đề thi thử giúp các bạn tổng hợp lại lượng kiến thức đã học,ngoài ra đề thi thử đại học còn củng cố lại lượng kiến thức mà bạn đã được học nên mình sưu tầm giúp các bạn thử sức mình với các kỳ thi đại học
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 NĂM 2013 TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN – KHỐI A, A1 (180 phút) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 21 1 x y x . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ()C của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ()C biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến đó với ()C cách điểm (0;1)A một khoảng bằng 2. Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình (1 cos )cot cos2 sin sin2x x x x x Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 22 30 ( 1) 3( 1) 2 2 0 x xy x x y xy x y y Câu IV (1,0 điểm) Tính tích phân 2 2 6 cos ln(1 sin ) sin xx I dx x Câu V (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có mặt phẳng ()ABC vuông góc với mặt phẳng ()BCD , tam giác BCD vuông ở D . Biết rằng 15AB a , 33BC a , 6AC a ; góc giữa hai mặt phẳng ()ACD và ()BCD bằng 0 60 . Tính thể tích khối tứ diện ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ()ACD theo a . Câu VI (1,0 điểm) Cho các số thực dương ,xy thỏa mãn 44 1 2x y xy xy . Tìm giá trị lớn nhất của 22 2 2 3 1 1 1 2 P x y xy PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn 22 ( ):( 1) (y 2) 5Cx và đường thẳng : 2 0d x y . Từ điểm A thuộc d kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với ()C tại B và C . Tìm tọa độ điểm A biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 8. Câu VIII.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm ( 1;0;1)A , ( 1;3;2)B , (1;3;1)C . Tìm điểm D thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng ( ): 0P x y z và ( ): 1 0Q y z sao cho thể tích khối tứ diện ABCD bằng 3. Câu IX.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn 2 2 1 ( 1)z z i iz . Tính môđun của 4 1 z z B. Theo chương trình Nâng cao Câu VII.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : 1 0xy và 2 : 7 1 0xy . Viết phương trình đường tròn ()C tiếp xúc với 1 tại (1;2)M và tiếp xúc với 2 . Câu VIII.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ): 2 5 0P x y z và các điểm (3; 1; 3)A , (5;1;1)B . Tìm điểm C thuộc ()P sao cho mặt phẳng ()ABC vuông góc với ()P và diện tích tam giác ABC bằng 3 . Câu IX.b (1,0 điểm) Tìm số phức z biết rằng 23z z i và (1 ) 1 3 (1 3) iz i có một acgumen bằng 6 ĐÁP ÁN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 21 1 x y x . 1. Học sinh tự giải (1,00 điểm) 2. Gọi 0 0 0 21 ; 1 x Mx x , 0 1x là tiếp điểm. Theo đề bài ta có 2MA Hay 22 0 2 2 2 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 2 1 2 1 4 4 ( 2)( 4 6) 0 2 11 x xx x x x x x x x xx (0,50 điểm) Với 0 0x , phương trình tiếp tuyến là (0)( 0) (0)y y x y hay 31yx Với 0 2x , phương trình tiếp tuyến là (2)( 2) (2)y y x y hay 11 33 yx Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là 31yx và 11 33 yx (0,50 điểm) Câu II (1,0 điểm) Điều kiện: sin 0 ,x x k k Khi đó phương trình đã cho tương đương với cos (1 cos ) cos2 sin 2sin cos sin x x x x x x x 2 2 2 cos cos cos2 sin sin 2sin cosx x x x x x x 2 2 2 cos (1 2sin ) cos2 sin cos sin 0x x x x x x cos cos2 cos2 sin cos2 0 cos2 (cos sin 1) 0x x x x x x x x (0,50 điểm) Nếu cos2 0 42 x x k , thỏa mãn điều kiện Nếu 2 1 cos sin 1 0 cos 2 4 4 4 2 2 2 (khoâng thoûa maõn) (thoûa maõn) xk x x x x k xk Vậy phương trình có nghiệm 42 xk , 2 2 xk , k (0,50 điểm) Câu III (1,0 điểm) 2 22 30 ( 1) 3( 1) 2 2 0 (1) (2) x xy x x y xy x y y Điều kiện: 2 2 0 0x y y y Từ (1) ta có 2 3xy x x , thế vào (2) ta được 2 2 2 ( 1) 3( 1) 2 2 6 2 2 2 0x y x x x y y 22 22 2 3 2 ( 2) 0 3 2 1 0 22 yy x y x y xx (0,50 điểm) Từ đây ta có 2 1 2 y x hay 2 2yx Thay vào (1) ta có 2 2 2 ( 2) 3 0 ( 1)( 3) 0 1 3x x x x x x x y Vậy nghiệm của hệ là 1, 3xy (0,50 điểm) Câu IV (1,0 điểm) Đặt sin cosx t xdx dt , khi 1 62 xt , khi 1 2 xt Khi đó 1 2 1 2 ln(1 )t I dt t (0,50 điểm) Đặt 2 ln(1 ) 1 1 dt ut du t dt dv v t t Khi đó 1 11 1 11 2 22 1 3 1 1 ln(1 ) ln2 2ln ( 1) 2 1 dt I t dt t t t t t 11 11 22 27 2ln3 3ln2 ln ln 1 3ln3 4ln2 ln 16 tt (0,50 điểm) Câu V (1,0 điểm) Vì 2 2 2 AB AC BC nên 0 90BAC (1) Kẻ AH BC tại H , vì (1) nên H thuộc đoạn BC . Vì ( ) ( )ABC BCD nên ()AH BCD Kẻ HK CD tại K đường xiên AK CD , từ giả thiết suy ra 0 60AKH Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC 0 1 cos 45 2 ACB ACB AHC vuông cân ở 3 2 3H AH HC a BH BC HC a Vì ,HK BD cùng vuông góc CD nên HK // 1 3 HK CH BD BD CB Mà 0 cot60 3HK AH a BD a , 22 32CD BC BD a 23 1 9 2 1 3 6 2 2 3 2 BCD ABCD BCD aa S BD DC V AH S (0,50 điểm) Kẻ HH AK tại H . Vì ()CD AHK nên ()CD HH HH ACD Từ công thức đường cao của tam giác uông 3 2 a AHK HH (2) Do 3 BC HC nên ; 3 ;d B ACD d H ACD (3) Từ (2) và (3) suy ra 33 ; 2 a d B ACD Chú ý: Ta có thể tính 3 ; ABCD ACD V d B ACD S (0,50 điểm) Câu VI (1,0 điểm) Từ giả thiết ta có 22 1 22xy x y xy Đặt 0xy t ta được 2 3 2 1 2 2 2 (2 1) 0t t t t t t 1 ( 1)( 1)(2 1) 0 ( 1)(2 1) 0 1 2 t t t t t t Với ,0xy và 1xy ta có 22 1 1 2 1 1 1x y xy (1) Thật vậy, 2 22 ( ) ( 1) (1) 0 (1 )(1 )(1 ) x y xy x y xy , đúng do ,0xy và 1xy Khi đó ta có 4 3 4 3 1 1 2 1 1 2 P xy xy t t (2) (0,50 điểm) Xét hàm số 43 () 1 1 2 ft tt trên 1 ;1 2 Ta có 2 2 2 2 2 4 6 5 2 1 1 ( ) 2. 0, ;1 (1 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) 2 tt f t t t t t t Suy ra 1 7 1 ( ) , ;1 2 6 2 f t f t (3) Từ (2) và (3) ta có 7 6 P Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 2 xy và 1 2 x y x y Vậy giá trị lớn nhất của P là 7 6 , đạt được khi 1 2 xy (0,50 điểm) PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VII.a (1,0 điểm) ()C có tâm (1;2)I , 5R . ( ; 2)A d A a a Từ tính chất tiếp tuyến IA BC tại H là trung điểm BC Giả sử ,IA m IH n ( 0mn ) 2 2 2 ,5HA m n BH IB IH n 2 1 . . ( ) 5 8 2 ABC S BC AH BH AH m n n (1) (0,50 điểm) Trong tam giác vuông UIBA có 2 5 .5BI IH IA mn m n (2) Thay (2) vào (1) ta có 2 6 4 2 5 5 8 15 139 125 0n n n n n n 2 4 2 ( 1)( 14 125) 0 1, 5n n n n m Suy ra 22 1 (1; 3) 5 ( 1) ( 4) 25 4 ( 4;2) aA IA a a aA (0,50 điểm) Câu VIII.a (1,0 điểm) Từ giả thiết suy ra tọa độ D thỏa mãn hệ 0 10 x y z yz Đặt yt ta có 21 ( 2 1; ; 1) 1 xt D t t t zt (0,50 điểm) 6 3 11 , . 2 6 3 12 6 6 3 ABCD t t V AB AC AD t t Suy ra ( 11;6;5)D hoặc (25; 12; 13)D (0,50 điểm) Câu IX.a (1,0 điểm) Đặt z a bi ( ,ab ) Từ giả thiết ta có 2 2 1 ( 1) ( 1 )a bi a b i b ai 2 2 1 2( 1) 1 2( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) ab a bi b a b i b a b Suy ra 2 1 2( 1) 2( 1) b b b ( 1b ) 2 21 ( 2)(2 1) 0 11 22 ba bb ba Suy ra 12zi hoặc 11 22 zi (0,50 điểm) Với 12zi ta có 44 1 2 1 2 1 2 5 1 2 2 z i i i i zi Với 11 22 zi ta có 4 1 1 8 1 1 8 7 7 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 z i i i z i i (0,50 điểm) B. Theo chương trình Nâng cao Câu VII.b (1,0 điểm) ()C tiếp xúc với 1 tại 1 ()MC M IM I thuộc đường thẳng 1 d tại M Phương trình : 3 0 ( ;3 )d x y I a a , 12R IM a (0,50 điểm) ()C tiếp xúc với 2 nên 2 3 ( 3;6), 4 2 6 22 , 1 2 2 52 (2;1), 2 a I R a d I R a a IR Suy ra 22 ( ):( 3) ( 6) 32C x y hoặc 22 ( ):( 2) ( 1) 2C x y (0,50 điểm) Câu VIII.b (1,0 điểm) Mặt phẳng ()Q chứa AB và vuông góc với ()P nên có vectơ pháp tuyến , (1;1; 1) QP n AB n Suy ra ( ): 5 0Q x y z Từ giả thuyết suy ra C thuộc giao tuyến của ()Q và ()P Suy ra tọa độ C thỏa mãn 50 2 5 0 x y z x y z (0,50 điểm) Đặt 0 ( ;0; 5) 5 y x t C t t zt 2 5 (5;0;0) 11 , 3(2 8) 4 3 3 4 1 3 (3;0; 2) 22 ABC tC S AB AC t t t tC (0,50 điểm) Câu IX.b (1,0 điểm) Ta có 22 1 1 1 3 1 1 3 (1 3) cos sin 4 2 3 3 1 3 (1 3) (1 3) (1 3) i i i ii i Đặt (cos sin )z r i , 0r Khi đó (1 ) cos sin 2 3 3 1 3 (1 3) i z r i i Theo bài ra ta có 3 6 6 Suy ra 3 22 rr zi (0,50 điểm) Từ giả thiết của bài toán ta có 3 33 22 rr i r ri i 2 2 2 2 2 2 2 3 3( 1) ( 1) 4( 1) 2 22 2 3 r rr r r r r Từ đó ta có 3zi , 31 33 zi (0,50 điểm)