10 cách giải hệ phương trình

10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trìnhv10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình

10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail.com Page 1 Hệ phương trình giải được bằng 10 cách Bài toán. Giải hệ phương trình . Giải Điều kiện : . Cách 1: Từ hệ phương trình đã cho, ta suy ra (*) Xét hàm số ; . Suy ra hàm số đồng biến trên . Từ (*) ta có . Thế vào (1) ta thu được phương trình . Vậy hệ phương trình có nghiệm . 9 7 4 (1) 9 7 4 (2) xy yx              97 97 x y          9 7 9 7x y y x       9 7 9 7x x y y           9 7 9 7f t t t t           11 ' 0, 9;7 2 9 2 7 f t t tt          ft 9;7        f x f y x y   2 9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                 2 77 2 63 0 99 xy xx xy                  97 ; 97 xx yy          www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail.com Page 2 Cách 2: Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau . Thế vào (1) ta thu được phương trình . Vậy hệ phương trình có nghiệm . Cách 3: Giải hệ phương trình đã cho chúng ta xét các trường hợp sau : TH1: Nếu thì ta có và suy ra mà nên (vô lí). TH2: Nếu thì ta có và suy ra     2 2 9 7 16 9 7 4 9 7 4 9 7 16 xy xy yx yx                          9 7 2 9. 7 16 9 7 2 9. 7 16 x y x y x y y x                     2 9. 7 0 2 9. 7 0 x y x y x y y x                 2 9. 7 2 9. 7 7 63 9 7 63 9x y y x x xy y y xy x             16 16x y x y    2 9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                 2 77 2 63 0 99 xy xx xy                  97 ; 97 xx yy          xy 99xy   77yx   9 7 9 7x y y x       9 7 4 9 7 4 xy yx              44 xy 99xy   77yx   www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail.com Page 3 mà nên (vô lí). TH3: Nếu , thế vào (1) ta thu được phương trình . Vậy hệ phương trình có nghiệm . Cách 4: Từ hệ phương trình đã cho ta có (*) Ta có : suy ra (3); suy ra (4). Từ (3) và (4) ta có . Vậy để (*) xảy ra thì ở (3) và (4) phải đạt dấu bằng. . 9 7 9 7x y y x       9 7 4 9 7 4 xy yx              44 xy 2 9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                 2 77 2 63 0 99 xy xx xy                  97 ; 97 xx yy              9 7 7 9 8x x y y          2 9 7 16 2. 9. 7 16x x x x        9 7 4xx      2 9 7 16 2. 9. 7 16y y y y        9 7 4yy    9 7 9 7 8x x y y              9 9 7 0 7 9. 7 0 9 9 7 0 9. 7 0 7 x xx x xx y yy yy y                                         www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail.com Page 4 Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có nghiệm của hệ phương trình là . Cách 5: Đặt . Ta thu được hệ phương trình : Từ (1) và (2) ; Từ (3) và (4) Từ (5) và (6) ta được (vì ) (7) . Mặt khác, từ (5) Từ (7) và (8) và .   ;xy         9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9    97 ; 97 xx yy          9 0 ; 7 0 ; 9 0 ; 7 0u x v y z y t x            22 22 4 (1) 4 (2) 16 (3) 16 (4) uv zt ut zv            (5)u v z t    2 2 2 2 2 2 2 2 u t z v u v z t              (6)u v u v z t z t                  u v z t u v u v z t u v u v u v z t z t                              00u v u v z t u v z t              40uv   u z v t    (8)u v z t u z t v        u z v t t v v t        uz www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail.com Page 5 . Thế vào (1) ta thu được phương trình : . Vậy hệ phương trình có nghiệm . Cách 6: Từ hệ phương trình đã cho ta có (*) Xét hàm số , . ; . Ta có . . Do đó, (*) xảy ra khi ta có . Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có 99 77 xy xy xy               xy 2 9 7 4 9 7 2 9 7 16 2 63 0x x x x x x x x                 2 77 2 63 0 99 xy xx xy                  97 ; 97 xx yy              9 7 7 9 8x x y y          97f t t t    9;7t        1 1 1 7 9 ' . , 9;7 2 2 9 2 7 9. 7 tt f t t t t t t                 ' 0 7 9 7 9 1 9;7f t t t t t t                    9 4; 7 4; 1 4 2f f f           9;7 in 9 7 4M f t f f             4 4 8f x f y                   4 ; 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9 4 fx xy fy                ;xy         9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9    www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail.com Page 6 nghiệm của hệ phương trình là . Cách 7: Từ hệ phương trình đã cho ta có (*) Xét hàm số , . ; . Bảng biến thiên + - Từ bảng biến thiên ta suy ra . . Do đó, (*) xảy ra khi ta có . Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có 97 ; 97 xx yy              9 7 7 9 8x x y y          97f t t t    9;7t        1 1 1 7 9 ' . , 9;7 2 2 9 2 7 9. 7 tt f t t t t t t                 ' 0 7 9 7 9 1 9;7f t t t t t t              x 9 1 7   'fx 0   fx 42 4 4       9;7 in 9 7 4M f t f f              9;7 2. in 2.4 8f x f y M f t                       4 9 7 4 ; 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9 4 7 9 4 fx xx xy fy yy                           ;xy         9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9    www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail.com Page 7 nghiệm của hệ phương trình là . Cách 8: Xét hệ phương trình Đặt , (điều kiện tồn tại căn thức là ). Ta thu được hệ phương trình với ẩn và là : . Từ (3) suy ra và từ (4) suy ra . Vậy để (3) và (4) đồng thời xảy ra thì ta phải có . Vậy hệ (3), (4) trở thành . Mà với nên . Kết luận: hệ phương trình đã cho có nghiệm là . Cách 9: 97 ; 97 xx yy          9 7 4 (1) 9 7 4 (2) xy yx              x m y 7 0; 9 0x m x m      m x 9 7 4 9 7 2 9. 7 16 9 7 4 9 7 2 9. 7 16 x x m x x m x x m x m x x m x x m x                                   2 9. 7 0 (3) 2 9 . 7 0 (4) m x x m m x m x                  00mm    0m  0m  9. 7 0 9 0 9 9. 7 0 7 0 7 9. 7 0 x x x x xx xx xx                            x m y 0m  xy 97 ; 97 xx yy          www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail.com Page 8 Ta có Đặt . Ta thu được hệ phương trình với ẩn và là : . Do nên , suy ra . Ta lại đặt với . Ta thu được hệ phương trình với ẩn và là : . (*) Do nên . Vậy (*) xảy ra khi ta có :         1 8 8 1 4 9 7 4 9 7 4 1 8 8 1 4 xy xy yx yx                             1 ; 1x u y v    u v 8 8 4 8 8 4 uv vu              97 97 x y          8 1 8 8 1 8 x y            88 88 u v          8cos2 ; 8cos2u a v b , 0; 2 ab      a b         8 cos2 1 8 1 cos2 4 8 cos2 8 8 8cos2 4 8 cos2 8 8 8cos2 4 8 cos2 1 8 1 cos2 4 ab ab ba ba                                 22 22 8 2 cos 8 2sin 4 4 cos 4 sin 4 4 cos 4 sin 4 8 2 cos 8 2 sin 4 ab ab ba ba             cos sin 1 cos sin cos sin 2 cos sin 1 ab a b b a ba              2 2 2 2 cos cos ; sin sin ; cos cos ; sin sina a b b b b a a    2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin cos sin 2a b b a a b b a        www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail.com Page 9 ( lưu ý ) . Lại do nên ta chỉ cần xét với . TH1: .(thỏa mãn bài toán) TH2: .( không thỏa mãn bài toán) 2 22 2 22 22 2 22 2 cos cos cos cos cos cos 0 sin sin sin sin sin sin 0 cos cos cos cos 0 cos cos sin sin sin sin 0 sin sin aa a a a a bb b b b b b b b b bb a a a a aa                                      , 0; 2 ab      cos 0 cos 1 sin 0 cos 0 cos 0 cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 0 sin 0 ;;; cos 0 cos 1 cos 0 cos 1 cos 1 sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 cos 0 sin 1 sin 0 a a b aaaa b aaaa bbbb b bbbb b a a                                                       2 2 2 2 cos sin 1;cos sin 1a a b b    cos 0 cos 0 cos 1 cos 1 ; ; ; cos 0 cos 1 cos 0 cos 1 a a a a b b b b                     1 cos2 0 cos 0 cos2 1 2 cos 0 1 cos2 cos2 1 0 2 a aa b b b                       8 1 8 9 8 1 8 9 u x x v y y                           1 cos2 0 cos 0 cos2 1 2 cos 1 1 cos2 cos 2 1 1 2 a aa b b b                      8 1 8 9 8 1 8 7 u x x v y y                        www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail.com Page 10 TH3: .( không thỏa mãn bài toán) TH4: .(thỏa mãn bài toán) Kết luận: hệ phương trình đã cho có nghiệm là . Cách 10: Xét hệ phương trình Đặt , ta có : ; . Lại do nên để tồn tại các căn thức bậc hai ta cần có . Với thì . Thế vào (1) ta thu được phương trình : 1 cos2 1 cos 1 cos2 1 2 cos 0 1 cos2 cos2 1 0 2 a aa b b b                     8 1 8 7 8 1 8 9 u x x v y y                        1 cos2 1 cos 1 cos2 1 2 cos 1 1 cos2 cos2 1 1 2 a aa b b b                    8 1 8 7 8 1 8 7 u x x v y y                     97 ; 97 xx yy          9 7 4 (1) 9 7 4 (2) xy yx              x m y 7 0 7 0 7y x m x m         9 0 9 0 9y x m x m          97x   77 99 m m         0 0 0 m m m         0m  xy xy www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com [...].. .10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh www.MATHVN.com x  9  7  x  4  x  9  7  x  2 x  9 7  x  16   x2  2x  63  0 x  7  y  7   x2  2x  63  0    x  9  y  9  x  9  x  7 ;  y  9  y  7 Vậy hệ phương trình có nghiệm  Bài viết của: Trần Tuấn Anh – TranTuanAnh858@gmail.com .   97 ; 97 xx yy          www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail .com Page 2 Cách 2: Hệ phương trình đã.     44 xy 99xy   77yx   www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail .com Page 3 mà nên (vô lí). TH3: Nếu.                    www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com 10 cách giải cho một hệ phương trình - Trần Tuấn Anh TranTuanAnh858@gmail .com Page 4 Thay bởi vào hệ phương trình