u xdx�+fn Trong đ ux là một hàm số khả vi.
Trang 1II PHƯƠNG PH �P T�NH T�CH PH�N P T �P T�NH T�CH PH�N NH T �P T�NH T�CH PH�N CH PH �P T�NH T�CH PH�N N 1.Phương pháp phân tích
Tích phân f (x) dx có thể được tính bằng cách phân tích hàm số f(x) thành tổng của các hàm đơn giản hơn hay dễ tính tích phân hơn :
f(x) = f1(x) + f2(x) + +fn�+fn (x)
Và áp dụng công thức :
Ví dụ:
1)
2)
3) Tính
Trang 2Với n 2:
Nhờ hệ thức này ta có thể tính In với n tùy ý
2 Phương pháp đổi biến
Phương pháp đổi biến trong t ch ph n bất định c 2 dạng sau đ y :�+fn �+fn �+fn �+fn
Dạng 1: Giả sử biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
F(u(x)) u (x)dx�+fn
Trong đ u(x) là một hàm số khả vi Khi ấy ta có thể đổi biến bằng c ch đặt u=u(x),và �+fn �+fn có:
Dạng 2: Đặt x = (+) , trong đ �+fn (t) là một hàm khả vi, đơn điệu đối với biến t, ta
c :�+fn
Ví dụ:
1) Tính:
Đặt: u = x2 + 1, du = 2xdx
Trang 32) , với u = sinx
3) Tính:
Đặt u = x2, du = 2xdx hay xdx =
4) Tính
Đặt u = ex Ta c�+fn : du = exdx, và:
Trang 45) Tính
Đặt u = cos2x Ta có:
du = -2cos x sinx dx = -sin 2xdx Suy ra:
6) Tính
Đặt: x = sint ;
t = arcsin x, ( -1 x 1)
Ta có: dx = cost dt
Suy ra
Trang 5Mà
và t = arcsin x
Nên:
3.Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục u = u (x) và v = �+fn �+fn �+fn
v (x) :�+fn
Ta biết:
(u.v) = u v+u.v�+fn �+fn �+fn
hay u.v = (uv) -v.u�+fn �+fn �+fn
Từ đ suy ra c ng thức:�+fn �+fn
Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần , và còn được viết dưới dạng :
Công thức tích phân từng phần thường được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng f(x) = u.v mà hàm g = v.u có tích phân dễ tính hơn.�+fn �+fn
Trong một số bài toán, sau khi áp dụng công thức tích phân từng phần ở vế phải lại xuất hiện tích phân đã cho ban đầu với hệ số kh c, tức là :�+fn
Khi đ ta t nh được :�+fn �+fn
Trang 6Ví dụ:
1)T �P T�NH T�CH PH�N nh
Đặt u = ln x
v = x �+fn
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có :
2) Tính
Đặt u = arctg x
v = x , �+fn
Ta có :
Trang 7Suy ra :
3) Tính
Đặt u = sinx u�+fn = cos x v�+fn= ex ; v = ex
u 1 = cos x u�+fn1= -sinx
v�+fn1= exv1 = ex
Suy ra:
Vậy:
Suy ra:
Đặt
v�+fn = 1 v = x
Trang 8Suy ra:
Ta có:
Do đ�+fn:
Suy ra
Vậy:
5) Tính
v =1 v = x �+fn
Suy ra :
Ta có:
Trang 9Suy ra:
6) Tìm công thức truy hồi để t nh t ch ph n �+fn �+fn �+fn
(a>0)
Ta có:
Với n 1, đặt:
v = 1 v = x�+fn
Suy ra:
Ta có:
Trang 10Suy ra:
Vậy: