Đồ án Tịnh Tiến và Đối Xứng

TỊNH TIẾN & ĐỐI XỨNG Nhóm 4 & 5 toán 4A Giảng viên phụ Trách bộ môn: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Các thành viên nhóm 4: Các thành viên nhóm 5: Nguyễn Thị Mỹ Dung Thạch Thị Diệu Phan Thị Bích Hà Da Gout K' Gam Võ Thị Mỹ Linh Nay H’Hậu Lương Thị Hồng Liên Thạch Minh Hoàng Châu Hạ Long Lê Đình Huy Nguyễn Thị Ngọc Trà My Nông Thị Thu Huyền Trần Thị Xuân Mừng Danh Thị Kim Loan Huỳnh Nguyễn Thảo Ngân Hoàng Thị Loan Bá Thanh Luận Thạch Thị Ngọc Mai TỊNH TIẾN & ĐỐI XỨNG Nhóm 4 & 5 toán 4A Giảng viên phụ Trách bộ môn: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Các thành viên nhóm 4: Nguyễn Thị Mỹ Dung - Phan Thị Bích Hà - Võ Thị Mỹ Linh - Lương Thị Hồng Liên - Châu Hạ Long - Nguyễn Thị Ngọc Trà My - Trần Thị Xuân Mừng - Huỳnh Nguyễn Thảo Ngân Các thành viên nhóm 5: Thạch Thị Diệu - Da Gout K' Gam - Nay H’Hậu - Thạch Minh Hoàng - Lê Đình Huy - Nông Thị Thu Huyền - Danh Thị Kim Loan - Hoàng Thị Loan - Bá Thanh Luận - Thạch Thị Ngọc Mai Mục lục Bài tập về tịnh tiến và đối xứng 1 Bài tập bổ sung 22 Bài tập phép tịnh tiến 22 Bài tập về phép đối xứng: 31 Nhóm 4 & 5 toán 4A 1 Bài tập về tịnh tiến và đối xứng Bài 1: a) Xác định phép biến hình: f = Đ D Đ C Đ B Đ A . b) Tìm điều kiện để f = Id, suy ra cách xác định phép biến hình f = Đ C Đ B Đ A . Giải: D C B A 2CD 2AB 2(CD AB) 2(CD AB) a) Ta coù: f = Ñ Ñ Ñ Ñ T T T b) Coù f = Id T Id 2(CD AB) = 0 CD AB            C B A C C 2AB 2DC 0 CD BA ABCD laø hình bình haønh. Do ñoù f = Ñ Ñ Ñ = Ñ T = Ñ T =      C C D D C C Ñ Ñ Ñ = Ñ (do Ñ Ñ = Id) Bài 2: Trên hai đường tròn bằng nhau (O); (O’) lần lượt lấy hai cung AM và A’M’ bằng nhau nhưng khác hướng với A; A’ cố định còn M; M’ thay đổi. Tìm quỹ tích trung điềm đoạn MM’. Giải: Ý tưởng: Gọi I là trung điểm MM’. Để tìm quỹ tích điểm I, ta tìm một đường cố định đi qua I. Cụ thể I thuộc đường thẳng là ảnh của một đường cố định qua phép biến hình xác định. Giải: Ta có : O, O’, A, A’cố định. 1 OO' 1 11 Xét T : A A M M A M = AM = A'M'  TH1: 1 A' A Nhóm 4 & 5 toán 4A 2 Khi 1 M' M : Qua O’ kẻ đường kính BC A 1 A’ Gọi J = BC M 1 M’. Do A 1 A’ // M 1 M’ (hai dây cung chắn hai cung bằng nhau) Nên BC M 1 M’ tại J Suy ra : J là trung điểm M 1 M’. Xét Δ M M 1 M’, có : 1 11 JI M M O'O 22    Suy ra: 1 O'O 2 I T (J)  Mà J thuộc BC là một đường thẳng cố định Nên I thuộc vào tập ảnh của BC qua 1 O'O 2 T (J)  Suy ra quỹ tích điểm I lthuộc vào ảnh của BC qua 1 O'O 2 T (J)  Khi 1 M' M : Lúc đó 1 M' M J nên I thuộc vào tập ảnh của BC qua 1 O'O 2 T (J)  Khi M ’ , M 1 , M thẳng hàng Ta có: 1 1 M'I = M'M 2 1 M'J = M'M 2 Nhóm 4 & 5 toán 4A 3 Suy ra 1 11 IJ = MM = OO' 22 Nên 1 O'O 2 I T (J)  Nên I thuộc vào tập ảnh của BC qua 1 O'O 2 T (J)  TH2: 1 A' A Khi đó: OO' BC Mà A’O’ M 1 M’ Gọi J = BC M 1 M’. Suy ra : J là trung điểm M 1 M’ Nên 1 11 JI = M M = O'O 22    Do đó: 1 O'O 2 I T (J)  Phần đảo: Lấy I bất kỳ thuộc B’C’ Kẻ IJ // OO’ cắt BC tại J Qua J vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt (O’) tại 2 điểm lần lượt là 1 M , M' sao cho M’ và A’ nằm cùng 1 phía bờ BC Gọi OO' M T (M')  Khi đó 11 JI = - OO' = - MM' 22    Do đó I là trung điểm MM’ Ta thấy 1 A'A // 1 M'M nên 11 A'M' = A M Mà 11 A M = AM do là hình bình hành nên A'M' = AM Nhóm 4 & 5 tốn 4A 4 Vậy quỹ tích điểm I lthuộc là ảnh của BC qua 1 O'O 2 T (J)  Giới hạn: Khi M chạy trên (O) thì J chạy trên đoạn thẳng BC. Do đó, điểm I thuộc B’C’ là ảnh của BC qua 1 O'O 2 T (J)  Bài 3: Cho hình vng ABCD. E là điểm trong hình vng sao cho CDE cân tại E và góc đáy là  15 . Chứng minh ABE đều. Giải: AD AD Lấy F ở ngoài hình vuông ABCD sao cho FCD đều. Xét T : A D B C Ta sẽ chứng minh T :(E) = F Có EC = ED (do ECD cân tại E) EF là trung tr FC = FD (do FCD đều)     ực của CD EF CD EF // AD(1) Mà AD CD (do ABCD là hình vuông)          o o o o o o Ta có: FDE = FDC + CDE = 60 + 15 = 75 FDE=FED 1 1 1 FED = DEC = (180 - EDC - ECD) = (180 - 15 - 15 ) = 75 2 2 2 FDE cân tại F EF = DF EF = CD Có DF = CD (do FCD đều) Mà CD = AD (hình vuông  ABCD) EF = AD(2) F E D A B C Nhóm 4 & 5 toán 4A 5 AD (1)(2) EF AD T (E) = F Maø FCD ñeàu. ABE ñeàu (ñpcm)    Bài 4: Cho ΔABC . Gọi Bx và Cy lần lượt là các tia đối của các tia BA và CA. D và E là các điểm chuyển động lần lượt trên hai tia Bx và Cy sao cho BD = CE. Tìm quỹ tích trung điểm M của DE. Giải: Cách 1: Ý tưởng : Dự đoán qua vẽ hình, quỹ tích của I là một đường thẳng. Do đó, I thuộc đường thẳng là ảnh của một đường cố định qua phép biến hình xác định. Ta có BD = CE mà ở đây không thể thực hiện phép tịnh tiến nào để biến BD thành CE ,nên ta thử đưa hai tia Bx và Cy thành hai tia cùng gốc xem có xuất hiện phép đối xứng trục hay không ! Giải: Xét BC T : B C Bx Cz D F Suy ra : CF = BD =CE Do đó : Δ CFE cân tại C. Gọi N là trung điểm EF. Suy ra : N thuộc phân giác Ct của  yCz Ta có : 11 NM FD CB 22 Suy ra : 1 CB 2 T N M . Mà N thuộc Ct. Suy ra : Quỹ tích điểm M là Mt’ là ảnh của Ct qua 1 CB 2 T (Mt’ // Ct và qua M). y x z t t' N F M E B C A D Nhóm 4 & 5 toán 4A 6 Cách 2: Ý tưởng: Gọi M là trung điểm DE , I là trung điểm BC. Nếu DE BC M I I thuộc quỹ tích điểm M. Giải: Phần thuận: Từ I kẻ Iu // Bx . Trên Iu , xác định K: IK = BD. Khi đó :IBDK là hình bình hành. Từ I kẻ Iv // Cy . Trên Iv, xác định L : IL = CE. Khi đó : ICEL là hình bình hành. Suy ra : KL cắt DE tại trung điểm M ( Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ). Do đó : M là trung điểm KL. Mặt khác Δ IKL cân tại I (IK = IL ) nên IM là đường phân giác của góc  KIL . Nhận thấy KIL = BAC không đổi tại I nên IM cố định. Do đó M thuộc tia phân giác cố định tại Ik của góc  uIv không đổi. Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên tia Ik . Vẽ đường thẳng vuông góc với IM tại I; cắt Iu, Iv lần lượt tại K, L. Từ K, L vẽ các đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D, E. Ta có BIKD, CILE là các hình bình hành. Do đó DK // BI, DK = BI và EL // CI, EL = CI Mà BI = CI nên DK // EL ; DK = EL DKEL là hình bình hành. Mặt khác IKL cân ( IM là phân giác và là đường cao) y x u v k L K M E I A B C D Nhóm 4 & 5 tốn 4A 7 M là trung điểm KL suy ra I là trung điểm DE. Giới hạn: Khi D B E C thì M I Khi D chạy xa vơ tận trên tia Bx thì M chạy xa vơ tận trên tia Ik . Vậy M chuyển động trên tia Ik. Mà BD = IK; CE = IL; IK = IL BD = CE Bài 5: Cho ΔABC . Dựng hình vng BCDE về phía ngồi tam giác. Kẻ các đường thẳng DM và EN vng góc lần lượt với AB và AC. AH là đường cao của ABC . Chứng minh các đường thẳng AH, DM, EN đồng qui. Giải: BE Ta có BCDE hình vuông nên BE = CD Dựng A' sao cho AA' BE. Dựng H' sao cho HH' BE, ta có H' ED T : A A' B E C D H H'            . BE Do đó T : ABC A'ED Theo tính chất phép tònh tiến, ta có: AB // A'E; AC // A'D DM A'E; DN A'C Có DM AB; EN AC Có A'H' ED (do A'H' // AH; AH ED ) Do đó A'H'; DM; EN đồng quy   . Có AH; AA'; HH' cùng vuông góc ED nên A; A'; H; H' thẳng hàng. Vậy AH; DM; EN đồng quy (đpcm) Bài 6: Cho đường tròn (O) với đưởng kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm MPQ và NPQ . H' A' H M N D E B C A [...]... NC = 2NH Mà BG = NH (c/m trên) Vậy MB = NC (đpcm) Cách 4: Ý tưởng sử dụng trục đối xứng AID Chứng minh A, I, D thẳng hàng: (tương tự như cách 3) Nhận xét AID là trục đối xứng của (IBC) và chia (IBC) làm hai nửa đường tròn C1 (chứa B và M) và C 2 (chứ C và N) đối xứng nhau  Do AID là phân giác của BAC nên ABM và ANC đối xứng nhau qua AID Mà B, M ABM C, N ANC (C1 ) (C2 ) Nên BM = CN Bài 13: Cho ABC... đó: d1; d 2 ; d 3 ; d 4 đồng quy d'1; d'2 ; d'3 ; d'4 đồng quy Giả sử d'1; d'2 ; d'3 ; d' 4 đồng quy tại O Khi đó ta có OA = OB = OC = OD nên tứ giác ABCD nội tiếp Bài 10: Cho đường tròn tâm O bán kính l và n điểm A1; A2; An với n > 2 Chứng minh rằng tồn tại điểm M trên (O) sao cho: n i 1 MA i n Giải: Ý tưởng: Sử dụng phép đối xứng tâm Giải: Lấy M bất kỳ thuộc (O) Gọi M’ đối xứng với M qua O thì ta... nhỏ nhất M1M 2 M1 , B, M và M, C, M 2 thẳng hàng Cách dựng: B là giao của MM1 với x C là giao của MM 2 với y   A là ảnh của B trong phép tịnh tiến BA   D là ảnh của B trong phép tịnh tiến CD Bài 17: Gọi C1; C2 là các điểm đối xứng của đỉnh C của ABC qua các phân giác   trong của BAC và ABC Chứng minh rằng trung điểm của C C là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC và cạnh AB Giải: 20 1 2... qua tích các phép đối xứng SB1 SB2 SBm Mà ta có tích một số lẻ các phép đối xứng qua tâm là một phép đối xứng qua tâm, tức là tích đó chỉ có một điểm bất biến duy nhất Điểm đó có thể dựng được, đó chính là trung điểm của đoạn thẳng nối X và điểm SB SB SB (X) , 1 2 m do đó X là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng Bài 9: Chứng minh rằng một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi các đường... thẳng AB và AC hai dây cung Chứng minh rằng hai dây này có độ dài bằng nhau Giải: Cách 1: 13 Nhóm 4 & 5 tốn 4A Ý tưởng: Ta chứng minh N,C lần lượt là hai điểm đối xứng của B và M qua trục đối xứng DI (với D là tâm (IBC) )  * Chứng minh N = D ID (B)   Ta có: ICN=ICB (CI là phân giác)  IB = IN Mà DB = DN Nên ID là đường trung trực của BN Hay N = D ID (B) (1) *Chứng minh C = D ID (M) Xét MIA và CIA... (2) Từ (1) và (2) ta có ID là trục đối xứng của BM và CN nên BM = CN (đpcm) Cách 2: 14 Nhóm 4 & 5 tốn 4A Ý tưởng : Dùng phương tích của điểm A đối với đường tròn (IBC) ta chứng minh BM = CN Kẻ IE AB, IO AC, E AB, O AC *Chứng minh AE = AO: Xét hai tam giác vng AEI và AOI có : AI chung   EAI = IAO (AI phân giác) Suy ra AEI = AOI =>AE = AO (1) *Chứng minh BE = ON: Xét hai tam giác vng EIB và OIN có... 0 ); B    Và M 0 BA = M 0 MA (cùng chắn cung M 0A)   M MB' + M MA = 180  0 0 A; M; B thẳng hàng Do đó: (M 0 A + M 0 B) - (MA + MB) = (M 0 A + M 0 B') - (MA + MB') = M 0 A + M 0 B' - AB' 0 (bất đẳng thức tam giác) Vậy MA + MB lớn nhất khi M  M 0 với M 0 là trung điểm của BC Bài 16: Cho hai đường thẳng song song x; y và điểm M nằm cùng phía với x đối với y và nằm cùng phía với y đối với x Trên... I D D' Nhóm 4 & 5 tốn 4A Khi đó BCA’A và BCD’D là hình bình hành và AA’ = DD’ ( = BC)    CDA Do BA'A = CAD, vậy theo giả thiết suy ra CAD <  (1) Từ (1) nên trong CA'D ta có CA' > CD (2) Gọi I là trung điểm của A'D (khi đó I cũng là trung điểm của AD') Bằng cách xét 2 tam giác CIA' và CID có CI chung, IA' = ID và (2)   CIA' > CID Vì thế từ 2 tam giác CID' và CIA suy ra CA > CD' (3) Do CD = BD... tìm thì M* = AB' d1 , còn N* là hình chiếu của M* lên d 2 Bài tập về phép đối xứng: Bài 1: Chứng minh rằng trong ha ABC bất kì,ta có bất đẳng thức sau: p(p - a) , ở đây ha là chiều cao kẻ từ A, p là nửa chu vi, a = BC Giải: Gọi l là đường thẳng qua A và song song với BC B' C' b Xét Đl : B  B' c C  C' A  A Theo tính chất đối xứng trục, ta có: AB' = AB A b ha B Vì vậy b + c = CA + AB = CA + AB' (b... giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi các đường thẳng mà mỗi đường đi qua trung điểm một đoạn và vng góc với cạnh đối diện của tứ giác đồng qui Giải: 10 Nhóm 4 & 5 tốn 4A d1 Dễ thấy MNPQ là hình bình hành Gọi I = MP NQ Xét ĐI : M  P B M A d1 N Có M d2 I Q Mà d1 D d1 nên P d'1 Và d'1 song song hoặc trùng d1 O d4 d'1 CD nên d'1 CD C P d3 Do đó, ta có: d'1 CD trung điểm P của CD thuộc . Bài tập về tịnh tiến và đối xứng 1 Bài tập bổ sung 22 Bài tập phép tịnh tiến 22 Bài tập về phép đối xứng: 31 Nhóm 4 & 5 toán 4A 1 Bài tập về tịnh tiến và đối xứng Bài 1: a). trục đối xứng AID. Chứng minh A, I, D thẳng hàng: (tương tự như cách 3) Nhận xét AID là trục đối xứng của (IBC) và chia (IBC) làm hai nửa đường tròn 1 C (chứa B và M) và 2 C (chứ C và N) đối. ID C = D (M) (2) Từ (1) và (2) ta có ID là trục đối xứng của BM và CN nên BM = CN (đpcm) Cách 2: Nhóm 4 & 5 toán 4A 15 Ý tưởng : Dùng phương tích của điểm A đối với đường tròn (IBC)