Bài tập HÌNH KHÔNG GIAN

Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 1 CÁC BÀI TOÁN HÌNH CHỌN LỌC 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết 1 cos 6 α = (Đại học khối A – 2006) Giải a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ thì tọa độ các điểm là: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1; 0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1; 1), M( 1 2 ; 0; 0), N( 1 2 ; 1; 0) Ta có ( ) ( ) 1 A'C 1;1; 1 ,MN 0;1;0 ,A'M ;0; 1 2   = − = = −        ( ) ( ) 2 2 2 A'C,MN 1;0;1 1 1 A'C,MN .A'M 1 2 d A'C,MN 2 2 1 0 1 A'C,MN   =   −     ⇒ = = =   + +          1 b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos 6 α α = A'C có qua A'(0;0;1) VTCP là A'C (1;1; 1) x -y 0 x y z 1 nên pt chính tắc A'C là pt tổng quát A'C là y z 1 0 1 1 1 Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì mp (P) chứa A'C nên pt mp (P) dạng = − =  − = = ⇒  + − = −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Oxy 2 2 2 2 2 2 2 2 1 A x - y B y z -1 0 A B 0 Ax B A y Bz B 0 Mp Oxy có pt là z 0 n 0;0;1 B 1 Ycbt cos cos (P),(Oxy) 6 A B A B A 2B 6B 2A 2AB 2B A AB 2B 0 A B A 2B. Chọn B 1,A 2 pt mp (P ) :2x y z 1 0 A B. + + = + ≠ ⇔ + − + − = = ⇒ = ⇒ α = = = + − + =  ⇔ = − + ⇔ − − = ⇔  = −  − = = = ⇒ − + − = − = −  2 Chọn B 1,A 1 pt mp (P ) :x 2y z 1 0= − = ⇒ − − + = z A B(1; 0; 0) C D(0; 1; 0) A’(0; 0; 1) B’ C’ D’ y x M N Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 2 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2 x 1 2t x y 1 z 2 d : và d : y 1 t 2 1 1 z 3 = − +  − +  = = = +  −  =  a) Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau. b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 . (Đại học khối A – 2007) Giải a) Chứng minh d 1 và d 2 chéo nhau. ( ) ( ) 1 2 d qua A(0;1; 2) có VTCP là a (2; 1;1),d qua B( 1;1;3) có VTCP là b (2;1;0) Ta có : a,b 1;2;4 0 a và b không cùng phương (1) AB -1;0;5 , a,b .AB 1 0 20 21 0 3 vectơ a, b − = − − =   = − ≠ ⇒     = = + + = ≠ ⇒               1 2 , AB không đồng phẳng (2) Từ (1) & (2) d và d chéo nhau⇒   b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 x 2y 2 0 x 2y 3 0 Ta có PTTQ của d : ,d : y z 1 0 z 3 0 chứa d chứa d Ta có d mp : ,d mp : P P Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng : A x 2y 2 B y z 1 0 A B 0 Ax 2A B y Bz 2A B + − = − + =     + + = − =   α β    ⊂ α ⊂ β   α ⊥ β ⊥     − α α α + − + + + = + ≠ ⇔ + + + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P 2 2 2 P 0 Ycbt n .n 0 7A 2A B 4B 0 9A 3B 0 B 3A Chọn A 1 B 3 : pt : x 5y 3z 1 0 Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng : M x 2y 3 N z 3 0 M N 0 Mx 2My Nz 3M 3N 0 Ycbt n .n 0 7M 2M 4N 0 5M 4N 0 Chọn α β ⇒ = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ = = ⇒ = α + + + = − β β β − + + − = + ≠ ⇔ − + + − = ⇒ = ⇔ − − = ⇔ − =     ( ) ( ) ( ) 1 2 M 4 N 5 : pt : 4x 8y 5z 3 0 x 5y 3z 1 0 Vậy ptđt d: 4x 8y 5z 3 0 Ro õ ràng : d cắt d tại M 2;0; 1 ,cắt d tại N 5; 1;3 nên ta nhận pt đt d trên = ⇒ = β − + − = + + + =   − + − =  − − − 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng: 1 2 x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1 d : ,d : 2 1 1 1 2 1 − + − − − + = = = = − − a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1 . b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d 1 và cắt d 2 . (Đại học khối D – 2006) Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 3 Giải a) Tìm tọa độ A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1 ( ) 1 1 P d1 Trước tiên ta tìm H - hình chiếu vuô ng góc của A lên d Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d thì (P) có VTPT là n =a = 2; 1;1 Vậy pt mp (P) dạng : 2x y z m 0. Vì (P) q − − + + =   ( ) ( ) A A' H A A' H A A' H ua A(1;2;3) nên 2 2 3 m 0 m 3 2x y z 3 0 Vậy pt mp (P) là : 2x y z 3 0 H thỏa H 0; 1;2 x 2 y 2 z 3 2 1 1 x x 2x H là trung điểm của AA' nên y y 2y A' 1; 4;1 z z 2z − + + = ⇔ = − − + − =   − + − = ⇒ ⇔ −  − + − = =   − + =   + = ⇔ − −   + =  b) Viết phương trình đường thẳng ∆ ∆∆ ∆ đi qua A, vuông góc với d 1 và cắt d 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 (P) qua A (Q) chứa d mp P , mp(Q) (P) d (Q) qua A 2x y 3 0 Viết pt mp (Q) : Ta có PTTQ của d : x z 0 Vì (Q) chứa d nên pt mp (Q) dạng : A 2 x y 3 B x z 0 A B 0 2A B x Ay Bz 3A 0 (Q) qua A(1;2;   ∆ ⊂ ∆ ⊂   ⊥   + − =   + =  + − + + = + ≠ ⇔ + + + − = ( ) 2 3) nên 2A B 2A 3B 3A 0 A 4B 0 Chọn B 1,A 4, ta được pt mp (Q) : 7x 4y z 12 0 2x y z 3 0 Vậy pt đt : 7x 4y z 12 0 Ro õ ràng cắt d tại M 2; 1; 2 nên nhận pt đt trên + + + − = ⇔ + = = − = + − − = − + − =  ∆  + − − =  ∆ − − ∆ 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 . Biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B 1 (-a;0;b), a>0, b>0 a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B 1 C và AC 1 theo a và b. b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn a+ b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B 1 C và AC 1 đạt giá trò lớn nhất. (Đại học khối D – 2004) Giải a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng B 1 C và AC 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 B1 B C1 C C1 B1 B C1 C C1 1 B1 B C1 C C1 1 1 1 1 ABC.A B C là hình lăng trụ đứng nên ta có : BB CC x x x x x 0 y y y y y 1 C 0;1;b z z z z z b B C a;1; b ,AC a;1; b , B C,AC 2b;0; = − = − =     ⇔ − = − ⇔ = ⇒     − = − =     = = − =         ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2a ,AC a;1;0 B C,AC .AC 2ab ab d B C,AC 4a 4b a b B C,AC = −   −   = = =   + +         Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 4 b) Tìm a và b để khoảng cách giữa hai đường thẳng trên đạt giá trò lớn nhất 2 2 2 2 max Áp dụng BĐT Cau chy : a b 2 ab ab ab 1 1 a b nên a b 2ab ab 2(Vì a b 4) 2 2ab 2 2 a b Vậy d 2 khi a b 2 + ≥ + + ≥ ⇒ ≤ = ≤ = + = + = = = 5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng x 2y z 9 0 d 2y z 5 0 − + − =   + + =  Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, cắt đường thẳng d theo 1 dây cung AB có độ dài bằng 16 Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 pt mặt cầu (S) tâm I, bán kính R là : x 1 y 1 z 1 R AB Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB. Vậy R IA IH HA với HA 8;IH d I,d 2 x z 9 x 14 Trong đt d cho y 0, ta được M 14 z 5 z 5 − + − + − = ⊥ = = + = = = + = =   = ⇔ ⇒   = − = −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d 1 2 d 2 d d d ;0; 5 d IM 13; 1; 6 n 1; 2;1 d có cặp VTPT là d có VTCP là a n ,n 4 ; 1;2 a 16 1 4 21 n 0;2;1 a ,IM 8; 2; 17 a ,IM 64 4 289 357 a ,IM IH − ∈ ⇒ = − −  = −    ⇒ = = − − ⇒ = + + =    =       = − − − ⇒ = + + =     =              ( ) ( ) ( ) 2 d 2 2 2 357 17 R 17 64 81 21 a Vậy pt mc (S) là x 1 y 1 z 1 81     = = ⇒ = + = − + − + − =   6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;1;1), mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 = 100. Viết phương trình đường thẳng d qua M, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo dây AB thỏa MA = MB. Giải ( ) ( ) = < ⇒ ⊂ = = ⊥ = =     P d P Mặt cầu (S) có tâm O, bán kính là 10, OM 3 R M ở trong mặt cầu Vì d mp(P) nên n 1;2;3 là 1 VTPT của d MA MB nên OM AB nên OM 1;1;1 là 1 VTPT của d Vậy d có VTCP là a n ( ) ( ) − − −   = − − = =   − −  x 1 y 1 z 1 ,OM 1;2; 1 mà d qua M 1;1;1 nên pt đt d : 1 2 1 7) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng x 1 y 2 z : 1 1 2 − + ∆ = = − a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ nhất. (Đại học khối D – 2007) Giải Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 5 a) Viết phương trình đường thẳng d qua G, vuông góc mp(OAB) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O A B G O A B G O A B G d x x x x 0 3 y y y G là trọng tâm OAB nên G thỏa y 2 G 0;2;2 3 z z z x 2 3 mp(OAB) có cặp VTCP là OA 1;4;2 ,OB 1;2; 4 n 12; 6;6 6 2; 1;1 d mp(P) nên a n 2; 1;1 mà d + +  = =   + +  ∆ = = ⇒   + +  = =   = = − ⇒ = − = − ⊥ = = −      x y 2 z 2 qua G nên pt đt d : 2 1 1 − − = = − b) Tìm M∈ ∈∈ ∈∆ ∆∆ ∆ để MA 2 + MB 2 nhỏ nhất ( ) 2 2 2 2 2 2 P AB Gọi E là trung điểm của AB thì MA MB 2ME 2 Vậy MA MB min ME min M H hình chiếu của E lên đt E là trung điểm AB nên E 0;3;3 ;Gọi (P) là mp qua E và vuông góc đt thì n a ∆ + = + + ⇔ ⇔ ≡ − ∆ ∆ = =   ( ) ( ) 1;1;2 pt mp (P) : x y 2z m 0.(P) qua E nên 3 6 m 0 m 9 pt mp (P) : x y 2z 9 0 x 1 x y 2z 9 0 Vậy H thỏa y 0 M 1;0;4 x 1 y 2 z z 4 1 1 2 − ⇒ − + + + = + + = ⇔ = − ⇒ − + + − = = −  − + + − =    ⇔ = ⇒ −  − + = =   = −   8) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : 1 2 x 1 t x 2y z 4 0 : và : y 2 t x 2y 2z 4 0 z 1 2t = +  − + − =   ∆ ∆ = +   + − + =   = +  a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ 1 và song song với đường thẳng ∆ 2 . b) Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆ 2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. (Đại học khối A – 2002) Giải a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ ∆∆ ∆ 1 và song song với đường thẳng ∆ ∆∆ ∆ 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 n 1; 2;1 có cặp VTPT là có VTCP là a = n ,n 2;3;4 n 1;2; 2 x 2y 4 x 0 Trong cho z 0, ta được qua A 0; 2;0 x 2y 4 y 2 Vì mp (P) chứa nên a = 2;3;4 la  = −    ∆ ⇒ ∆ =    = −   − = =   ∆ = ⇔ ⇒ ∆ −   + = − = −   ∆       ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 ø 1 VTCP của (P) (P) có VTPT là n a ,a 2;0; 1 mp (P) // nên a = 1;1;2 là 1 VTCP của (P) pt mp (P) dạng : 2x z m 0. (P) qua A 0; 2;0 nên m 0. Vậy pt mp (P) là : 2x z 0     ⇒ = = −    ∆   ⇒ − + = − = − =     b) Tìm H ∈ ∈∈ ∈ ∆ ∆∆ ∆ 2 để MH nhỏ nhất. Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 6 ( ) 2 2 2 Q 2 Kẻ ME . Ta có ME MH. Vậy MH min MH ME H E hì nh chiếu của M xuống Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc với thì (Q) có VTPT là n a 1;1;2 pt mp (Q) dạng : x y 2z m 0. Vì (Q) qua ⊥ ∆ ≤ ⇔ = ⇔ ≡ − ∆ ∆ = = ⇒ + + + =   ( ) ( ) M 1;2;4 nên m 11 Vậy pt mp (Q) : x y 2z 11 0 x 1 t x 2 y 2 t H thỏa : y 3 H 2;3;3 z 1 2t z 3 x y 2z 11 0 = − + + − = = +  =   = +   ⇔ = ⇒   = +   =   + + − =  9) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0); A’(0;0;b) (a>0, b>0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’. a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. b) Xác đònh tỉ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. (Đại học khối A – 2003) Giải a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M Tọa độ của các điểm là : A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0) A’(0;0;b), B’(a;0;b), C’(a;a;b), D’(0;a;b), M(a;a; b 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 BDA'M b Ta có : BD a;a;0 ,BA' a;0;b ,BM 0;a; 2 a b 3a b BD,BA' ab;ab;a , BD,BA' .BM a b 2 2 1 1 3a b a b V BD,BA' .BM 6 6 2 4   = − = − =         = = + =       = = =              b) Xác đònh tỉ số a b để 2 mp (A’BD) và (MBD) vuông góc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 (A'BD) có cặp VTCP A'B a;0; b ,A'D 0;a; b 2 (A'BD) có VTPT n A'B,A'D ab;ab;a a b;b;a 1 b (MBD) có cặp VTCP MB 0; a; ; BD a;a;0 2 (MBD) có VTPT n MB − = − = −   ⇒ = = =   −   − = − = −     ⇒ =          ab ab b b 2 ,BD ; ; a a ; ; a 2 2 2 2 2 2 b a b b a 2 2 2 Để 2 mp trên vuông góc thì n .n 0 a 0 b a 0 1 1 2 b a(loại a, b 0) 2 2 b a KL : 1 thì 2 mp(A'BD) và (MBD) vuông góc b       = − = −           =  = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ ⇔ =  = − >  =    A B(a; 0; 0) C D(0; a; 0) A’(0; 0; b) B’ C’ D’ y x M z Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 7 10) Tìm m để hai mặt phẳng sau song song : mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 và mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0 Giải ( ) ( ) ( ) ( ) P Q 2 2 P Q P Q 2 2 Ta có : n 2;m;3 và n m 3;2;5m 1 Để mp(P) // mp (Q) thì n // n n ,n 0 5m m 6; 7m 7 ;4 m 3m 0;0;0 5m m 6 0 7m 7 0 m 1 4 m 3m 0 Với m 1: mp(P): 2x y 3z 5 0,mp(Q) : 4x 2y 6z = = + +   ⇔ = ⇔ + − − + − − =    + − =  ⇔ − + = ⇔ =   − − =  = + + + = + + −       10 0 \ Nhận thấy mp (P) // mp (Q) nên nhận m 1 = = 11) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : ( ) 2S abc a b c ≥ + + (Dự bò 2 – Đại học khối D – 2003) Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là : A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 BCD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc 1 1 S BC,BD a b a c b c 2 2 đpcm a b a c b c abc(a b c) a b a c b c abc(a b c) Theo BĐT Cauchy ta được : a b +b c 2ab c b c +c a   = − = − =     = = + +   ⇔ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ≥       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)(đpcm) c a a b 2ca b   ≥ + + ≥ + +   + ≥  12) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất. (Đại học khối B – 2007) Giải a) Viết phương trình mp (Q) chứa Ox, cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3 ( ) 2 2 M.cầu (S) có tâm I(1; 2; 1), bán kính R 1 4 1 3 3 y 0 mp (Q) chứa trục Ox nên pt mp (Q) dạng : Ay Bz 0 A B 0 z 0 Vì mp (Q) cắt (S) theo 1 đường tròn bán kính bằng 3 nên (Q) phải qua tâm − − = + + + = =  + = + ≠  =  I của m.c Vậy 2A B 0. Chọn A 1,B 2,ta được pt mp (Q) : y 2z 0− − = = = − − = z y x A B C D Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 8 b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp (P) là max ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Gọi d là đường thẳng qua I và vuôn g góc với mp (P). d cắt m.c tại A va ø B. Nếu d A,mp(P) d B,mp(P) thì d M,mp(P) max khi M A x 1 y 2 z 1 d có VTCP là a 2; 1;2 ,qua I nên ptđt d là 2 1 2 Gọi l > ≡ − + + = − = = − α  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 à tiếp diện của m.c (S) và // mp (P) thì pt dạng: 2x y 2z m 0 m 2 9 m 7 2 2 2 m Để tiếp xúc m.c (S) đk là d I,mp( ) R 3 m 2 9 m 2 9 m 11 4 1 4 Với m 7,ta có pt : 2x y 2z 7 0. d cắt α − + + = + = = + − +   α α = ⇔ = ⇔ + = ⇔ ⇔   + = − = − + +   = α − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2x y 2z 7 0 tại A thỏa hpt A 1; 1; 3 x 1 y 2 z 1 2 1 2 2x y 2z 11 0 Với m 11,ta có pt : 2x y 2z 11 0. d cắt ta ïi B thỏa hpt B 3; 3;1 x 1 y 2 z 1 2 1 2 2 1 6 14 Ta có d A,mp(P) 7, 4 1 4 − + + =   α ⇒ − − −  − + + = =  − − + − =   = − α − + − = α ⇒ −  − + + = =  −  − + − − = = + + ( ) ( ) ( ) 6 3 2 14 d B,mp(P) 1. 4 1 4 Vậy d M,mp(P) max khi M A 1; 1; 3 + + − = = + + ≡ − − − 13) Tìm a, b để 3 mặt phẳng sau cùng chứa một đường thẳng : Mp (P) : 5x + ay + 4z + b = 0 , mp (Q) : 3x – 2y + z – 3 = 0 , mp (R) : x – 2y – 2z + 5 =0 Giải 3x 2y z 3 0 Gọi d là giao tuyến của mp (Q) và mp (R) thì pt đt d là : x 2y 2z 5 0 Để 3 mp trên cùng chứa 1 đt thì mp (P) phải chứa đường d 9 5 Ta thấy đường d qua 2 điểm : A 4; ;0 ,B 2 − + − =   − − + =        11 ; ;1 2 4 9 20 a b 0 a 2 2 Để mp (P) chứa đường d thì A,B mp(P) 25 11 b 11 a 4 b 0 2 4        + + =  = −   ∈ ⇒ ⇔   = −   + + + =   14) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : 1 2 x 1 t x 2 t : y t và : y 4 2t z 4t z 1 = − = −     = = +     = =   d d Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) : y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d 1 và d 2 . (Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng – 2007) Giải Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 Gọi A d P ,ta thế x,y,z vào pt mp (P) : t 8t 0 t 0 A 1;0;0 Gọi B d P ,ta thế x,y,z vào pt mp (P) : 4 2t 2 0 t 3 B 5; 2;1 d (P) cắt cả d và d nên d qua A và B. Với VTCP AB 4; 2;1 ,ta được = + = ⇔ = ⇒ = + + = ⇔ = − ⇒ − ⊂ = − ∩ ∩  x 1 y z pt đt d : 4 2 1 − = = − 15) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi có tâm O, A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh bên SA. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM. b) Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tính thể tích khối tứ diện SCMN. (Đại học Sài Gòn – Khối A – 2007) Giải a) Khoảng cách giữa SC và DM Ta có tọa độ các điểm S(0;0; 2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SC 2;0; 2 2 ,DM 1;1; 2 ,SD 0; 1; 2 2 , SC,DM 2 2;0; 2 SC,DM .SD 4 2 4 2 2 6 Vậy d SC,DM 3 12 2 3 SC,DM   = − − = = − − = −       = = = =               b) Tính V SCMN . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mp(CDM) có cặp VTCP là CD 2; 1;0 ,CM 3;0; 2 (CDM) có VTPT là n CD,CM 2; 2 2;3 pt(CDM) d ạng : 2x 2 2y 3z m 0 (CDM) qua C 2;0;0 nên m 2 2 pt CDM : 2x 2 2y 3z 2 2 0 SB 0;1; 2 2 pt đ = − =   = = − − ⇒ − − + + =   − = − ⇒ − − + − = = − ⇒       { } ( ) ( ) ( ) ( ) SCMN x 0 1 t SB: y 1 t .Vì N SB CDM nên ta có tọa độ N 0; ; 2 2 z 2 2t 1 SC 2;0; 2 2 ,SM 1;0; 2 ,SN 0; ; 2 , SC,SM 0;4 2;0 , SC,S M .SN 2 2 2 1 V SC,SM . 6  =    = + =       = −        = − − = − = − = =           =   ∩           1 2 SN .2 2 (đvtt) 6 3 = =  16) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;-3), đường thẳng d : x 3 y 1 z 5 2 1 2 − − − = = và mặt phẳng (P) : x + y – z – 1 = 0. a) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P). b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3 . (Cao đẳng kinh tế – 2007) Giải a) Viết phương trình đường thẳng ∆ ∆∆ ∆ qua A, vuông góc d và // (P) Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d P d P d nên có 1 VTPT là a 2;1;2 // mp(P) nên có 1 VTPT là n 1;1; 1 có VTCP là a a ,n 3;4;1 x 2 y 1 z 3 qua A 2;1; 3 nên pt đt : A P nên //(P) 3 4 1 ∆ ∆ ⊥ ∆ = ∆ ∆ = −   ⇒ ∆ = = −   − − + ∆ − ∆ = = ∉ ∆ −      b) Tìm tọa độ M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 x 3 2t Ta có pt đt d y 1 t .Vì M d nên M 3 2t;1 t;5 2t z 5 2t t 2 3 t 5 3 2t 1 t 5 2t 1 d M,mp(P) 3 t 2 3 t 2 3 t 1 1 1 1 Vậy M 13;6;15 ,M 1;0;3 = +   = + ∈ + + +   = +  − = = + + + − − −   = = ⇔ − = ⇔ ⇔   − = − = − + +   17) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – y + z + 3 = 0 và hai điểm A(-1;-3;-2) ; B(-5;7;12). a) Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). b) Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : MA + MB (Dự bò 2 – Đại học khối A – 2002) Giải a) Tìm A’ – đối xứng với A qua (P) ( ) Gọi d là đường thẳng qua A và vuôn g góc với mp (P) thì x 1 y 3 z 2 pt đt d : 1 1 1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp (P) thì x 1 y 3 z 2 H thỏa hệ H 2; 2; 3 1 1 1 x y z 3 0 H là + + + = = − + + +  = =  ⇒ − − − −   − + + =  ( ) A A' H A A' H A A' H x x 2x trung điểm AA' nên y y 2y A' 3; 1; 4 z z 2z + =   + = ⇒ − − −   + =  b) Tìm min(MA + MB) ( ) ( ) A B Thế tọa độ A, B vào pt mp (P) ta đươ ïc 3, 3. Vậy AB nằm cùng phía với mp (P) A' là đối xứng của A qua mp (P) nên MA MA' MA MB MA' MB A'B MA MB 18 (A'B 2;8;16 ) Min MA MB 18 khi M A ' ρ = ρ = = + = + ≥ ⇒ + ≥ = − + = =  ( ) (P) : x y z 3 0 B mp (P) M thỏa hệ M 4;3;4 x 3 y 1 z 4 A'B: 1 4 16 − + + =   ∩ ⇒ ⇒ − + + + = =  −  A H A’ M B P [...]... trung điểm AB thì : MA + MB = 2ME ⇔ MA + MB = 2ME ⇒ MA + MB min ⇔ ME min ⇔ M ≡ H : hình chiếu của E lên mp (P) E là trung điểm AB nên E ( 5;2;5) Gọi d là đường thẳng qua E và vuông góc mp (P) pt d : x−5 y−2 z−5 = = {E} = d ∩ (P) ⇒ M ≡ E ( 0; −3; 0 ) 1 1 1 Toán 12 – Hình học không gian 16 Trần Quang Thuận 29) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng : x = 1 + t x y −1... x − 5 y z + 25 = = 1 1 −1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) đạt giá trò lớn nhất 20) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;3;-1), đường thẳng d : Giải Toán 12 – Hình học không gian 12 Trần Quang Thuận Kẻ AH ⊥ (P), AE ⊥ d, ta có : AH ≤ AE ⇒ AH max ⇔ AH = AE ⇔ H ≡ E Vậy mp (P) cần tìm phải vuông góc với AE Gọi (α) là mp qua A và ⊥... nên m = −6 ⇒ pt mp (MNPQ) : 6x + y + 3z − 6 = 0 Toán 12 – Hình học không gian 13 Trần Quang Thuận x = 2 − 2t  AB qua A có VTCP là AB = ( −2;3; 0 ) ⇒ pt đt AB : y = 3t z = 0  {Q} = AB ∩ (MNPQ) nên : 6 ( 2 − 2t ) + 3t − 6 = 0 ⇔ t = 2 2  ⇒ Q  ; 2; 0  3 3  2 2 13 AQ 2  4 AB = 4 + 9 = 13, AQ =  −  + 4 = ⇒ = 3 AB 3  3 23) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : x + y − z... −5; 0; −5 ) ,OB = (12; 0;10 ) , OA,OB = ( 0; −10; 0 ) SOAB = 1  1 OA, OB = 2 10 = 5(đvdt) 2 x + y − z − 2 = 0   x + 3y − 12 = 0 ⇒ B (12; 0;10 ) y = 0  Toán 12 – Hình học không gian 14 Trần Quang Thuận 24) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng : x y−2 z+4 x + 8 y − 6 z − 10 d1 : = = , d2 : = = 1 −1 2 2 1 −1 a) Cho A ∈ d1, B ∈ d2 AB vuông góc với d1 và d2 Viết phương trình... = AC2 ⇔ 45 = ( −2t − 1) + ( 2t + 4 ) + ( t − 1)  t = 1 ⇒ C1 (1;8; 2 ) ⇔ 9t 2 + 18t + 18 = 45 ⇔ 9t 2 + 18t − 27 = 0 ⇔   t = −3 ⇒ C2 ( 9; 0; −2 )  2 15 Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 2x − 2y − z + 1 = 0 26) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng d :  x + 2y − 2z − 4 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0 Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu...11 Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 18) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) và D(4;-2;1) Tìm M∈AB, N∈CD sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất Giải  x = −1 + t  AB = (1;1; −2 ) , pt đt AB... (P) ⇒ pt (P) dạng : −5x − 11y − 16z + n = 0 (P) qua E ( −3; −8; −17 ) nên 15 + 88 + 272 + n = 0 ⇔ n = −375 ⇒ pt mp (P) :5x + 11y + 16z + 375 = 0 21) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho tọa độ các điểm B(1;1;0), D(0;0;m) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng BD Tìm m để diện tích tam giác OBH đạt giá trò lớn nhất Giải 1 a2 + b 2 1 HO2 + HB2 ⇒S≤ S = HO.HB Áp dụng BĐT Cauchy:a.b... mp (P) Gọi H là hình chiếu của A lên mp (P) Gọi d là đường thẳng qua A, vuông góc mp (P) x −1 y + 3 z = = {H} = d ∩ (P) nên H ( 2; −2;1) A' là đối xứng của A qua (P) ⇒ A' ( 3; −1;2 ) 1 1 1 x − 5 y +1 z + 2 A ' B qua B có VTCP là AB = ( 2; 0; −4 ) = 2 (1; 0; −2 ) ⇒ pt A ' B : = = 1 0 −2 ⇒ pt d : {M} = A ' B ∩ (P) ⇒ M ( 6; −1; −4 ) Max MA − MB = A ' B = 4 + 16 = 2 5 28) Trong không gian với hệ tọa độ... ⇔ m = −33 25) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(4;2;2), B(0;0;7) và đường thẳng x − 3 y − 6 z −1 d: = = −2 2 1 Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB thuộc cùng một mặt phẳng Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A (Dự bò 1 – Đại học khối B – 2004) Giải   ad = ( −2; 2;1) , AB = ( −4; −2; 5) ,  ad , AB = (12; 6;12 ) ≠ 0 ⇒ d và AB không cùng phương d qua... z D = 6 6  Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC AD = ( −2;1; 0 ) ⇒ AD = 5  4 5 JB AB 3 3 3 9+ 5  = = ⇒ JB = JD ⇒ JB = − JD ⇒ J  ; 0;   3+ 5 JD AD 5 5 5 3+ 5    Toán 12 – Hình học không gian M i th c m c liên quan t i chun 17 xin vui lòng liên h theo s máy : 091.56.57.952 By: Tr n Quang Thu n-Khoa Tốn- HSPHN Email: aspvietnam_netuk@yahoo.com Trần Quang Thuận . Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 1 CÁC BÀI TOÁN HÌNH CHỌN LỌC 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;. D(0; 1; 0) A’(0; 0; 1) B’ C’ D’ y x M N Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 2 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2 x 1 2t x y 1 z 2 d. khối D – 2006) Toán 12 – Hình học không gian Trần Quang Thuận 3 Giải a) Tìm tọa độ A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1 ( ) 1 1 P d1 Trước tiên ta tìm H - hình chiếu vuô ng góc của