Để có thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu không chia thành các chuyên đề mà được phân bố theo chương trình của sách giáo khoa . Tuy vậy, để khỏi manh mún, các nội dung được trình bày theo chủ đề kiến thức chứ không theo từng bài . Nội dung hình học 8 được tài liệu phân thành sáu chủ đề sau :I. Tứ giác, hình thang.II. Hình bình hành .III. Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông .IV. Đối xứng trục, đối xứng tâm .V. Định lý Thalet và tam giác đồng dạng .VI. Hệ thức lượng trong tam giác Định lý Pitago.
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC 8 Tµi liÖu båi dìng MÔN HÌNH HỌC 8 ( TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ) 1 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC 8 Để có thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu không chia thành các chuyên đề mà được phân bố theo chương trình của sách giáo khoa . Tuy vậy, để khỏi manh mún, các nội dung được trình bày theo chủ đề kiến thức chứ không theo từng bài . Nội dung hình học 8 được tài liệu phân thành sáu chủ đề sau : I. Tứ giác, hình thang. II. Hình bình hành . III. Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông . IV. Đối xứng trục, đối xứng tâm . V. Định lý Thalet và tam giác đồng dạng . VI. Hệ thức lượng trong tam giác - Định lý Pitago. Với mỗi chủ đề kiến thức bài tập được phân thành sáu loại cơ bản : 1. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng . - Chứng minh thẳng hàng . - Chứng minh song song, vuông góc . . . - Chứng minh đồng quy. 2. Bài tập về chứng minh bằng nhau . - Chứng minh sự bằng nhau của góc, đoạn thẳng . - Chứng minh một tam giác là cân, đều. Một tứ giác là hình thang cân ,hình bình hành, hình thoi, hình vuông . . . . 3. Bài tập tính toán . - Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, các bài toán về diện tích . 4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình . 5. Bài toán cực trị hình học . - Bài toán về bất đẳng thức, Xác định hình hình học để một đại lượng nào đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . 6. Các bài toán tổng hợp . 2 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC 8 Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng một cách đầy đủ những yêu cầu của quí thầy giáo, cô giáo. Bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành để có thể sửa chữa bổ sung những gì còn thiếu sót. Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần nào đó trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán của quý thầy cô. Bộ phận chuyên môn THCS. I. Tø gi¸c, h×nh thang : 3 TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng . Bài toán 1a : Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên BC và AD . Hai đờng phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K. Chứng minh C,D,K thẳng hàng . HD : Gọi K là giao điểm của phân giác góc A với DC .Dễ dàng chứng minh đợc DAK cân tại D. Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA BK là phân giác của góc B . Đpcm. TIP : Bài này có thể c/m theo hớng : - Gọi K là giao điểm của hai phân giác các góc A và B . C/m KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm . Bài toán 1b : Cho tứ giác ABCD. Gọi ABCD theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC . Chứng minh rằng các đờng thẳng AA, BB, CC,DD đồng quy . 4 A B KD C D C A B F A J E I TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 HD : Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung điểm của AC . - Tam giác CAA có EJ là đờng trung bình nên EJ//AA. - Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A của FJ và // với EJ nên AA qua trung điểm I của FE. - Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB, CC,DD qua I - Các đờng thẳng trên đồng quy tại I . 2. Bài tập về chứng minh bằng nhau . Bài toán 2a : Cho tam giác ABC trong đó AB < AC. Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh A. M,N,P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . Chứng minh rằng tứ giác NMPH là hình thang cân . HD : - MNHP là hình thang - MP = AC/2 ( Đờng TB ) - HN = AC/2 ( Đờng TT ) đpcm Bài toán 2b : 5 B C A H P M N TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 Cho tứ giác ABCD có AD=BC. M,N lần lợt là trung điểm của AB và DC. Đờng thẳng AD cắt đờng thẳng MN tại E. Đờng thẳng BC cắt đờng thẳng MN tại F. Chứng minh AEM = BFM . HD : - Gọi I là trung điểm của BD. - Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2). - IM // DE và IN //CF đpcm . 3. Bài tập tính toán . Bài toán 3a : Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E. Hai cạnh AB và DC kéo dài cắt nhau tại M. Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt nhau tại K . Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác . 6 D N C A B E F M I M K A EB C D TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC 8 HD : Trong tam gi¸c MKE ®îc MKE = 180 0 - (KMD +KED+DME+DEM) DME+DEM = 180 0 - D . KMD = (180 0 - C - B)/2 KED = (180 0 -A-B)/2 Thay vµo ta ®îc : MKE = 180 0 -((180 0 -C-B +180 0 -A-B )/2 +180 0 -D) = (360 0 -360 0 +A+C+2B - 360 0 +2D)/2 = (A+B+C+D+B+D-360 0 )/2= (B+D)/2 Bµi to¸n 3b : Cho h×nh thang ABCD. M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña hai ®¸y AD vµ BC. O lµ ®iÓm thuéc MN. Qua O kÎ ®êng th¼ng song song víi ®¸y h×nh thang . §êng th¼ng nµy c¾t AB,CD lÇn lît t¹i E,F. Chøng minh r»ng OE=OF . 7 B C A D E F N M O H I TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 HD : Chứng minh S BNMA = S NCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau ). Chứng minh S BEN =S NFC và S EAM = S FMD để đợc S EMN =S FMN Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lợt là hai đờng cao của hai tam giác OE =OF 4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình . Bài toán 4a : Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy dựng đờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau . Phân tích : Giả sử AM là đờng thẳng cần dựng . Lấy điểm E đối xứng với D qua M. AE cắt BC tại I . Có : S ADM = S ABCM = S AME => S ABI = S CEI S ABC = S EBC => BE// AC. Cách dựng : - Dựng đờng chéo AC. - Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC tại E. - Lấy M là trung điểm của DE. 8 A B C D M E I TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 - AM là đờng thẳng cần dựng . TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác t- ơng đơng ( có diện tích bằng diện tích hình thang ). Để chuyển bài toán về bài tập dựng trung tuyến của tam giác . Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên . Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD . I là điểm bất kỳ của AB . Qua I hãy dựng đờng thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau . Phân tích : Giả sử đã dựng đợc IJ . Sử dụng phơng pháp biến đổi về tam giác tơng đơng .Ta có các bớc phân tích : Xác định điểm F trên tia DC sao cho S IJCB = S IJF . Lúc đó S BIC = S FIC .Suy ra BF//IC . Xác định điểm E trên tia CD sao cho S IJAD = S IJE . Lúc đó S AID = S EID .Suy ra AE//ID . Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF . Cách dựng : 9 A D E B C F I J TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 - Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đờng thẳng song song với IC cắt DC tại F. - Dựng J là trung điểm của EF . IJ là đờng thẳng cần dựng . 5. Bài toán cực trị hình học . Bài toán 5a : Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB + MC +MD đạt giá trị nhỏ nhất . Giải : Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo . M O thì MA +MB +MC+MD đạt giá trị nhỏ nhất . Thật vậy, M O ta có : MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD . Với M bất kỳ trong tứ giác ta có : MA +MC AC MB + MD BD MA +MB +MC +MD AC + BD. MA +MB +MC +MD nhỏ nhất lúc M O D Cách 2 : Với ba điểm M; A; C ta có : MA +MC AC . C Dấu = xảy ra lúc M[AC] M O Với ba điểm M; B; D có MB + MD BD . Dấu = xảy ra lúc M [BD] MA + MB +MC +MD AC + BD A B Dấu = xảy ra lúc M[AC] và M[BD] M O ( Với O là giao điểm hai đờng chéo ) . 10 [...]... đỉnh thứ t của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t của hình bình hành CABH 13 TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 a Chứng minh BD // GH G b Chứng minh HD = 2EF C I J D E A H F B HD : a BDGH là hình bình hành do BH và DG cùng song song và bằng AC =>đpcm b Gọi I,J lần lợt là trung điểm của CD và CH Chứng minh EIJF là hình bình hành => đpcm 3 Các bài tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình bình hành... P đến Q nhỏ nhất Q N M P P 19 TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 HD : Dựng hình bình hành NMPP ta đợc : PM + MN + NQ = PP + PN + NQ Do PP = const Để PM + MN + NQ nhỏ nhất thì PN +NQ nhỏ nhất P,N,Q thẳng hàng Dễ dàng suy ra cách dựng II Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông : 1 Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng Bài toán 1a : Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M... O1MNO2 là hình thang có IJ là đờng O2 C 26 TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 trung bình nên IJ = (O1M +O2N)/2 A = (AC + CB)/ 4 =const M NB J I di chuyển trên phần đờng thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4 Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình vuông) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó có chu... Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE Tính góc CHF A B F O H E D 24 K C TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 HD : Gọi K là giao điểm của AH với DC O là giao điểm của BK và FC - Chứng minh đợc FBCK là hình chữ nhật - Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2 - Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H Hay góc FHC = 900 4 Bài tập về quỹ tích , dựng hình Bài... 4 Bài tập về quỹ tích , dựng hình Bài tập 4a : Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh AD và điểm N thuộc cạnh BC A - B E - M O N N M F - C D HD : Phân tích : Giả sử hình đã dựng đợc ta có : - Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M) - Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N) 25 TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 - Đờng thẳng qua O vuông góc với MM cắt AB ở E và DC... ( I thuộc BH ) - Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK 20 K D TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 - Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM MK vuông góc với BM Bài toán 1b : Cho tam giác ABC có AD là đờng cao Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông ABEF và ACGH Chứng minh rằng AD,BG,CE đồng quy I F H A G E B D C HD: Dựng hình bình hành FAHI Chứng minh hai tam... LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 Cho tam giác vuông tại A M là điểm bất kỳ thuộc BC D,E lần lợt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn nhất A (1) Giải : Tứ giác ADME là hình chữ nhật DE = AM D E B M C a Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC b Để DE lớn nhất Nếu AB >AC thì M B Nếu AC >AB thì M C Nếu AB =AC thì M B hoặc M C Bài toán 5c : Cho hình vuông ABCD... Để MK nhỏ nhất => CI nhỏ nhất => I B Lúc đó CI vừa là trung tuyến vừa là đờng cao => MCK vuông cân 28 TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 MCB = 450 => M A Bài toán 5d : Cho đoạn thẳng AB = a C là điểm bất kỳ trên AB Vẽ các hình vuông ACDE; CBFG Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên đạt giá trị nhỏ nhất G F Giải : Đặt AC = x => CB = a-x SACDE + SCBFG = x2 + (a-x)2... giác dựng các hình vuông ABGH , ACEF và BCIJ Gọi O1,O2, O3 lần lợt là tâm các hình vuông M là trung điểm của BC, D là trung điểm của HF a Chứng minh O1MO2 là tam giác vuông cân P c Chứng minh HF = 2AM F D b Tứ giác DO1MO2 là hình vuông H Q A O2 d Chứng minh AD vuông góc với BC và AM vuông góc với HF O e Chứng minh O1O2 = AO3 G K 1 B 29 J C NM O3 A I E TI LIU BI DNG HC SINH GII HèNH HC 8 HD : a Chứng... là hình vuông cần dựng TIP : Thay đổi việc cho các điểm M,N ta có nhiều bài tập xung quanh bài tập này Bài toán 4b : Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên đoạn thẳng đó Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB dựng các hình vuông ACDE và CBGH Các hình vuông này có tâm lần lợt là O1,O2 Tìm quỹ tích trung điểm I của O 1O2 khi C chạy trên AB E D HD : Hạ O1M,IJ,O2N vuông I H góc với AB G O1 O1MNO2 là hình . TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC 8 Tµi liÖu båi dìng MÔN HÌNH HỌC 8 ( TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ) 1 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC 8 Để có thể sử dụng bồi dưỡng. trị hình học . - Bài toán về bất đẳng thức, Xác định hình hình học để một đại lượng nào đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . 6. Các bài toán tổng hợp . 2 TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC. C A B E F M I M K A EB C D TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC 8 HD : Trong tam gi¸c MKE ®îc MKE = 180 0 - (KMD +KED+DME+DEM) DME+DEM = 180 0 - D . KMD = ( 180 0 - C - B)/2 KED = ( 180 0 -A-B)/2 Thay