10 cách giải hệ phương trình

10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trìnhv10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình10 cách giải hệ phương trình

Hệ phương trình giải được bằng 10 cách

Bài toán Giải hệ phương trình

Giải

Điều kiện :

Cách 1:

Từ hệ phương trình đã cho, ta suy ra

(*)

Suy ra hàm số đồng biến trên

Từ (*) ta có Thế vào (1) ta thu được phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm

    





   



x y

  

  



f t  t    t    t

 

   

f x  f y   x y

2

x          x x x x    x   x  x  

2 63 0

   

           



9; 7

    

  

Cách 2:

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau

Thế vào (1) ta thu được phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Cách 3:

Giải hệ phương trình đã cho chúng ta xét các trường hợp sau :

TH1: Nếu thì ta có và suy ra

mà nên (vô lí)

TH2: Nếu thì ta có và suy ra

2

2

   



       



 





 



2 x  9 7   y 2 y  9 7   x 7 x xy   63 9  y  7 y xy   63 9  x

16 x 16 y x y

2

x          x x x x    x   x  x  

2 63 0

   

           



9; 7

    

  

    





   

mà nên (vô lí)

TH3: Nếu , thế vào (1) ta thu được phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Cách 4:

Từ hệ phương trình đã cho ta có (*)

Ta có :

suy ra (3);

suy ra (4)

Vậy để (*) xảy ra thì ở (3) và (4) phải đạt dấu bằng

    





   

x y 

2

x          x x x x    x   x  x  

2 63 0

   

           



9; 7

    

    

 x   9 7  x    7   y y  9   8

x     x y     y

9

9

7

x

y

y

  





  

  



Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có nghiệm của hệ phương trình là

Cách 5:

phương trình :

Từ (1) và (2) ;

Từ (3) và (4)

Từ (5) và (6) ta được

(7) Mặt khác, từ (5)

Từ (7) và (8) và

  x y ;    9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9         

9; 7

    

    

2 2

16 (3)

16 (4)

u v

z t

  

  





 





(5)

u v z t

   

 u v u v    z t z t   (6)

u v z t

   



u v  u v z t 0 u v z t 0

             u v  4 0

u z v t

   

(8)

       

Thế vào (1) ta thu được phương trình :

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Cách 6:

Từ hệ phương trình đã cho ta có (*)

Do đó, (*) xảy ra khi

Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có

x y

   



  



x y 

2

x          x x x x    x   x  x  

2 63 0

   

           



9; 7

    

  

 x   9 7  x    7   y y  9   8

f t  t  t t     9;7  

2

t t

  

f t    t t   t t     t

 9 4; 7  4;  1 4 2

f   f  f  

     

  

 

 

4

; 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9 4

f x

x y

f y







  x y ;    9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9         

nghiệm của hệ phương trình là

Cách 7:

Từ hệ phương trình đã cho ta có (*)

;

Bảng biến thiên

+ -

Từ bảng biến thiên ta suy ra

Do đó, (*) xảy ra khi ta có

Thay bởi vào hệ phương trình đã cho ta có

9; 7

    

  

 x   9 7  x    7   y y  9   8

f t  t  t t     9;7  

2

t t

  

f t    t t   t t     t

 

'

 

     

  

 

  

 

 

; 9; 9 ; 7;7 ; 9;7 ; 7; 9

x y



  x y ;    9; 9 ; 9;7 ; 7;7 ; 7; 9         

nghiệm của hệ phương trình là

Cách 8:

Xét hệ phương trình

Đặt , (điều kiện tồn tại căn thức là ) Ta thu được hệ phương trình với ẩn và là :

Từ (3) suy ra và từ (4) suy ra Vậy để (3) và (4) đồng thời xảy ra thì ta phải có

Vậy hệ (3), (4) trở thành

Mà với nên

Kết luận: hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Cách 9:

9; 7

    

  

    





   



x m y  7   x m  0; x m    9 0



 



0

m 

9 7 0

9 7 0



x m y  m 0 x y 

9; 7

    

  

Ta có

Đặt Ta thu được hệ phương trình với ẩn và là :

Ta lại đặt với Ta thu được hệ phương trình với ẩn và là :

Vậy (*) xảy ra khi ta có :

    

    





   



x y

  



  



x y

   



   



u v

  



  



8cos2 ; 8cos2

2

a b  

 

8 cos2 1 8 1 cos2 4

8 cos2 8 8 8 cos2 4

8 cos2 8 8 8 cos2 4 8 cos2 1 8 1 cos2 4

8 2 cos 8 2sin 4 4 cos 4 sin 4

4 cos 4 sin 4

8 2 cos 8 2sin 4







cos a  cos ; sin a b  sin ; cos b b  cos ; sin b a  sin a

cos a  sin b  cos b  sin a  cos a  sin b  cos b  sin a  2

( lưu ý )

Lại do nên ta chỉ cần xét với

TH1:

(thỏa mãn bài toán)

TH2:

.( không thỏa mãn bài toán)

2

2

2

cos cos

sin sin





, 0;

2

a b  

 

cos 0

cos 1

sin 0 cos 0 cos 0 cos 1 cos 1

sin 1 sin 1 sin 1 sin 0 sin 0

cos 0 cos 1 cos 0 cos 1 cos 1

sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 cos 0

sin 1

sin 0

a a

b

b a a

 

 







         



 

 









cos a  sin a  1;cos b  sin b  1

cos 0 cos 0 cos 1 cos 1

cos 0 cos 1 cos 0 cos 1

1 cos2 0

cos 0 1 cos2 0 cos2 1

2

a





         

1 cos2 0

cos 1 1 cos2 1 cos2 1

2

a





         

TH3:

( không thỏa mãn bài toán)

TH4:

(thỏa mãn bài toán)

Kết luận: hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Cách 10:

Xét hệ phương trình

Đặt , ta có :

Lại do nên để tồn tại các căn thức bậc hai ta cần có

Với thì

Thế vào (1) ta thu được phương trình :

1 cos2

1

0 2

a





1 cos2

1

1 2

a





      

9; 7

    

  

    





   



x m y 

7      y 0 7 x m     0 x 7 m y     9 0 x m       9 0 x m 9

9 x 7

9 9

m m

  



   

 0

0 0

m

m m

 



x y 

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Bài viết của: Trần Tuấn Anh – TranTuanAnh858@gmail.com

2

x          x x x x    x   x  x  

2 63 0

   

           



9; 7

    

  