www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR p) 2x + + x + + 2x + - x + = + x + q) 2x - 9x + + 2x - = 2x + 21x - 11 ( A = 2 - +3 143 Rút g )( "n Ỵ Z+ , ta ln có : + 144 Ch 1+ + a) 145 Tr ) 18 - 20 + 2 ( ) 1 + + + > n +1 -1 n b) x + x +1 146 Tính : - - 29 - 20 a) ( b) + - 13 + 48 147 Cho a = - + 148 Cho b = a) c) ( 3- 2 17 - 12 149 Gi - )( 17 + 12 ình sau : ) (5 - x ) ) 10 - Ch 3+ 2 -1 x - x + - = - x + ( x - 3) x - 5- x + x -3 b) =2 c) ( - - 29 - 12 às b có ph ) às -1 x = ( ên hiên không ? ) +1 x - 3 d) x + x - = 150 Tính giá tr M = 12 - 29 + 25 + 21 - 12 + 29 - 25 - 21 151 Rút g 152 Cho bi A= 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n -1 + n 1 1 P= + - + 2- 3- 4- 2n - 2n + a) Rút g b) P có ph às 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 154 Ch 1+ + + + > n n 155 Cho a = 17 - Hãy tính giá tr + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Ch a - a - < a - - a - (a 157 Ch x - x + > (x 158 Tìm giá tr S = x - + y - , bi 153 Tính : A = 159 Tính giá tr a= + 2a - 2a : A= + + + 2a - - 2a www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM 160 Ch ( MAI TR )( 10 - ) - 15 = ( + )( 10 - ) = d) a) + 15 c) - b) + = + 48 = 2 ( ( ) +1 ) + e) 17 - + = - 161 Ch 5+ 5- + - 10 < 5- 5+ æ ö +1 - öæ c) ç + + ÷ 0, - 1,01 > ữỗ - ố + + + - øè ø + -1 2- 3ỉ 3 d) + + + 3- > ỗ ữ2+ 6 è 2- 2+ ø 27 + > 48 a) 2+2 e) h) ( 3+ b) -1 + 5+ -2 ) - ( - > 1,9 ) 3+ 5+ - + + 2- < 0,8 < n - n -1 T n 1 2004 < + + + + < 2005 1006009 2+ 3+ 163 Tr a) b) 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ + 3+ 3- 164 Cho x = y= Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 3- 3+ 2002 2003 165 Ch + > 2002 + 2003 2003 2002 x - 3xy + y 166 Tính giá tr A= v x = + y = - x+y+2 6x - 167 Gi ình : = + x - x2 x - 1- x n +1 - n < 162 Ch 168 Gi a) 3 + 5x ³ 72 169 Rút g b) 10x - 14 ³ c) + 2 + 2x ³ i a) A = - - 29 - 12 c) C = 10 x + + x2 - 2x - + x - b) B = - a + a(a - 1) + a d) D = a -1 a x + 5x + + x - x 3x - x + (x + 2) - x www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR 1 = Þ A= 10 (n + 1) n + n n + n n +1 1 1 154 + + + + + > n = n n n 155 Ta có a + = 17 Bi ành t 153 Ta ch A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000 = (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = a - a -1 = 156 Bi a + a -1 a -2 + a -3 ; a -2 - a -3 = 2 1 æ 1ö æ 1ö 157 x - x + = x - x + + x - x + = ỗ x - ữ + ỗ x - ữ ³ 4 è 2ø è 2ø 1 D ì khơng th x = x = 2 168 a + b £ 2(a + b ) Áp d S = x - + y - £ 2(x - + y - 2) = (*) (a + b ì x= ï éx -1 = y - ï max S = Û ê Ûí ëx + y = ïy = ï ỵ * Có th 180 Ta ph r |A| D B= = - - x Ta có : A £ - x2 £ Þ - £ - - x2 £ Þ - £ - - x2 £ B = - Û = - x Û x = max A = = 2+ Û 2- Û max B = Û - x = Û x = ± 2x - x 181 h B= + 1- x x ì 2x - x = (1) 2x - x ï B³2 = 2 B = 2 Û í1 - x x 1- x x ï0 < x < (2) ỵ 2 Gi = (1 – x) Û | x | = | – x | Do < x < nên x = – x Û Û x= = - +1 B = 2 Û x = - 1 ỉ 2x - x - 2x - + x æ Bây gi A-B=ỗ + ữ-ỗ + + = +1 = ÷= x ø 1- x x è1- x x ø è1- x 35 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR + ch - ,y 182 a) àm gi a+b ³ ab a + b £ 2(a + b ) ùng b A = x - + y - £ 2(x - + y - 3) = ìx - = y - ì x = 1,5 max A = Û í Û í ỵx + y = ỵ y = 2,5 Cách khác : Xét A2 r ùng b x - , y - tích : Ta xem bi x - = 1.(x - 1) , y - = x - 1.(x - 1) + x - 1 = £ = x x 2x y-2 2.(y - 2) + y - = £ = = y y 2y 2 ìx - = 1 2+ max B = + = Û í Û 4 ỵy - = Theo b a+b 2(y - 2) ab £ àm tr b) 2 ìx = í ỵy = 1 ,b= Ta th 1997 + 1996 1998 + 1997 1997 + 1996 < 1998 + 1997 183 a = Nên a < b v 184 a) A = - v max B = b) B = v 185 Xét – ìA v x + (1 - x ) = 2 2 ìx = - x max A = Û í Û x= 2 ỵx > ì A= 186 A = | x – y | x (1 - x ) £ chi A2 l ỉ ỉ 1ư A = (x - y) = ỗ1.x - 2y ữ Ê ỗ1 + ữ (x + 4y ) = è ø è 4ø 2 ì ì 2y ïx = ï =ï ho max A = Û íx Û í 2 ï x + 4y = ïy = ỵ ï 10 ỵ 187 a) Tìm giá tr 36 ì ïx = ï í ïy = - ï 10 ỵ : T www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR ìx £ x ì0 £ x £ ï Û í Û x + y3 £ x + y = í ïy £ y ỵ0 £ y £ î ìx3 = x ï max A = Û í Û x = 0, y = V x = 1, y = ïy = y ỵ x+y b) Tìm giá tr : (x + y)2 + y2) = Þ x + y Þ £1 ( x + y3 ) ( x + y ) Theo b 3 x +y ³ 2 2 2 é ù (x + y3 )(x + y) = ê x + y3 ú é x + y ù ³ x x + y3 y = (x2 + y2) = ú ë û ë ûê ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = 188 Do ab Û x=y= 2 x = a ; y = b , ta có a, b A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab ên A Û a = ho Û x = ho Ta có ab £ (a + b) 1 1 = Þ ab £ Þ - 3ab ³ A = Û x = y = 4 4 4 –x 189 –x ên x x -1 =3 x-2 - x + (x - 1)(x - 2) - (x - 1)(x - 2) = Û - x = Û x = -8 - x + (x - 1)(x - 2) - x - Û 190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > v giá tr x + 2x + = y ình ình có d éy = y2 - y - 12 = Û (y - )(y + 2 ) = Û ê ê y = -2 (loai y ³ ë x + 2x + = Û x2 + 2x + = 18 Û (x – 3)(x + 5) = Û x = ; x = -5 191 Ta có : 1 ổ ổ1 = k = kỗ + ữ= kỗ (k + 1)k (k + 1) k ố k k +1ø è k ỉ k ưỉ 1 ổ = ỗ1 + < 2ỗ ữỗ ữ (k + 1) k k +1 øè k k +1 ø è è 1 1 ỉ ổ V + + + + < ỗ1 ữ + 2ỗ (n + 1) n 2ø è è ỉ = ç1 ÷ (a, b > ; a ab a + b 192 Dùng b y = b (1) a, b Ỵ Q x + –y=a, 193 y ỴQ x-y a a = ị x - y = ẻ Q (2) b x+ y b a) N b) N ì x , ỡx=y T (2) : 1ổ aử x = ỗb + ữ ẻ Q ; 2ố bứ ( 199 Nh x2 + a2 + x ) ( x + x2 + a £ Do a Vì v 207 c) ờn : )( 1ổ aử y = ỗb - ÷ Ỵ Q 2è bø ) x2 + a2 - x = a2 ) ( 5a (1) Û x + x + a £ x2 + a2 x + a + x > x + x = x + x ³ Suy : ( x2 + a2 + x )( x2 + a2 - x x2 + a2 x + a + x > , "x éx £ ê Û x + a £ x + a - x Û 5x £ x + a Û ê ì x > ê í25x £ 9x + 9a ëỵ éx £ Ûê Û x£ a ê0 < x £ a ë - 2a x= 1+ x2 a(1 - a) a(1 - a) ) ( d) Ta có a2 + = a2 b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 A > Ta có A = 208 G 2x + x 1 nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + = 2 17 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = - = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - = 4 17 æ ö 239 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = - - ç - ÷ ( -1) = è 64 ø 64 210 a) a = ( - 1) = - 2 = - 209 Ta có : a + b = - , ab = - a = ( - 1)3 = 2 - + - = - = 50 - 49 )n = A - B ; (1 + )n = A + B v Suy : A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n b) Theo khai tri N 38 ) : (1 - ì A2 – 2b2 = (1) N ỴN ì A2 – 2B2 = - (2) www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR n Bây gi ì : an = ( - 1)n = (1 ãn (1) *N A2 – 2B2 )n = A - B = A - 2B2 *N ì : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 - A 2B2 – A2 ãn (2) 211 Thay a = ình ã cho : 2 + 2a + b + c = Û (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c h ên ph -2,c=ã cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = Û x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = Û (x2 – 2)(x + a) = Các nghi ình ã cho là: ± - a 212 1 + + + n A > n - : Làm gi : 2 = > = k +1 - k k k+ k k +1 + k A > é - + + - + + + - n + n + ù = ë û A= a) Ch ( ( =2 b) Ch ình ( ) ( ) ) ( ) ) n +1 - = n +1 - 2 > n +1 - > n - h A < n - : Làm tr ( ) 2 = < = k - k -1 k k+ k k + k -1 A < é n - n - + + - + - ù = n - ë û ( 213 Kí hi ) ( ) ( ) a n = + + + + có n d a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a100 = + a 99 < + = Hi ên a100 > 214 a) Cách (tính tr Þ 13 < a2 < 14 V ) x = + - ) y = - Suy x + y = 14 < nên < (2- )2 < 1, t - [ a2 ] = 13 V a) N 39 ] = 13 Xét bi b) 215 2 Cách (tính gián ti D = )2 = + = (2 + Ta có = 48 nên < < 100 ] 100 ] = 51 – y = a ; x + y = b (1) a b s ì x-y a = Þ x+ y b x- y= a s b (2) ta có : www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR 1ổ aử x = ỗ b + ÷ s 2è bø b) N ì x = y = 0, hi 1ổ aử y = ỗ b - ÷ s 2è bø x , y s ên n ưỉ 1 ổ ổ1 = = nỗ + ữ= nỗ ữỗ ữ= (n + 1) n n(n + 1) n + øè n n +1 ø è n n +1ø è n ỉ n ưỉ 1 ổ = ỗ1 + i toỏn ữỗ ữ < 2ỗ ữ T n +1 ứố n n +1 ø n +1 ø è n è 216 Ta có 217 Ch b a25 < ã cho, khơng có hai s < a2 < … < a25 Suy : a1 hông m 1 1 1 + + + £ + + + a1 a2 a 25 25 ì: (1) Ta l 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ 2 2 + + + + = 25 - 24 + 24 - 23 + + - + = 24 + 24 23 + 23 2+ ( =2 T (2) suy : 25 s ( ) 25 - + = ) (2) 1 + + + < , trái v a1 a2 a 25 , a2 , … , a25 + x = a ³ ; - x = b ³ 218 Ta có : ab = - x , a2 + b2 ình : Þ a2 - a2b + b2 + ab2 = Þ a2 b2 + = 2 +a -b (2 - b + a - ab) (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) Þ Bình ph (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) Þ a – b = (do ab + 2 + b – 2ab = Þ 2ab = Þ ab = Þ - x = Tìm V 1- x2 = ình ph 219 a -1 a +1 a a +1 ình ph ãn (theo b K 220 N T 40 x= ì y = 0, z = T ình ã cho ta có : a V a +1 z N x= ên x, y, z > 2y 2y £ = y 1+ y y www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR y £ z ; z £ x Suy x = y = z X ên v )7 221 a) ài toán, ch A + B s ên Ch - )7 D o 0 Ta có + > 10 suy : (8 + ) < ( Þ 8-3 107 ) < 107 Ỵ N )7 = a + b v Theo khai tri B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a s Do < B < ìm s A + B s 107 ên ên nên A có b Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Gi 222 Ta th n s às ên n s ,5 ì n khơng có d nguyên an g n nh Ta th r nl b ình : v ì Ỵ N có nh * ì an b ng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta s < 2- < 3- < 1 k- < x (vì x > y > 0) V > a3 V n n(n - 1) n(n - 1)(n - 2) n(n - 1) 2.1 ỉ 1ư 2+ + + n ỗ + ÷ = + n + n 2! n 3! n n! n è nø 1ư ỉ1 < + + ỗ + + + ữ n! ø è 2! 3! 1 1 1 D àng ch + + + £ + + + = 2! 3! n! 1.2 2.3 (n - 1)n 1 1 1 = - + - + + - = 1- < 2 n -1 n n (1 + )n < n b) V n V (2) Û ( n +1 n +1 ) n(n +1) < n > n +1 n + ( n) n > (1) Th n(n +1) Û ( ) ( ) 3 > Û 32 > 22 (2) Th n n Û (n + 1) < n n +1 (n + 1)n ỉ 1ư Û < n ỗ + ữ < n (3) n n è nø n ỉ 1ư Theo câu a ta cú ỗ + ữ < , m è nø ) ( 237 Cách : A = x + + x + x + ³ A = v Cách : Áp d A ³ (x + x + 1)(x - x + 1) = x + x + ³ 238 V Cauchy cho ba s ì A A = v i - A = x2(x – 2) Áp d æx x ỗ + +x-2ữ A x x ỉ 2x - - = (x - 2) Ê ỗ ữ = ỗ ữ Ê 2 ố ứ ỗ ữ ố ø -A Þ A - 32 A = - 32 v 239 ỉ x2 x2 ç + +9-x ÷ x2 x2 A = x (9 - x ) = (9 - x ) Ê ỗ ữ = 4.27 2 ỗ ữ ỗ ữ ố ø max A = v 240 a) Tìm giá tr 45 www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR A = x(x2 – 6) Þ Cách : V V Ta có Suy x(x – 6) Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x Þ 2 –9 max A = v –6 ên A b) Tìm giá tr Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 = = (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - A = - v -4 2 Cách : Áp d x3 + 2 + 2 241 G àc C ìm giá tr Theo b x3 2.2 = 6x Suy x3 – 6x - A = - v ình vng nh th ình h – 2x) : x x æ 4x + - 2x + - 2x ỗ ữ = è ø max V = Û 4x = – 2x Û x = Th ình h dm3 c 242 a) - 11 b) 2x - = y Gi x dm 2 - x = a ; x -1 = b + = 2y , y3 Û – y)(x2 + xy + y2 + 2) = -1 ± x - x2 - - x = a ; x - = b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – ( e) Rút g g) x c) L d) x x ình vng nh x 3-2x 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) x 3-2x ) a3 - b a - b a3 - b ình ã cho ình ã cho tr ành : = a+b a - b a3 - b 3 Do a + b = nên = Þ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) a+b a +b Do a + b ên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) T h) x + = a ; x - = b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = T (2) : a – b = Thay b = a – 46 (2) www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR i) Cách : x = - nghi x +1 =a ; x+2 3 Cách ình V x+3 = b Gi x+2 x + = y Chuy + b3 = 2, a + b = - H ày vô nghi y3 - + y3 + = -y L y3 – + y3 + + 3 y - (- y) = - y3 Û y3 = y V Cách : Ta th nghi - V - nghi x < -2 x > -x x +1 < -1 > -1 mn £ Theo b < > x+3 = y6 – Vơ n0 ình vơ V < > < > ab + a + b = (2) m+n , ta có : a b + a + b £ a - x = m ³ ; b - x = n ³ m4 + n4 = a + b – 2x ình ã cho tr ành : m + n = g + 3mn + 2n2) = Suy m = ho ịn n Gi 243 ì nghi có ngh a + b 1+ a 1+ b + + = 2 1+ a 1+ b a+b = a + b +1£ + +1 = +2 = 2 3= Ph l) y6 - - 2, x > - x+2 – x = b Ta có : a + b = (1), k) y6 - L = ình V x x+2 + y ) - (xy) 2 x + xy + y V ì 2m2 + 3mn + 2n2 > ình ã cho x = a + b2 x + x y + y x + 2x y + y - 2x y = = x + xy + y x + xy + y a = x ; b = y , ta có : A = (x = m + n Nâng lên l (x = + y + xy )( x + y - xy ) x + y + xy 2 A = a + b - ab (v 244 Do A t = x + y - xy + b2 nên ta có th A = x2 - x +1 + x2 + x +1 ³ x - x + x + x + = (x - x + 1)(x + x + 1) = = x4 + x2 + ³ ìx + x + = x - x + ï Û x = í x + x2 +1 = ï î Ta có A 47 Û x = www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR ình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : nghi 245 Vì + )3 + a(1 + 3(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau th thu g (4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b Ỵ Z nên p = 4a + b + 42 Ỵ Z q = 2a + b + 18 Ỵ Z Ta ph ìm s cho p + q = N =- ì p q = ta suy p = ình 3x3 + ax2 + bx + 12 = ch m V ên a, b ì 4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b = í ỵ 2a + b + 18 = 246 Gi s q chia h 247 a) Ta có : 3 p3 Hãy ch q3 p p ( phân s q q p phân s q 1+ = ( 1+ ) = 1+ 2 + = + 2 ( + - 2 = + 2 - 2 = 32 - 2 b) + - = -1 248 Áp d ) = = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a = 20 + 14 + 20 - 14 + 3 (20 + 14 2)(20 - 14 2).a Û a = 40 + 3 202 - (14 2) a Û a3 – 6a – 40 = Û (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên Þ a = 249 Gi ài 21 250 A = + - 251 Áp d = a3 + b3 + 3ab(a + b) T + Suy x3 = 12 + 3.3x Û x3 – 9x – 12 = 252 S – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 K 253 a) x1 = - ; x2 = 25 b) c) u= ì u = v3 + ï Û u = v = - Þ x = í ïv = u + î x- , v = x- x + 32 = y > K A= 254 x3 + + + x + - Áp d A = Û -1 255 Áp d 256 x = y x = y 258 Ta có : P = 48 (x - a) + Þ P = 23 x + ( x - b) =|x–a|+|x–b| – a + b – x | = b – a (a < b) www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM MAI TR D – a)(x – b) Û a 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp d –a Û a (a + b - c) + (b + c - a) =b (b + c - a) + (c + a - b) (b + c - a)(c + a - b) £ =c (c + a - b) + (a + b - c) (c + a - b)(a + b - c) £ =a (a + b - c)(b + c - a) £ Các v ày theo t ch a+b–c=b+c–a=c+a–b Û 260 x - y = (x - y) = (x + y)2 - 4xy = + = 2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 ( 263 N ì y = 264 ) ( x - = y ³ M = x - 265 G ình ch 2 + y = (8 ) = 128, nên xy 266 V m + b2 c2 Û 2c2 ) y-3 -2 + ( z - - = )( ) x -1 + - x -1 x, y V +b2 + 2ab Û 2c2 D + y2 Û x = y = + b2 = c2 Û c Û c ên : a+b ch ( 267 Bi 268 – ) ( x - -1 + a 'b - ab ' ) +( a 'c - ac' ) +( b 'c - bc' ) =0 -1 ; -H - 49 www.MATHVN.com ... – < Þ kq 0 ,99 9 99 = a Ta s ên c a ch s 24 c) A < Û 68 20 chữ số 9 Mu – a < Þ a2 < a T a < Th < a < suy a < a < V 0 ,99 9 99 = 0 ,99 9 99 24 24 20 chữ số Þ a(a – 1) < Þ a2 20 chữ số 69 a) Tìm giá... Û 4 ỵy - = Theo b a+b 2(y - 2) ab £ àm tr b) 2 ìx = í ỵy = 1 ,b= Ta th 199 7 + 199 6 199 8 + 199 7 199 7 + 199 6 < 199 8 + 199 7 183 a = Nên a < b v 184 a) A = - v max B = b) B = v 185 Xét – ìA v x... - 3x + + (x - 2) 1 79 Gi ình : 180 Gi x -1 = x-2 ình : x + 2x - = + 4x + 2x 1 1 + + + + < 2 (n + 1) n 1 1 182 Cho A = + + + + Hãy so sánh A 1 ,99 9 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 183 Cho s x + y