Các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân 1. Định nghĩa 1 (Khái niệm và phân loại): Phương trình vi phân là 1 phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần tìm y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó. Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân. • Nếu phương trình có hàm số phải tìm là hàm 1 biến số thì phương trình đó được gọi là phương trình vi phân thường. Ví dụ: là những phương trình vi phân thường. • Nếu phương trình chứa hàm nhiều biến z và các biến số của nó cùng với các đạo hàm riêng của z được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng. Ví dụ: là những phương trình đạo hàm riêng Ghi chú: Trong học phần Giải tích 2, ta chỉ xét phương trình vi phân thường (gọi tắt phương trình vi phân (ptvp)), còn với phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt phương trình đạo hàm riêng (ptđhr)) sẽ được nghiên cứu ở những học phần sau. Nhiều chuyên ngành chỉ học ptvp mà không học ptđhr. Quy ước: từ đây khi nói ptvp ta ngầm hiểu đó là ptvp thường. 2. Định nghĩa 2 (phân nhóm ptvp): Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong ptvp được gọi là cấp của ptvp đó. Ví dụ: có mặt đạo hàm cấp 2 nên được gọi là ptvp cấp 2. được xếp vào nhóm ptvp cấp 1. Tổng quát: ptvp cấp n là phương trình có dạng 3. Định nghĩa 3: (Nghiệm của ptvp): Nghiệm hay tích phân của ptvp là mọi hàm số y = f (x) mà khi thay vào pt sẽ biến phương trình thành đồng nhất thức. Vídụ 1: Phương trình: nhận các hàm số và tổng quát là hàm số có dạng: là nghiệm của pt, với mọi hằng số C1 và C2. Ví dụ 2: Phương trình: nhận hàm số làm nghiệm. Phương trình vi phân xuất hiện từ nhu cầu thực tế trong việc nghiên cứu các bài toán cơ học. Đối với Vật lý ta dễ dàng tìm được các hình ảnh của phương trình này qua các ví dụ thực tế: Ví dụ: Biết rằng tốc độ phân rã của radium tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó. Hãy tìm quy luật phân rã của radium, nếu biết khối lượng ban đầu của nó và thời gian T cần thiết để phân rã hết 1 nửa khối lượng radium ban đầu. Hỏi sau 100 năm sẽ phân rã hết bao nhiêu phần trăm khối lượng radium ban đầu nếu biết T = 1600 năm? Ta ký hiệu R(t) là khối lượng radium tại thời điểm t, R0 là khối lượng radium ban đầu, (tức là tại thời điểm t = 0 ). Khi đó, tốc độ phân rã theo thời gian là Tốc độ này là 1 đại lượng âm vì R giảm dần theo thời gian. Gọi k là hệ số tỉ lệ, theo điều kiện bài toán thì Như vậy việc tìm quy luật phân rã của radium trở về việc giải phương trình vi phân. Việc giải phương trình này sẽ được chúng ta đề cập lại ở phần sau. Tuy nhiên, điều này cũng làm rõ cơ sở lý thuyết cho vấn đề này khi ta phải công nhận kết quả về tốc độ phân rã của các chất phóng xạ khi học ở phổ thông. Việc giải phương trình vi phân trên sẽ đưa tới kết quả mà ta đã phải công nhận: Ví dụ: Xét bài toán về dòng điện với cuộn tự cảm. Giả sử I, U, R lần lượt là cường độ dòng điện, hiệu điện thế và điện trở tại thời điểm t, L là hệ số tự cảm. Khi đó, ta có: Hay Ví dụ: (y”)^2 + 1 = 2y’.y”’ (y”)^2 + y’ =xy” Cả hai phương trình này không chứa hàm phải tìm y, và ở đây cấp thấp nhất của đạo hàm là cấp 1. Vì vậy, phương pháp chung là đặt , với k là cấp thấp nhất của đạo hàm và z là hàm mới phải tìm. Đặt y’ = z ta có: - Xét (1′): đây là không chứa biến số độc lập nên phương pháp chung là đặt z’ = t và coi t là hàm theo z (t = t(z)) Khi đó: Do đó , bài toán trở về phương trình phân ly biến số với t là hàm theo z, em giải tìm được t, suy ra z’, suy ra y’ và tìm được nghiệm pt. - Xét (2′) ta có (2′) là phương trình Clero: Đặt z’ = p Khi đó (2′) có dạng: Ta có: Mà từ (2”) ta có: Vậy: Từ đây giải tìm được p, suy ra z’ rồi suy ra y’ và cuối cùng là y vd :tich phan cua 1/(can x +2) Đặt Thế vào tích phân ta có: Vd ! Để nhận diện phương trình phân ly biến số (tách biến), nên chuyển phương trình về dạng sau: hoặc (nghĩa là tách riêng được biến x 1 bên và hàm số y 1 bên Ví dụ: Vậy đây là phương trình phân ly biến số. Để giải phương trình này em chỉ cần đưa về: Khi đó vế trái em lấy tích phân theo y, còn vế phải em lấy tích phân theo x thì sẽ tìm được nghiệm (tích phân tổng quát) của phương trình. o Với phương trình đẳng cấp, đưa phương trình về dạng: Khi đó, muốn là phương trình đẳng cấp thì vế phải phải thỏa mãn tính chất: Nếu vế phải có dạng: thì tất cả các số hạng của M(x,y) và N(x,y) phải cùng bậc. Ví dụ: phương trình là phương trình đẳng cấp (do các số hạng đều có bậc là 2) - phương trình không phải là phương trình đẳng cấp ( do là số hạng bậc 3, còn các số hạng còn lại đều bậc 2) Phương trình cấp một tổng quát có dạng F(x,y,y’) = 0 (I) Nếu giải ra được đối với y’ thì phương trình có thể viết dưới dạng: hoặc: hoặc: Chú ý quan trọng: - Thông thường, ta nên tìm cách biến đổi phương trình về dạng (1) và phân tích f(x,y) ở vế phải để biết dạng. Đa số, các phương trình đều có thể đưa được về 1 trong 6 dạng sau: phân ly biến số, đẳng cấp (thuần nhất), phương trình đưa về pt đẳng cấp được, pt tuyến tính, pt Bernoulli và pt vi phân toàn phần. - Nếu từ (1) ta không đưa pt về 1 trong 6 dạng trên được thì thử nghịch đảo phương trình (2) đưa phương trình về dạng x là hàm số theo biến y. Nghĩa là: thì sẽ tìm được cách giải. 1. Bài toán cauchy (Bài toán điều kiện đầu): Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm ptvp: thỏa mãn điều kiện đầu: Nghĩa là: tìm đường cong y = y(x) đi qua điểm (x0;y0) và thỏa mãn pt (1) 2. Định lý Peano – Cauchy – Picard (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm): Nếu hàm số f(x,y) liên tục trong miền mở , thì với mọi điểm , bài toán Cauchy (1), (2) có nghiệm xác định trong 1 lân cận của x0. Ngoài ra, nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trong D thì nghiệm đó là duy nhất. (ta công nhận định lý này, vì việc chứng minh vượt quá những kiến thức chúng ta được trang bị) 3. Nghiệm tổng quát: Nghiệm tổng quát của pt (1) là hàm số , phụ thuộc biến x, và hằng số C, và thỏa mãn các điều kiện: 1. Nghiệm đúng ptvp với mọi giá trị cụ thể của C. 2. Với bất kỳ điều kiện đầu ta cũng có thể tìm được sao cho hàm số thỏa mãn điều kiện đầu - Trong quá trình tìm nghiệm: nếu ta đi đến biểu thức (*) mà không giải được đối với y thì y là hàm ẩn theo x, C xác định bởi pt (*) và (*) được gọi là tích phân tổng quát. - Các nghiệm của phương trình không suy ra được từ nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị. 4. Phương trình phân ly biến số (tách biến) Là phương trình có dạng: (hoặc ) Nghĩa là: ở vế phải ta gom được x đứng riêng và y đứng riêng (hoặc M(x) chỉ là hàm theo 1 biến số x và N(y) chỉ là hàm theo 1 biến số y) 4.1 Cách giải: Ta biến đổi như sau: Bằng cách lấy tích phân (vế trái theo y, vế phải theo x) ta được nghiệm tổng quát: 4.2 Ví dụ: 1. Giải phương trình: Chuyển phương trình về dạng (1) ta có: Vậy: x tách riêng, và y tách riêng nên đây là phương trình tách biến. Khi đó ta có: Ở đây do 2 vế đều có chứa ln nên thay vì ta chọn hằng số C thì ta chọn hằng số là lnC để dễ dàng rút gọn Vậy nghiệm phương trình: Hay: 2. Giải phương trình Ta có: (phương trình tách biến) Do đó: Suy ra: Bài này, ta cần xét thêm trường hợp tgy = 0. 3. Ví dụ tự giải: 4.3 Nhận xét: Phương trình dạng có thể đưa về phương trình tách biến bằng cách đổi qua ẩn hàm mới Thật vậy, ta có: Vậy vế phải là biểu thức chỉ phụ thuộc z. Nghĩa là z tách riêng và x tách riêng nên nó là phương trình tách biến. 5. Phương trình đẳng cấp: - Hàm F(x,y) được gọi là hàm đẳng cấp bậc k nếu: với mọi λ > 0, ta có: - Ví dụ: Các hàm lần lượt là các hàm đẳng cấp bậc 0, bậc 1, bậc 3. Hàm không là hàm đẳng cấp 5.1 Phương trình vi phân đẳng cấp: Phương trình được gọi là phương trình đẳng cấp nếu: f(x,y) là hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa là - Lưu ý: một số giáo trình gọi tên dạng phương trình này là phương trình thuần nhất - Nhận xét: Giả sử thì để (1) là phương trình đẳng cấp thì tất cả mọi số hạng có trong M(x,y) và N(x,y) phải cùng bậc. - Ví dụ: phương trình: là phương trình đẳng cấp vì các số hạng đều là bậc 2. Phương trình: là phương trình đẳng cấp vì đều là các số hạng bậc 1. 5.2 Cách giải: Theo định nghĩa pt đẳng cấp ta có: . Chọn thì pt (1) có dạng: (*) Vế phải của pt (*) là 1 biểu thức luôn phụ thuộc y/x . Do vậy: Đặt Thế vào phương trình (5) ta có: - Th1: Nếu Khi đó: Do đó pt (5) trở thành: - Th2: Nếu Khi đó: : pt tách biến. 5.3 Ví dụ: Giải phương trình vi phân: Rõ ràng đây là phương trình đẳng cấp. Ta viết lại phương trình như sau: Đặt: . Ta có: , và thay vào phương trình ta có: Lấy tích phân 2 vế ta được: Hay: Vậy nghiệm của phương trình có dạng: Nguồn từ: Maths 4 Physics & more…