Giải bài tập Tích phân

II. PHƯƠNG PH P T NH T CH PH N� � � � 1.Phương pháp phân tích Tích phân ∫ f (x) dx có thể được tính bằng cách phân tích hàm số f(x) thành tổng của các hàm đơn giản hơn hay dễ tính tích phân hơn : f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) + +fn� (x) Và áp dụng công thức : Ví dụ: 1) 2) 3) Tính Với n ≥ 2: Nhờ hệ thức này ta có thể tính I n với n tùy ý. 2. Phương pháp đổi biến Phương pháp đổi biến trong t ch ph n bất định c 2 dạng sau đ y :� � � � Dạng 1: Giả sử biểu thức dưới dấu tích phân có dạng: F(u(x)) . u (x)dx� Trong đ u(x) là một hàm số khả vi. Khi ấy ta có thể đổi biến bằng c ch đặt u=u(x),và � � có: Dạng 2: Đặt x = ϕ (+) , trong đ � ϕ (t) là một hàm khả vi, đơn điệu đối với biến t, ta c :� Ví dụ: 1) Tính: Đặt: u = x 2 + 1, du = 2xdx 2) , với u = sinx 3) Tính: Đặt u = x 2 , du = 2xdx hay xdx = 4) Tính Đặt u = e x . Ta c� : du = e x dx, và: 5) Tính Đặt u = cos 2 x Ta có: du = -2cos x sinx dx = -sin 2xdx Suy ra: 6) Tính Đặt: x = sint ; ⇔ t = arcsin x, ( -1 ≤ x ≤ 1) Ta có: dx = cost dt Suy ra Mà và t = arcsin x Nên: 3.Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục u = u (x) và v = � � � v (x) :� Ta biết: (u.v) = u v+u.v� � � hay u.v = (uv) -v.u� � � Từ đ suy ra c ng thức:� � Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần , và còn được viết dưới dạng : Công thức tích phân từng phần thường được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng f(x) = u.v mà hàm g = v.u có tích phân dễ tính hơn.� � Trong một số bài toán, sau khi áp dụng công thức tích phân từng phần ở vế phải lại xuất hiện tích phân đã cho ban đầu với hệ số kh c, tức là :� Khi đ ta t nh được :� � Ví dụ: 1)T nh � Đặt u = ln x v = x � Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có : 2) Tính Đặt u = arctg x v = x , � ⇒ Ta có : Suy ra : 3) Tính Đặt u = sinx u� = cos x v�= e x ; v = ex ⇒ Để t�nh: ta đặt: u 1 = cos x u� 1 = -sinx v� 1 = ex v 1 = ex Suy ra: Vậy: Suy ra: 4) Tính (a > 0) Đặt v� = 1 v = x Suy ra: Ta có: Do đ�: Suy ra Vậy: 5) Tính Đặt ; v =1 v = x� Suy ra : Ta có: Suy ra: 6) Tìm công thức truy hồi để t nh t ch ph n � � � (a>0) Ta có: Với n ≥ 1, đặt: v = 1 v = x� Suy ra: Ta có: Suy ra: Vậy: . CH PH N� � � � 1.Phương pháp phân tích Tích phân ∫ f (x) dx có thể được tính bằng cách phân tích hàm số f(x) thành tổng của các hàm đơn giản hơn hay dễ tính tích phân hơn : f(x) = f 1 (x) + f 2 (x). thức tích phân từng phần , và còn được viết dưới dạng : Công thức tích phân từng phần thường được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng f(x) = u.v mà hàm g = v.u có tích phân dễ. thức tích phân từng phần ở vế phải lại xuất hiện tích phân đã cho ban đầu với hệ số kh c, tức là :� Khi đ ta t nh được :� � Ví dụ: 1)T nh � Đặt u = ln x v = x � Áp dụng công thức tích phân từng