Dạng 4. Toán đố docx

1 Dạng 4. Toán đố: 4.1. Phương pháp chung: +) Loại bài tập này đầu bài được cho dưới dạng lời văn, sẽ khó khăn khi các em chuyển lời văn thành biểu thức đại số để tính toán. +) Khi thể hiện đầu bài bằng bểu thức đại số được rồi thì việc tìm ra đáp án cho bài toán là đơn giản vì các em đã làm thành thạo từ các dạng trước, nhưng đa số học sinh quên không trả lời cho bài toán theo ngôn ngữ lời văn của đầu bài. Phải luôn nhớ rằng: Bài hỏi gì thì ta kết luận đấy! +) Lưu ý: Khi gọi kí hiệu nào đó là dữ liệu chưa biết thì học sinh phải đặt điều kiện và đơn vị cho kí hiệu đó - dựa vào đại lượng cần đặt kí hiệu. Và kết quả tìm được của kí hiệu đó phải được đối chiếu với điều kiện ban đầu xem có thoả mãn hay không. Nếu không thoả mãn thì ta loại đi, nếu có thoả mãn thì ta trả lời cho bài toán. 1 4.2. Một số ví dụ: Ví dụ 1. Tìm phân số a b biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và vào mẫu của phân số thì giá trị phân số đó không đổi. Dựa vào yếu tố bài cho để lập dãy tỉ số bằng nhau. Lời giải: Theo bài: Nếu ta cộng thêm cùng một số x  0 vào tử và vào mẫu của phân số thì giá trị phân số không đổi . Ta có: a b = a x b x    a b = a x b x   = a x a b x b     = x x = 1 Vậy: a b = 1. Ví dụ 2. Tìm hai phân số tối giản. Biết hiệu của chúng là: 3 196 và các tử tỉ lệ với 3; 5 và các mẫu tỉ lệ với 4; 7. Thật không đơn giản chút nào. Học sinh đọc bài xong thấy các dữ kiện bài cho cứ rối tung lên, phải làm sao đây? Giáo viên có thể gỡ rối cho các em bằng gợi ý nhỏ: “Các tử tỉ lệ với 3; 5 còn các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4; 7 thì hai phân số tỉ lệ với: 3 4 và 5 7 ”. Như vậy, học sinh sẽ giải quyết bài toán ngay thôi ! Lời giải: Gọi hai phân số tối giản cần tìm là: x, y. 2 Theo bài toán, ta có : x : y = 3 4 : 5 7 và x – y = 3 196 .  x y = 21 20 và x – y = 3 196 Hay : 21 x = 20 y và x – y = 3 196 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 21 x = 20 y = 21 20 x y   = 3 196 1 = 3 196 +) 21 x = 3 196  x = 3 196 .21 = 9 28 . +) 20 y = 3 196  y = 3 196 .20 = 15 49 Vậy: hai phân số tối giản cần tìm là: 9 28 và 15 49 . Ví dụ 3. Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3. Đọc đầu bài thì các em thấy ngắn, đơn giản, nhưng khi bắt tay vào tìm lời giải cho bài toán thì các em mới thấy sự phức tạp và khó khăn. Vì để tìm được đáp án cho bài toán này thì phải sử dụng linh hoạt kiến thức một cách hợp lí, lập luận logic từ những dữ kiện đầu bài cho và mối quan hệ giữa các yếu tố đó để tìm ra đáp án cho bài toán. Lời giải: * Gọi 3 chữ số của số cần tìm là: a, b, c (đ/k: a, b, c  N; 0  a, b, c  9 và a, b, c không đồng thời bằng 0) Ta có 1  a+b+c  27. 3 Vì số cần tìm  18 = 2.9 mà (2;9)=1 Nên a+b+c có thể bằng 9; 18; 27 (1). Ta có: 1 a = 2 b = 3 c = 1 2 3 a b c      a = 6 a b c   Vì a  N * nên a + b + c  6 (2). Từ (1) và (2) suy ra: a + b + c = 18 Khi đó: 1 a = 2 b = 3 c = 1 2 3 a b c     = 18 6 = 3 +) 1 a = 3  a = 3.1 = 3 +) 2 b = 3  b = 3.2 = 6 +) 3 c = 3  c = 3.3 = 9 Mà số cần tìm  18 nên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số 6 . Vậy: số cần tìm là : 396 hoặc 936 . Ví dụ 4. Một cửa hàng có 3 tấm vải, dài tổng cộng 126m. Sau khi họ bán đi 1 2 tấm vải thứ nhất, 2 3 tấm vải thứ hai và 3 4 tấm vải thứ ba, thì số vải còn lại ở ba tấm bằng nhau. Hãy tính chiều dài của ba tấm vải lúc ban đầu . Bài cho rất rõ ràng, dễ hiểu. Chỉ cần học sinh biểu diễn được số vải còn lại ở mỗi tấm sau khi bán thì bài toán trở nên đơn giản và rất dễ dàng. Lời giải: Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lượt là a, b, c (m)(a ,b, c > 0) Số mét vải còn lại ở tấm thứ nhất: 1 2 a (m) 4 Số mét vải còn lại ở tấm thứ hai: 2 3 b (m) Số mét vải còn lại ở tấm thứ ba: 3 4 c (m) Theo đề bài, ta có: a + b + c = 126 và 1 2 a = 1 3 b = 1 4 c . áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 2 a = 3 b = 4 c = 2 3 4 a b c     = 126 9 =14 +) 2 a =14  a = 14.3 = 28 +) 3 b =14  b = 14.3 = 42 +) 4 c =14  c = 14.4 = 56 Vậy: chiều dài của mỗi tấm vải lúc đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m. Ví dụ 5. Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ nhất sang tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trước khi chuyển thì mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ? Bài này khá phức tạp ở chỗ: số lượng sách trong mỗi tủ trước và sau khi chuyển. Lời giải: * Gọi số quyển sách của tủ 1, tủ 2, tủ 3 lúc đầu là: a, b, c (quyển) (a, b, c * N  và a, b, c < 2250). Thì sau khi chuyển ,ta có: Tủ 1: a –100 (quyển) Tủ 2: b (quyển) 5 Tủ 3: c + 100 (quyển) Theo đề bài ta có : 100 16 a  = 15 b = 100 14 c  và a + b + c = 2250.  100 16 a  = 15 b = 100 14 c  = 100 100 16 15 14 a b c       = 2250 45 =50 +) 100 16 a  =50  a –100 = 50.16  a = 800 + 100 = 900 (t/m) +) 15 b =50  b = 50.15 = 750 (t/m) +) 100 14 c  =50  c + 100 = 50.14  c = 700 – 100 = 600 (t/m) Vậy: Trước khi chuyển thì: Tủ 1 có : 900 quyển sách Tủ 2 có : 750 quyển sách Tủ 3 có : 600 quyển sách. Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có Â và ˆ B tỉ lệ với 3 và 15, ˆ C = 4 ˆ A . Tính các góc của tam giác ABC. Đây là bài toán có nội dung hình học nhưng lại được giải bằng phương pháp đại số, thật đơn giản khi nhớ được dữ kiện cho dưới dạng ẩn là tổng các góc trong một tam giác bằng 180 0 Lời giải: * Theo bài ta có ˆ 3 A = ˆ 15 B và ˆ 4 C = ˆ 1 A Hay : ˆ 3 A = ˆ 15 B = ˆ 12 C mà Â + ˆ B + ˆ C = 0 180 (Tổng 3 góc trong một tam giác) Nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 6 ˆ 3 A = ˆ 15 B = ˆ 12 C = ˆ ˆ ˆ 3 15 12 A B C     = 0 180 30 = 0 6 +) ˆ 3 A = 0 6  Â = 0 6 .3 = 0 18 +) ˆ 15 B = 0 6  ˆ B = 0 6 .15 = 0 90 +) ˆ 12 C = 0 6  ˆ C = 0 6 .12 = 0 72 Vậy các góc của tam giác ABC là : Â = 0 18 , ˆ B = 0 90 , ˆ C = 0 72 . Ví dụ7. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m 2 , có hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Quá dễ khi bài toán này được viết dưới dạng biểu thức. Nhưng để lập được biểu thức thể hiện mối quan hệ theo đầu bài thì lại là cả một quá trình không đơn giản chút nào. Với lượng kiến thức và vốn hiểu biết còn hạn chế của học sinh mới bước vào lớp 7 thì giáo viên cần tỉ mỉ dẫn dắt các em từng bước nhỏ để làm xuất hiện kiến thức quen thuộc mà các em đã biết. (?) Bài toán yêu cầu tìm những yếu tố nào? * Chiều dài và chiều rộng của khu vườn. (?) Em hãy gọi những yếu tố chưa biết ấy bằng kí hiệu? * Gọi chiều dài khu vườn là x và chiều rộng khu vườn là y. (?) Đơn vị và điều kiện của x, y là gì ? * x (m) & y (m) (x > y > 0) (?) Theo đề bài: Hãy biểu diễn diện tích của vườn theo x, y và hai cạnh tỉ lệ với 4 & 3 được viết như thế nào ? 7 * x.y=300 ; 4 x = 3 y Rất nhiều học sinh không để ý đến sự tương ứng giữa x & y với 4 & 3 nên có tỉ lệ thức: 3 x = 4 y . Giáo viên cần lưu ý đến điều đó! (?) Tìm x,y. Đến đây đã trở thành bài toán quen thuộc đối với các em, dễ dàng tìm ra kết quả: x = 20(m) (t/m) y = 15(m) (t/m) Vậy: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó là 20m và 15m. Ví dụ 8. Một ô tô đi từ A  B mỗi giờ đi đươc 60,9 km. Hai giờ sau, một ô tô thứ hai cũng đi từ A  B với vận tốc 40,6 km. Hỏi ô tô thứ nhất đi từ A  B mất mấy giờ. Biết rằng xe ô tô thứ hai đến muộn hơn ô tô thứ nhất là 7 giờ. Với bài toán này, học sinh phải nhớ được mối quan hệ giữa ba đại lượng trong chuyển động: Quãng đường = Vận tốc.Thời gian Nhưng nhớ được công thức rồi mà đầu bài cho rắc rối quá. Giáo viên giúp học sinh nhận ra mối quan hệ về thời gian đi từ A  B của hai xe ô tô. Lời giải: * Gọi thời gian ô tô thứ 1 đi từ A  B là : x (h) (Đ/k x>0) 8 ô tô thứ 2 xuất phát sau 2h nhưng lại tới B muộn hơn 7h nên thời gian ô tô thứ 2 đi từ A  B là : x – 2 + 7 = x + 5 (h) Vì cùng là quãng đường đi từ A  B nên ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5)  40,6 x = 5 60,9 x   40,6 x = 5 60,9 x  = 5 60,9 40,6 x x    = 5 20,3 = 50 203  40,6 x = 50 203  x = 50 203 .40,6 = 50 203 . 406 10 = 10 (t/m) Vậy ô tô thứ nhất đi từ A  B mất 10 giờ. Ví dụ 9. Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cây cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5 km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3 km, xí nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1 km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu? Chắc chắn nhiều học sinh không làm được bài toán này vì đầu bài rắc rối quá, vừa tỉ lệ thuận lại vừa tỉ lệ nghịch thì làm như thế nào? Thật đơn giản, cứ làm bình thường thôi: 9 Lời giải: Gọi số tiền mỗi xí nghiệp I, II, III phải trả lần lượt là a, b, c (triệu đồng) với 0 < a, b, c < 38. Theo bài ta có: a + b + c = 38 và a : b : c = 40 20 30 : 8: 2 :9 1,5 3 1   áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 38 2 8 2 9 8 2 9 19 a b c a b c          +) 2 2.8 16 8 a a     (t/m) +) 2 2.2 4 2 b b     (t/m) +) 2 2.9 18 9 c c     (t/m) Vậy: Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 16 triệu đồng, 4 triệu đồng, 18 triệu đồng. Ví dụ 10. Một bài toán cổ có tên “chia dê” đã làm đau đầu không ít người muốn tìm ra đáp số, nhưng với tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì bài toán trở nên đơn giản. Một người dân Arập sinh được 3 người con trai, lúc lâm chung người cha nói rằng : “sau khi ta mất đi, còn lại 17 con dê, cha dành 1 2 cho con cả, [...]... đã cho 9 mượn 4.3 Tiểu kết: Đây là dạng bài tập khó đối với học sinh, không chỉ học sinh trung bình mà cả đối với học sinh khá-giỏi, khó ở công đoạn chuyển bài toán lời văn về dạng biểu thức Giáo viên cần dẫn dắt các em thật tỉ mỉ từng bước, từ phân tích đầu bài để tìm ra yếu tố bài cho, yếu tố chưa biết, yếu tố cần tìm và mối quan hệ giữa chúng, kể cả những mối quan hệ đã biết dưới dạng ẩn(Ví dụ như:... quãng đường = vận tốc.thời gian hoặc tổng các góc trong một tam giác bằng 1800 ), rồi đến cách gọi kí hiệu kèm điều kiện và đơn vị ra sao Đặc biệt là khi kết luận cho bài phải chính xác theo yêu cầu 4.4 Bài tập tương tự 12 Bài 1 Tìm 3 phân số, biết rằng tổng của chúng bằng 3 3 , các tử của chúng 70 tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2 Bài 2 Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng... kho A là 20 tạ 15 Bài 24 Ba em bé: An 5 tuổi, Hoà 6 tuổi, Nam 10 tuổi được bà cho 42 chiếc kẹo Số kẹo được chia tỉ lệ nghịch với số tuổi của mỗi em Hỏi mỗi em được chia bao nhiêu chiếc kẹo? Bài 25 Bài toán về “Trạng chia ngựa” Theo tích xưa kể lại, một lần ông trạng cưỡi ngựa tới một nơi chăn thả gia súc ở đó có 3 người đang gặp bế tắc trong việc chia ngựa: Họ có 23 con ngựa, theo thoả thuận thì anh .    = 126 9 = 14 +) 2 a = 14  a = 14. 3 = 28 +) 3 b = 14  b = 14. 3 = 42 +) 4 c = 14  c = 14. 4 = 56 Vậy: chiều dài của mỗi tấm vải lúc đầu lần lượt là: 28m, 42 m, 56m. Ví dụ 5. Có ba. 1 Dạng 4. Toán đố: 4. 1. Phương pháp chung: +) Loại bài tập này đầu bài được cho dưới dạng lời văn, sẽ khó khăn khi các em chuyển lời văn thành biểu thức đại số để tính toán. +). có: 60,9.x = 40 ,6.(x + 5)  40 ,6 x = 5 60,9 x   40 ,6 x = 5 60,9 x  = 5 60,9 40 ,6 x x    = 5 20,3 = 50 203  40 ,6 x = 50 203  x = 50 203 .40 ,6 = 50 203 . 40 6 10 =