CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1 : Cho A(-1,7) , B(-1,1) , C(7,5).Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành Giải ABCD là hình bình hành D ACB D ACB x xxx AD BC y yyy −=− ⎧ ⇔=⇔ ⎨ −=− ⎩ JJJG JJJG ĐS : D(7,11) Ví dụ 2 : Cho như VD1 . Tìm điểm E đối xứng của C qua B Giải : E đối xứng của C qua B ⇔ C là trung điểm của đoạn BE 22 22 BE C E CB BE C E CB x xx xxx y yy yyy += = − ⎧⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ += = − ⎩⎩ 14 1 15 10 1 9 EE EE xx yy =+ = ⎧⎧ ⇔⇔ ⎨⎨ =− = ⎩⎩ Được E(15,9) Ví dụ 3 : Cho A(-2,-3) , B(4,-1) , C(2,1) , D(-1, 0) a) Chứng minh rằng ABCD là hình thang b) Tìm giao điểm của hai đường chéo AC và BD Giải a) Ta có 62 31 2 (,) (,) AB CD AB CD = =− − ⇒=− JJJG JJJG JJJG JJJG Dễ dàng chứng minh A, B , C không thẳng hàng b) Gọi I(x,y) = AC BD∩ Ta có : , : cuøng phöông , : cuøng phöông AI AC BI BD ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ JJG JJJG JJJG JJJG (1) Với 23(,)AI x y = ++ JJG 44(,)AC = JJJG 41(,)BI x y=− + JJG 51(,)BD =− JJJG Hệ (1) 42430 510 ()() () xy xy +− += ⎧ ⇔ ⎨ ++= ⎩ 484120 510 44 4 51 44 4 420 4 44 4 24 8 2 3 1 3 xy xy xy xy xy xy xy y x y +− − = ⎧ ⇔ ⎨ ++= ⎩ −= ⎧ ⇔ ⎨ +=− ⎩ −= ⎧ ⇔ ⎨ −− = ⎩ += ⎧ ⇔ ⎨ −= ⎩ ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ Đáp số I( 21 33 ; ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ BÀI TẬP CƠ BẢN HOẶC CÓ HƯỚNG DẪN 1. Xét tính chất của tam giác ABC , với : a) A(-2,2) , B(2,-2), C(6,6) b) A(0,4) , B(-2,8) , C(-6,1) Hướng dẫn : Tính 222 ,,AB BC CA ⇒ Kết luận 2. Cho ABCΔ với trung điểm các cạnh AB, BC ,CA lần lượt là M(1,4) , 11 22 ,N ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ , 73 22 ,P ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ . Tìm : a) Tọa độ các đỉnh A, B,C b) Tọa độ trực tâm của ABC Δ c) Trọng tâm của ABCΔ d) Tâm đường tròn ngọai tiếp của A BC Δ Hướng dẫn a) BNPM là hình bình hành BN MP BN MP x xxx NB PM yy y y −=− ⎧ ⇔= ⇔ ⎨ − =− ⎩ J JJG JJJJG 17 1 3 22 13 2 4 22 B B B B x x y y ⎧ =− − ⎪ = − ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ = ⎩ ⎪ =− + − ⎪ ⎩ Các đỉnh A, C tìm tương tự , hoặc dùng công thức trung điểm b) Gọi H là trực tâm 0 0 , , AH BC BH AC ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ J JJJG JJJG JJJG JJJG Giải hệ được H c) Gọi G là trọng tâm : 0GA GB GC + += J JJG JJJG JJJG G Giải phương trình , được G d) Gọi I là tâm đường (ABC) : I AIB I BIC = ⎧ ⎨ = ⎩ Thay công thức tính độ dài IA, IB ,IC được hệ , giải hệ ta được I . 3) ,, x yz∀ . Chứng minh rằng : 222222 x xy y x xz z y yz z+++ ++≥ ++ Huớng dẫn : đpcm 22 22 22 33 22 22 yy zz x xyyzz ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔++ +++ ≥++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ Đặt 3 22 , yy ux ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ G 22 uxxyy⇔= ++ J JG 22 3 22 , zz vx vxzxz ⎛⎞ =−− ⇒ = + + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ J G G 22 13 22 (),()uv yz yz uv y yzz ⎛⎞ += − + ⇒ + = + + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ GG GG Do uvuv+≥+→ JJGJG GG đpcm 4 ) Với mọi x, y, z . Chứng minh rằng : 222222 3 x xy y y yz z z zx x x y z+++ +++ ++≥ ++ Hướng dẫn : Đặt 33 3 22 22 22 ,; ,; , yy zz xx ux vy wz ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ =+ =+ =+ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ GGJG dùng bất đẳng thức uvwuvw++ ≥++ JJGJGJJG G GJG được đpcm 5 ) Cho các số x, y, z thỏa mãn : 22 22 3 16 xxyy yyzz ⎧ + += ⎪ ⎨ + += ⎪ ⎩ Chứng minh rằng xy + yz + zx 8 ≤ Hướng dẫn Đặt 2 22 3 22 ,: xx uyuxxyy ⎛⎞ +=++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ JJG G 2 22 3 22 ,: zz vy vyyzz ⎛⎞ =+ =++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ JG G () 33 22 22 . xz xz u v xy yz xy yz xz ⎛⎞ =+++=++ ⎜⎟ ⎝⎠ GG do uv u v≤⇒ JJGJG GG đpcm 6 ) Cho phương trình : 22 11 x xxxm+++ −+= Tìm m để phương trình có nghiệm. Hướng dẩn : Trong mặt phẳng Oxy , đặt M(x, O ) 13 3 22 2 1 , ; B , 2 A ⎛⎞ ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 22 112MA MB x x x x AB⇒+= +++−+≥= ⇒ phương trinh có nghiệm 2m ⇔ ≥ 7 ) Trong mặt phẳng Oxy cho A(1,2) , B(3, - 4) a) Tìm điểm M trên Ox sao cho MA + MB nhỏ nhất b ) Tìm điểm N trên Oy sao cho NA + NB nhỏ nhất Hướng dẫn : a) MA + MB AB≥ min ()MA MB AB⇒+ =⇔ M là giao điểm của Ox và đọan AB b) Lấy 1 12(,)A − đối xứng của A qua Oy Ta có NA + NB = 11 NA NB A B + ≥ 1min ()NA NB A B⇒+ =⇔ N là giao điểm của Oy và đọan 1 AB 8 ) Cho A(1,1 ) . Hãy tìm điểm B Ox ∈ và điểm COy ∈ sao cho ABC Δ đều Hướng dẫn : Cách 1 : ABC AB BC CAΔ⇔== Với B(b, 0 ) 222 2 11 11 1() ()bbcc⇔− +=++=+− C(0,c) 222 11 11 () bc bbc ⎧ −=− ⎪ ⇔ ⎨ −+=+ ⎪ ⎩ Giải hệ được b và c Cách 2 : Đặt AB = BC = CA = m (cạnh của tam giác đều ) (Ox, ) A B JJJG = α được 11 12 cos cos ( ) sin - sin ( ) BA BA xxm bm yym m α α αα −= −= ⎧ ⎧ ⇔ ⎨⎨ −= = ⎩ ⎩ TH1 : () 2 2 ,AB AC k π π =+ JJJG JJJG 2 (, )(, )(, )Ox AC Ox AB AB AC k π ⇒=++ JJJG JJJG JJJG JJJG () 2 3 ,Ox AC k π α π =++ JJJG 3 cos CA xxm π α ⎛⎞ ⇒−= + ⎜⎟ ⎝⎠ Và 3 sin CA yym π α ⎛⎞ −= + ⎜⎟ ⎝⎠ Hay -1 = 3 2 (cos sin ) m α α − (3) Và C-1 = 3 2 (cos sin ) m α α + (4) Từ (1), (2) ,(3), (4) được 1 13 2 1 1131 2 ?( ) () b cb ⎧ −= −+ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎡ ⎤ −= −+ − ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ Giải được b và c TH2: 2 3 (, ) A BAC k π π =− + JJJG JJJG Giải tương tự 9 ) Cho A(1, 2) , B(-3, 1) Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng nhìn đọan AB dưới góc vuông . Hướng dẫn : Đề bài 0. (1)MA MB MA MB⇔⊥⇔ = JJJG JJJG Với M(x, y ) : 12 31 (, ) (,) M Axy M Bxy =− − =−− − JJJG JJJG (1) 22 13 21 0 2340 ()( )( )()xx yy xy xy ⇔− −−+− − = ⇔++−−= Vậy tập hợp những điểm M trong mặt phẳng là đường có phương trình 22 2340xy xy++−−= 10 ) Cho A BCΔ cân tạo A với B(1,0) ; C(-1,0) , A lưu động a) Tìm tập hợp đỉnh A b) Tìm tập hợp giao điểm của đường trung tuyến qua B và đường cao qua C Hướng dẫn a ) Có CA – AB 2 2 22 22 11 0() ()CA AB x y x y x⇔ = ⇔−+=++⇔= Tập hợp các điểm A là đường thẳng x = 0 (trục tung ) b) Gọi M là trung điểm AC và I là điểm phải tìm của tập hợp Ta có : , : cuøng phöông CI AB BI BM ⎧ ⊥ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ JJG JJJJG (1) Với A(0,a) , I(x,y ) , M( 1 22 ,) a − 1 1 1 1 1 22 (,) (, ) (,) (,) CI x y AB a BI x y a BM =+ =− =− =− − JJG JJJG JJG JJJJG Hệ (1) 10 3 10 2 a () 2 xay xy +− = ⎧ ⎪ ⎨ −+ = ⎪ ⎩ Khử a giữa hai phương trình ta được phương trình của tập hợp ******&&&&&******* . là đường có phương trình 22 2340xy xy++−−= 10 ) Cho A BCΔ cân tạo A với B(1,0) ; C(-1,0) , A lưu động a) Tìm tập hợp đỉnh A b) Tìm tập hợp giao điểm của đường trung tuyến qua B và đường. a) Tọa độ các đỉnh A, B,C b) Tọa độ trực tâm của ABC Δ c) Trọng tâm của ABCΔ d) Tâm đường tròn ngọai tiếp của A BC Δ Hướng dẫn a) BNPM là hình bình hành BN MP BN MP x xxx NB PM yy. = ⎧ ⇔ ⎨ ++= ⎩ −= ⎧ ⇔ ⎨ +=− ⎩ −= ⎧ ⇔ ⎨ −− = ⎩ += ⎧ ⇔ ⎨ −= ⎩ ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ Đáp số I( 21 33 ; ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ BÀI TẬP CƠ BẢN HOẶC CÓ HƯỚNG DẪN 1. Xét tính chất của tam giác ABC , với : a) A(-2,2) , B(2,-2), C(6,6)