Chơng Giải số trị phơng trình cân lợng sóng 3.1 Những vấn đề giải số trị phơng trình tiến triển lợng sóng Việc giải thnh công bi toán tính v dự báo sóng gió phụ thuộc vo chất lợng mô hình vật lý, thực hóa số trị phơng trình cân lợng sóng v độ xác trờng gió cho trớc Nói chung, phải nhận xét phần lớn mô hình sóng gió hnh l mô hình đạt trình độ cao phơng diện sơ đồ giải số trị Nhiều công trình [113, 170, 172, 173, 372] đà cho thấy việc giải số phơng trình cân lợng sóng có ý nghĩa nguyên tắc định độ xác v hiệu mô hình Những sai số giải số tơng đơng với sai số liên quan tới tính thiếu tin cậy thông tin ban đầu vỊ giã cịng nh− sù ch−a hoμn thiƯn quan niệm vật lý trình Phơng pháp đặc trng m ta đà sử dụng để giải phơng trình (2.1) cho phép nhận đợc nghiệm phản ánh xác đặc điểm truyền sóng Ta nhớ lại để xác định phổ tần số góc điểm phải "thu lợm" tất thnh phần phổ từ khắp thủy vực tới Tuy nhiên, sử dụng phơng pháp đặc trng dới dạng nh trớc để tính toán sóng gió thủy vực đại dơng rộng lớn không hợp lý hai lý Thứ nhất, khả tính tới tơng tác phi tuyến yếu 81 sóng, để tính cần có thông tin tất hi điều ho nút tính, nhng tất hi lại đợc tập trung vo điểm Thứ hai, bi toán dù b¸o nghiƯp vơ cịng nh− nãi chung nhiỊu trờng hợp khác, cần có đợc thông tin đầy đủ đặc trng tích phân v thân phổ sóng tất điểm nút vùng lới Sử dụng phơng pháp đặc trng thủy vực lớn (với nửa bắc Đại Tây Dơng có toứi gần 400 điểm lới tính bớc 2,52,5) không tối u, bớc thời gian phải tập trung tất tia từ ton thủy vực vo điểm tính Khi giải số phơng trình (2.1) sử dụng phơng pháp sai phân hữu hạn nh phơng pháp vạn Tuy nhiên thực giải số nh với phơng trình (2.1) nặng nhọc Đó l khác với giải bi toán mặt phẳng, phải xấp xØ sè h¹ng bỉ sung S / d / dt , lm tăng số chiều phơng trình Bi toán phức tạp ta toan tính thực dới dạng đầy đủ, có tính tới dòng chảy bất đồng không gian v đáy không phẳng Trong số phơng pháp số khác đợc dùng mô hình sóng gió, phải lu ý cách giải số phơng trình cân lợng sóng đề xuất mô hình WAM [303, 365], đà cố gắng giải phơng trình ny mặt cầu, có tính tới khúc xạ sóng nớc nông v ảnh hởng dòng chảy Hiện mô hình WAM có lẽ l mô hình phơng trình đợc thực đầy đủ Để xấp xỉ thnh phần đặc trng cho biến thiên mËt ®é phỉ nh− mét hμm h−íng , ®· sử dụng sơ đồ sai phân trung tâm bậc hai Tuy nhiên sơ đồ số giải phơng trình (2.1) đà chọn mô hình WAM cha thật tối u Vấn đề l chỗ tính lan truyền sóng phổ hớng hẹp sai số tính toán thnh phần 82 S / d / dt ph−¬ng trình trở nên đáng kể khuếch tán số lớn Nh vậy, so với phơng trình cân viết cho mặt phẳng, đà nảy sinh thêm nguồn sai số, để giảm thiểu chúng phải tăng khối lợng tính toán lên nhiều Cách giải số phơng trình cân lợng sóng mặt cầu V V Rvkin đề xuất đáng quan tâm Nếu thông thờng ngời ta chấp nhận nút lới tính mặt cầu số góc hớng l nh v thể dới dạng phân khoảng [0; 2] , chọn cụ thể hớng rời lợng chủ yếu từ vùng nhiễu động ban đầu bắt đầu lan truyền dọc theo hớng đợc định trớc biểu diễn rời rạc phổ nguồn Trên khoảng cách no kể từ nguồn, hớng đà nêu, biểu lộ nồng độ lợng sóng cao dị thờng, hớng khác rõ rng l thiếu hụt Nh hạn chế phân giải góc mô hình tạo bất đẳng hớng nhân tạo phân bố không gian độ cao sóng Hậu tợng ny l lan truyền sóng lừng từ bÃo xa đợc dự báo cách không đạt rạc vĩ độ để ®¹t tíi xÊp xØ nghiƯm cùc ®¹i Cã thĨ lμm ®iỊu nμy, nÕu ®−a mét tËp thèng nhÊt c¸c ®Ỉc tr−ng cho toμn bé vïng l−íi cho cïng số đặc trng qua nút khác vĩ độ Các tập hớng vĩ ®é kh¸c sÏ kh¸c nhau, nhê ®ã mμ nghiƯm đợc xác định đặc trng v không cần thiết phải nội suy tìm mật độ phỉ S t thc vμo gãc MỈc dï tính hấp dẫn phơng Về tồn vấn đề ny đà nhiều lần nhắc tới công trình [172, 173, 217, 331, 372, 381], song cha tìm giải pháp đủ đơn giản Thiết tởng cách thức giải vấn đề tự nhiên l tăng thêm số thnh phần phổ Theo đánh giá [217] độ rộng điển hình khoảng tần () v khoảng góc () để tính sóng thủy vực Bắc Đại Tây Dơng phải pháp ny, có nhợc ®iĨm lμ c¸ch chän l−íi h−íng thĨ khã tỉng quát hóa trờng hợp diện dòng chảy bất đồng v đáy không phẳng thực tế liệu có hợp lý không? Chúng ta lu ý nguyên nhân sai số nữa, điển hình tính toán lan truyền lợng sóng mô hình phổ Trong tính toán số phổ tần góc liên tục sóng phải cho dới dạng số lợng định thnh phần phổ Độ rộng hữu hạn khoảng chia dải tần v góc dẫn đến phức tạp hóa bất bình thờng mô tả truyền sóng Trong trờng hợp lý tởng, lợng nhiễu động sóng đầu giới hạn vùng no đó, theo thời gian cần phải lan truyền đặn theo mặt đại dơng Tuy nhiên phần lớn mô hình, mức phân giải phổ mô hình thờng thô, tạo nên gọi l "hiệu ứng xé lẻ" Điều ny dẫn đến chỗ phần 83 0,03 vμ 1,5 Sư dơng độ phân giải chi tiết nh Giải pháp thứ hai cho vấn đề khắc phục "hiệu ứng xé lẻ" đợc đề xuất công trình tác giả [217] cho trờng hợp truyền sóng mặt phẳng Họ đề xuất đa hai thnh phần bổ sung vo phơng trình cân lợng sóng cho phép hiệu chỉnh hiệu ứng liên quan tới hữu hạn độ rộng khoảng tần v góc rời rạc hóa phổ Nhợc điểm thnh phần hiệu chỉnh ny l chỗ phải giải phơng trình phức tạp so với phơng trình cân lợng sóng truyền thống Nó có thêm thnh phần bổ sung với đạo hm riêng bậc hai v ngoi phơng trình bổ sung để xác định tuổi sóng không đợc xác định địa phơng Giải bi toán ny đòi hỏi thêm thời gian tính 84 Vì lý đà nêu thấy cần phải xây dựng phơng pháp thay thế, không thua phơng pháp sai phân hữu hạn độ xác, đồng thời có lợi điểm tiết kiệm tính toán Một phơng pháp nh xây dựng sở kết hợp phơng pháp đặc trng với nội suy đa thức cho phép ngời ta sử dụng để giải phơng trình (1.84) điểm nút vùng lới mặt cầu Nh l ta đà cố gắng giải "vấn đề phơng pháp luận" phải tiếp cận mô tả sãng nh− thÕ nμo nh− lμ tiÕp cËn tíi mô tả trờng hay nh l tiếp cận tới lan truyền hạt Nếu nh phơng pháp đặc trng l cách thức mô tả lan truyền chùm sóng (các hạt), phơng pháp sai phân hữu hạn v nội suy l cách thức mô tả trờng Theo chúng tôi, phơng pháp số đà đề xuất trội so với phơng pháp sai phân hữu hạn bình thờng chỗ phù hợp nhÊt víi b¶n chÊt vËt lý cđa sù trun sãng Phải nhận xét cách tiếp cận song đề đề xuất dới cho phép khắc phục hiệu ứng "xé lẻ" m không tăng nhiều thời gian tính toán Ngoi ra, sử dụng phơng pháp số trị nửa Lagrange (sau đâychúng gọi cách kết hợp ny l phơng pháp nội suy tia hay INTERPOL) cho phép dùng bớc thời gian lớn nhiều so víi b−íc thêi gian theo ®iỊu kiƯn Levi Courrant m không độ xác đợc đo ngợc chiều kim đồng hồ kể từ vĩ tuyến), vĩ ®é , kinh ®é vμ thêi gian t , đợc mô tả phơng trình, mô hình WAM [303, 381] dùng dới dạng S S cos S S B S G (3.1) t cos B (S ) toán tử vi ph©n; G G (, , , , t ) hm nguồn Trên sở hệ (1.86)(1.90) ta viết phơng trình chuyển động chùm sóng dọc cung vòng tròn lớn dới dạng: sin Cg ; (3.2) R cos ; (3.3) Cg R cos cos C g tg , R ®ã C g tốc độ nhóm; R bán kính Trái Đất (3.4) Tiếp theo ta khảo sát nghiệm hệ phơng trình (3.1) (3.4) cho trờng hợp truyền sóng lừng, giả thiết hm nguồn G không: B ( S ) Điều kiện đầu Để hình thnh điều kiện đầu gần thực bi toán, ta đề cập tới vấn đề khai thác số liệu vệ tinh để cải thiện kết tính v dù b¸o sãng giã [210, 229, 305] 3.2 dÉn lËp bi toán truyền sóng để giải phơng pháp khác Giả thiết thám không vệ tinh ®· ghi nhËn ®−ỵc sãng víi ®é cao nμo ®ã phần bắc Bắc Hải Lúc đầu tâm nhiễu ®éng n»m ë täa ®é 0 , 0 72 Nhiễu động ban đầu đợc gán mét vÕt kh«ng gian xÊp xØ b»ng exp( r / Lmax ) , Phơng trình xuất phát Sự tiến triĨn cđa phỉ hai chiỊu sãng biĨn S (, , , , t ) mét hμm sè cđa tÇn sè , h−íng (ë ®ã r khoảng cách từ tâm nhiễu động ban đầu đến điểm cụ thể, Lmax bán kính tơng quan nhiễu động ban đầu 85 86 Trên thủy vực đại dơng tham số ny đợc ớc lợng khoảng 1500 km [305]; để khai thác số liệu vệ tính thủy vực Bắc Hải chấp nhận r»ng Lmax 150 km [229] Xem r»ng t¹i thêi ®iĨm ®Çu sãng trun xng phÝa nam H−íng trun sãng tổng quát 90 , độ cao sóng lớn tâm 10 m, chu kỳ trung bình 15 s Phổ nhiễu động ban đầu xấp xỉ b»ng c«ng thøc S0 , , , , t S0 , F , S0 Q0 F , (3.5) ®ã F (, ) hm phân bố nhiễu động theo không gian; Q0 () hm phân bố góc lợng; S0 (, ) phổ tần góc ban đầu sóng Hm phân bố không gian chấp nhận tuân theo mèi phơ thc hμm mị 2 F , exp [ 0 cos2 0 0 ] , (3.6) XÐt sù trun nhiƠu ®éng ban đầu thủy vực thời gian 48 Thoạt đầu bi toán giải giải tích, sau giải số hai phơng pháp khác Phơng pháp thứ l sơ đồ số "ngợc dòng" đà đợc thực mo hình WAM Phơng pháp thứ hai l phơng pháp nội suy tia Các sai số tính toán số đợc ớc lợng theo kết so sánh với nghiệm giải tích Để có nghiệm giải tích bi toán, ta tơng quan (3.2)(3.4) vo phơng trình (3.1), phơng trình ny sau dẫn tới dạng bình lu (2.1), tức dới dạng đạo hm ton phần theo thời gian Nh đà chứng minh, trờng hợp tác động nguồn G , mật độ phổ lợng đợc giữ bảo ton dọc đờng đặc trng Nh nghiệm giải tích phơng trình (2.1) đà nhận đợc mục trớc dới dạng (2.14) 2( R / L) vμ L 150 km số mô tả mức 3.3 Khắc phục hiệu ứng "xé lẻ" nghiệm độ thuyên giảm nhiễu động ban đầu với khoảng cách Hm phân bố lợng theo gãc chÊp nhËn b»ng 8 3 cos 0 - 0 , Q0 0 - 0 Nh÷ng hiƯu chØnh cho phơng trình động học liên quan tới gián đoạn tần góc biểu diễn phổ (3.7) Phổ tần số đợc mô tả mối phụ thuộc n n n max S n 1m0 max exp n 1 Giải số phơng trình cân lợng sóng (3.1) đòi hỏi biểu diễn phổ liên tục dới dạng rời rạc hóa tần góc Ta ký hiƯu S n (k , l ) lμ thμnh phÇn phỉ øng víi tÇn sè k vμ gãc l bớc thời gian n n (3.8) m0 mômen bậc không phổ, max tần số cực đại phổ, n tham số đặc trng ®é réng cđa phỉ tÇn sè Víi sãng lõng cã thể chấp nhận n [45] 87 Năng lợng trung b×nh S (k , l ) tËp trung kho¶ng (k 0,5 k 0,5), (l 0,5 l 0,5) cã thể xác định theo kết lấy tích phân phổ liên tục khoảng đà cho 88 1 S k ,l l l k S, d d k phỉ cđa thnh phần kế cận / sin l O ; (3.11 a) 89 (3.11 b) (3.12) Cg S sin S S cos cos 2 R a b0 11 / 12 Năng lợng trung bình tập trung khoảng ny không chứa thnh phần S (k , l ) , m giá trị S 1 / cos S t cos 1 / S 1 / S ®ã a j , b j nh÷ng hƯ sè néi suy: a 1 a1 b1 b1 / 24 ; NÕu sư dơng phÐp khai triĨn c¸c hm lợng giác giá trị nhỏ : phơng trình (3.1) biểu diễn dới dạng (3.10) phơng trình (3.1) i1 i1 1 O , i , j 1 cos l cos l / cos l tho¶ mÃn biểu thức khai triển Bằng cách tơng tự phơng trình cân lợng sóng (3.1) đợc biến đổi để mô tả tiến triển lợng trung bình, có tính tới độ phân giải hữu hạn tần v góc Muốn vậy, ta áp dụng toán tử tích phân kiểu (3.9) vo đồng thời lu ý đại lợng tốc độ nhóm có mặt phơng trình (3.1)(3.4) tỉ lệ nghịch với tần số C g / v thể nhận đợc cách nhân công thức bình phơng biến [93] a jbi S k i , l j , / cosl O , (3.9) C¸ch trun thèng để ớc lợng tích phân (3.9) l sử dụng phơng pháp hình chữ nhật hay hình thang [170, 331] Tuy nhiên, giả thiết hm S l hm liên tục v khả vi hai lần, sử dụng thuật toán xác Để ớc lợng tÝch ph©n (3.9) cã thĨ sư dơng phÐp néi suy bình phơng kép, lấy giá trị hm nút k , k , k vμ l 1 , l , l 1 C«ng thức lập phơng ớc lợng lợng có S k , l sin l 1 sinl / sin l Cg S cos S tg cos S sin cos R 2 , (3.13) ®ã () / 12 1; ( / ) / 12 2 Khi rút phơng trình (3.13) đà giả thiết Hai số hạng đầu (số hạng thứ hai nằm cặp dấu ngoặc vuông thứ nhất) phơng trình (3.13) tơng tự nh số hạng tơng ứng phơng trình cân lợng xuất phát (3.1) Những số hạng ny có thêm thnh phần hiệu chỉnh với bậc v mô tả biến thiên tốc độ lan truyền thnh phần phổ liên quan tới tính gián đoạn tần số v góc Lý thú l số hạng thứ ba v thứ t phơng trình 90 (3.13) (những số hạng nằm cặp dấu ngoặc vuông) Chúng cung cấp hiệu chỉnh liên quan tới tính hữu hạn phân giải phổ theo góc v theo tần số Những số hạng ny chứa đạo hm theo biến không gian, góc v tần số Chúng tỉ lƯ víi , vμ tèc ®é nhãm C g Những số hạng cuối phơng trình (3.13) l hiệu chỉnh bậc cao (2 ) v ( ) Những số hạng hiệu chỉnh phơng trình (3.13) so sánh với biểu thức tơng tự đà nhận đợc công trình [217] cho trờng hợp truyền sóng mặt phẳng Số hạng hiệu chỉnh nhận đợc công trình phụ thuộc vo "tuổi sóng", thứ không xác định địa phơng, v để xác định phải giải phơng trình bổ sung Ưu việt số hạng hiệu chỉnh (3.13) nhận đợc công trình ny l chỗ xác định địa phơng lan truyền sóng mặt cầu Trên mặt phẳng phơng trình động häc cã thĨ biĨu diƠn t−¬ng tù S S S cos S sin S C gx C gy C g t x y y x cos S sin S 2 Cg , (3.14) x y vμ C gy 1 / C g sin lμ ®ã C gx 1 / C g cos thnh phần tốc độ nhóm Nh số hạng bổ sung (3.13) v (3.14) phụ thuộc vo độ phân giải tần góc, tốc độ góc, độ bất đồng không gian v góc trờng sóng Khảo sát nghiệm riêng Sự xuất số hạng bổ sung vế trái phơng trình cân lợng sóng (3.13) mô hình sóng gió dẫn tới tăng đáng kể thời gian tính giải số Tuy nhiên số trờng hợp đơn 91 giản hóa mmọt cách đáng kể bi toán ny Nhận xét ảnh hởng mạnh "hiệu ứng xé lẻ" mô hình phổ sóng nghiệp vụ hnh chủ yếu l độ phân giải góc thô (thờng sử dungj 12 hớng) [170, 172, 173, 217, 331]; độ gián đoạn phổ tần số đóng vai trò quan trọng * Vì lý giới hạn xét hiệu ứng gián đoạn góc, nhng lập luận hon ton áp dụng cho trờng hợp cần tính tới gián đoạn tần Giả sử L l quy mô không gian điển hình lan truyền sóng vùng no Với đại dơng L có bậc vi ngn km, với biển thuộc thèm lục địa nh Bắc Hải L có bậc vi trăm km Trên sở kết công trình [217] chứng minh r»ng (3.13) sin S R S cos S cos L (3.15) §èi víi quy mô không gian đặc trng biển thừa số ( R/L) l đại lợng bậc 10, với đại dơng có bậc đơn vị Khi ta loại trừ không xét thủy vực cận cực có thĨ chÊp nhËn r»ng sè h¹ng hiƯu chØnh n»m cặp dấu ngoặc vuông thứ hai phơng trình (3.13) có bậc lớn số hạng hiệu chỉnh lại Nếu để lại hiệu chỉnh phơng trình (3.13), ta viết lại dới dạng ~ ~ S S ~ cos S S Α C g S (3.16) R 2 t cos ®ã * Sù khẳng định định lợng điều ny xuất phát từ ớc lợng thực tế tham số v Thí dụ, với mô hình WAM / 0,5, cßn / 0,1 , v× vËy 92 ~ 1 / 2 ; ~ 1 / (3.19) B (m) hm tham số m , đợc xác định Nh đà thấy từ phơng trình (3.16), vế trái biểu diễn dới dạng toán tử khuếch tán thông thờng mô tả "trao đổi lợng" yếu thnh phần góc kế cận Tham số A phơ thc vμo vÜ ®é vμ gãc h−íng truyền sóng Độ lớn số hạng hiệu chỉnh (3.16) đợc xác định hai nhân tố Nhân tố thứ số phụ thuộc vo độ gián đoạn phổ góc, nhân tố thứ hai đợc xác định hiệu ứng truyền sóng mặt cầu Trị số tham số A giảm truyền sóng lên phía bắc Bắc bán cầu v tăng truyền sóng theo hớng ngợc lại Mối phụ thuộc ny trở nên đáng kể xét truyền sóng khoảng cách ton cầu Trong trờng hợp chung vấn đề giải phơng trình (3.16) trở thnh gắn liền với ớc lợng đắn tham số A NÕu tham sè nμy cã trÞ sè lín sÏ lμm trơn góc mạnh mẽ, gây nên đẳng hớng dị thờng phân bố lợng theo góc, trị số tham số ny bé không khắc phục đợc hiệu ứng "xé lẻ nghiệm" Để có đợc khái niệm tờng minh đặc điểm diễn biến nghiệm phơng trình (3.16) ta xét phơng trình khuếch tán thông thờng, nhng với vế phải đơn giản hóa ( A R/L) S 2S (3.17) A C g / 12 R điều kiện đầu bi toán Nghiệm phơng trình (3.19) với thời gian tiến tới phổ đẳng hớng lim S , Bm Nghiệm đơn phơng trình (3.17), tuần hon theo biÕn , cã thĨ viÕt d−íi d¹ng 93 2 S ,0 d 2 (3.20) Thời gian thuyên giảm điển hình trình −íc l−ỵng b»ng /(m2 ) 12 R / m2 A()2 C g 48 R / m2 A()2 gT (3.21) ®ã T chu kú sãng trung b×nh V× thùc tế phổ bất đẳng hớng ban đầu sóng không cần phải trở thnh đẳng hớng hon ton, nên giả thiết dắn việc sử dụng gần (3.16) bị hạn chế điều kiện tmax , (3.22) ®ã t max thời gian truyền sóng cực đại Từ ớc lợng giới hạn đại lợng A A 48 R / m2 ()2 gTt max (3.23) ThÝ dơ, víi chu kú sãng trung b×nh 10 s, phân giải góc / 12 , m vμ thêi gian ph¸t triĨn sãng cực đại 36 giờ, ta tìm đợc A 10 Trị số xác tham số ny tìm theo kết thí nghiệm số (3.18) ®ã S m , Bm exp im m2 ~ 1 / 2 ; A R / L tg sin ; Thuật giải số Hiện thực hóa số việc hiệu chỉnh hiệu ứng hữu hạn phân giải góc m đề xuất diễn đạt phép gần sai phân hữu hạn đơn giản S n 1 k , l vS n k , l 1 1 2v S n k , l vS n k , l 1 (3.24) ®ã n chØ sè b−íc thêi gian; AC g t / 12 R vμ A R/L 94 lμ nh÷ng tham sè không thứ nguyên phụ thuộc vo quy mô đặc trng mô tả sóng Nhờ tơng quan (3.21) chứng minh không phụ thuộc vo độ phân giải góc Ta nhận thấy phơng trình (3.16) mô tả l trơn góc phổ sóng hay "trao đổi lợng" yếu thnh phần góc diễn bớc truyền sóng Một phơng pháp kiểm tra thuật giải l kiểm tra bảo ton lợng ton phần Để đánh giá biến thiên lợng cho hai hớng, ta lấy tích phân số phổ theo tất c¸c gãc 2 L n 1 2 L S ( k , l ) vS n ( k , l 1 ) L l 1 L l 1 (1 2v) S n ( k , l ) vS n ( k , l ) thnh phần phổ truyền dọc theo đờng đặc trng (các phơng trình (3.2)(3.4)) Vậy trờng hợp đơn giản truyền sóng lõng, tùc hμm nguån b»ng kh«ng G , lợng đợc giữ nguyên không đổi dọc theo đờng đặc trng Nảy sinh cần thiết xác định giá trị phổ điểm đầu đờng đặc tr−ng XÐt mét nh÷ng nót l−íi (i , j ) vμ chïm sãng víi tÇn sè k vμ hớng truyền l Tọa độ điểm đầu (0 , 0 ) mμ chïm i j sãng n»m t¹i ®ã ë thêi ®iĨm tr−íc, cã thĨ nhËn ®−ỵc nÕu sử dụng phơng trình (3.2)(3.4) Điểm ny không trung với nút mạng lới Vì cần phải xác định giá trị đầu phổ S điểm (0 , 0 ) , nªn ta sÏ dïng néi suy ®a thøc i j (3.25) Sij (k , 0 ) l V× phỉ S (k , l ) l hm tuần hon hớng l , nên chứng minh toán tử (3.25) bảo tồn lợng ton phần, L n 1 2 L S ( k , l ) S n ( k , l ) L l L l (3.26) 3.4 Phơng pháp néi suy tia (INTERPOL) Víi t− c¸ch lμ mét sơ đồ số thay cho sơ đồ đợc dùng mô hình WAM, ta xét sơ đồ số dựa phơng pháp nửa Lagrange [99, 170, 172, 173] v sửa đổi để tính truyền sóng mặt cầu Sau gọi kết hợp sơ đồ ny với cách lm trơn góc đà mô tả l phơng pháp nội suy tia (INTERPOL) Trong phơng pháp số trị nửa Lagrange phơng trình cân lợng sóng đợc giải dới dạng bình lu (2.1) 95 M L a pq Sinf1( p ), j f ( q ) (k , l ) (3.27) p 1 q 1 ®ã a pq a pq (k , lo , , , t , , ) lμ nh÷ng hƯ sè néi suy; n f ( p) vμ f (q) hm giá trị số nguyên; S pq (k , l ) giá trị phổ nút ( p , q ) ë b−íc thêi gian tr−íc t tn 1 Trong tr−êng hỵp néi suy tun tÝnh kÐp, néi suy nμy lμ tèi −u líp nội suy đa thức nghiệm bi toán xÐt [170], ta sư dơng M L Có phức tạp bổ sung vấn đề nội suy l tình hớng truyền sóng l số dọc theo đờng đặc trng truyền sóng mặt cầu Từ tơng quan (2.8) biến thiên góc dọc đặc trng viÕt d−íi d¹ng cos l cos i cos 0 cos l i (3.28) V lần góc đầu lại không trùng với giá trị l nút đợc cho biểu diễn phổ điểm nút Mật độ phổ ứng với 96 góc cã thĨ xÊp xØ b»ng mét ®a thøc Giả sử giá trị đầu l góc phân bố điểm nút (i , j ) l l Tõ t−¬ng quan (2.8) suy r»ng gãc chØ phơ thc vμo vÜ ®é vμ không phụ thuộc vo tần số v kinh độ Vì tất điểm nút nằm vĩ độ j , góc phân bố đợc biết v j , v giá trị tơng ứng phổ đợc xác định Đối với nút nằm vĩ độ khác, thí dụ j , góc phân bố tơng đơng nhận đợc từ tơng quan (2.8) Để xác định giá trị phổ ứng với góc sư dơng néi suy l Si 1, j 1 (0 ) l am Si 1, j 1 (l m ) (3.29) m 1 51 ®Õn 75 L−íi gåm 2549 nót víi b−íc 0,5 theo vÜ độ v 1,0 theo kinh độ, tức khoảng cách hai điểm gần tâm miền lới khoảng 55 km Miền ny xem nh dạng đơn gi¶n hãa cđa thđy vùc hai biĨn Na Uy vμ Bắc Hải Hình dạng bờ đơn giản hóa cho phép có đợc nghiệm giải tích xác bi toán Bi toán truyền sóng từ nhiễu động ban đầu (3.5)(3.8) đợc giải giải tích v sử dụng sơ đồ số mô hình WAM v phơng pháp INTERPOL Ta so sánh kết tính phơng pháp cách lập đại lợng tích phân liệt kê dới đây: Trị số trung bình độ cao sóng h(, , t ) xác định h , , t 2 S , , , , t d d ®ã a m nh÷ng hƯ sè néi suy Trong đới lặng sóng, đới ny xuất mặt cầu (trong trờng hợp ny hình thức cos l0 ( j ) ), giá trị thnh phần phổ tơng ứng chấp nhận không Tại bớc tiếp sau phơng pháp nội suy tia sử dụng toán tử l trơn (3.25) Các điều kiện biên phơng pháp nội suy tia đợc thực hóa số theo cách sau Nếu phổ nút lới thuộc đất liền, thnh phần phổ tơng ứng không (3.27) 3.5 So sánh kết tính truyền lợng sóng theo sơ đồ số mô hình WAM v theo phơng pháp nội suy tia Lới số v xác định đại lợng tích phân kết số Để tính số trị lan truyền sóng lừng mặt cầu lới đợc chọn cho trải di theo vÜ ®é tõ 12 ®Õn 12 vμ kinh ®é tõ 97 (3.30) Trị số quy chuẩn tổng lợng trờng sóng lan truyền xác định (3.31) (t ) E (t ) / E (t 0) , ®ã E (t ) S , , , , t R cos d d d d (3.32) TrÞ sè tọa độ vĩ độ khoảng di chuyển tâm vùng sóng với thời gian (di chuyển tọa độ "tâm khối lợng") viết dới dạng (t ) (t ) S (, , , , t ) R cos d d d d (3.33) E (t ) Ngoμi ra, ta sÏ −íc l−ỵng mức khuếch tán lợng không gian theo thời gian Tham số (t ) đặc trng cho giá trị ny đợc xác định nh l bậc hai diện tích mặt chứa sóng với độ cao không nhỏ 1/3 giá trị cực đại thời ®iÓm ®ang xÐt t t T (t ) / T (0) , 98 (3.34) ®ã T (t ) F , , t R cos d d , (3.35) víi F (, , t ) hμm Hevisai (3.36) F (, , t ) F h, , t hmax t Sai số bình phơng trung bình (RMS) tính toán độ cáo sãng trªn thđy vùc cịng rÊt cã ý nghÜa vμ cần đợc tính toán: RMS (t ) ERR2 i , j , t / N , Ýt hơn, cho thấy xu tập trung lợng sóng dọc theo hớng sở đợc cho từ ban đầu trớc biểu diễn phổ vùng nhiều động ban đầu Độ cao sóng hớng tỏ bị tăng cao, hớng khác bị thấp xuống Hiệu ứng ny có tính chất hình học tuý, bị gây nên độ phân giải góc thô mô hình v l biểu hiệu ứng "xé lẻ nghiệm" (3.37) i, j N tổng số điểm tính, tham số ERR lμ sai sè chuÈn ®é cao sãng (, , t ) hanal (, , t ) h ERR(t ) model , (3.38) max hanal (t ) max ®ã hanal (t ) ®é cao sãng cùc ®¹i ton thuỷ vực thời điểm xét, tính giải tích Các kết số trị Phân bố không gian ban đầu độ cao sóng trình by hình 3.1 a Kết tính độ cao sóng sau 24 giê lan trun b»ng nghiƯm gi¶i tÝch, b»ng sơ đồ số mô hình WAM * v phơng pháp INTERPOL thể hình 3.1 b, c, d Trong tính toán số đà sử dơng 12 h−íng, b−íc thêi gian b»ng 120 ph Ph©n bố không gian sai số quy chuẩn (bản đồ sai số) ERR (theo (3.38)) thời điểm t 24 thể hình 3.2 Các hình 3.1c, d cho ta khái niệm đặc điểm diễn biến nghiệm số trị Các kết tính theo sơ đồ số thứ v kết phơng pháp INTERPOL, mức độ * Tính toán theo mô hình WAM Janette Onblee cộng tác viên Viện KhÝ t−ỵng Hoμng gia Hμ Lan (KNMI) thùc hiƯn 99 Hình 3.1 Phân bố không gian độ cao sóng thời điểm đầu (a) v sau 24 tính theo lý thuyết (b), theo mô hình WAM (c) v phơng pháp INTERPOL (d) Hình dạng phân bố không gia độ cao sóng thủy vực đợc quy định từ trớc biểu diễn phổ rời rạc nguồn nhiễu động Trong trờng hợp thể hình 3.1 hớng truyền sãng tỉng qu¸t chÝnh x¸c trïng víi h−íng gãc (h−íng sở) đợc 100 cho biểu diễn rời rạc nguồn nhiễu đà thực loạt thí nghiệm số, hớng truyền dịch góc / so với hớng sở đà cho nguồn Nh ta thấy hình 3.1, phần lợng nghiệm số trị tập trung dọc theo hớng ny hớng gần với hớng trun sãng tỉng qu¸t NÕu h−íng nμy chÝnh x¸c n»m hai hớng sở mô hình, phân bố không gian độ cao sóng phân rà thnh cấu trúc hai bớu Tuy nhiên, mức độ bất đẳng hớng v trị số sai số tính độ cao sóng trờng hợp ny không khác so với trờng hợp đà biểu diễn hình 3.1 Khác biệt tơng đối kết số mô hình WAM, phơng pháp INTERPOL v nghiệm giải tích đợc thể định lợng hình 3.2 Mức bất đảng hớng cao gây phân giải góc hạn chế (xem hình 3.1 bd) thĨ hiƯn râ nÐt ph©n bè sai số quy chuẩn Điều ny đặc biệt rõ nét trờng hợp sơ đồ số mô hình WAM 12 h−íng ®èi víi thêi ®iĨm t 24 giê, giá trị số trị bị cao lên 40% dọc hớng sở v bị thấp 35% so với hớng khác Những sai số ny tăng dần theo thời gian, đặc biệt hớng truyền sóng tổng quát: kết số bị tăng lên +25% t 12 giờ, v số điểm sai số đạt tới 90% sau t 48 hớng bên giá trị số trị bị giảm (1520%) t¹i t 12 giê vμ tíi 40% t¹i t 48 truyền sóng Tăng số hớng sơ đồ số mô hình WAM đến lên 24 giảm mức sai số khoảng lần (xem hình 3.2 b) Các kết tính theo phơng pháp nội suy tia dùng 12 hớng phù hợp với nghiệm giải tích (xem hình 3.2c) Độ xác xấp xỉ tơng đơng với kết mô hình WAM 24 hớng Phơng pháp INTERPOL 24 hớng giảm sai số tính xuống khoảng lần 101 Hình 3.2 Phân bố không gian sai số ERR (phần trăm) thời điểm 24 giờ: theo mô hình WAM 12 hớng, bớc thời gian 20 ph (a) theo mô hình WAM 24 h−íng, b−íc thêi gian 20 ph (b) theo ph−¬ng ph¸p INTERPOL 12 h−íng, b−íc thêi gian 20 ph (c) theo phơng pháp INTERPOL, 12 hớng, bớc thời gian (d) Nh đà nhận xét trên, bớc thời gian phơng pháp INTERPOL không bị hạn chế điều kiện CourantLevis Độ xác chí cải thiện cách sử dụng b−íc thêi gian lín Cã thĨ chøng tá ®iỊu nμy so sánh mức sai số phơng pháp INTERPOL víi c¸c b−íc 20 ph vμ giê (xem c¸c hình 3.2 c, d) Dới giải thích kết ny Những tham số tích phân nghiệm: tiến triển thời gian tổng lợng trờng sóng, vị trí tâm nó, mức độ 102 khuếch tán lợng v sai số bình phơng trung bình nghiệm số trị (các biểu thức (3.32)(3.34), (3.37)) đợc biểu diễn hình 3.3 Các kết chứng tỏ hai sơ đồ số WAM v INTERPOL có khả tái đặc điểm diễn biến hai tham số số tham số đà nêu cách tốt (xem hình 3.3 a, b) Các tính toán dựa theo phơng pháp INTERPOL có phơng sai nhiều lớn so với kết mô hình WAM Mức lợng sóng tổng cộng nhận đợc theo mô hình thứ trở thnh nhỏ so với mô hình thứ hai Phân bố lợng miền lới phù hợp với nghiệm xác, điều nμy cã thĨ thÊy râ theo diƠn biÕn cđa hμm khuếch tán lợng (t ) (xem hình 3.3 c) Đáng ý l đặc điểm diễn biến sai số bình phơng trung bình RMS (xem hình 3.3d) Tại giai đoạn đầu truyền sóng (trớc 24 giờ) xảy tăng đơn điệu sai số tính toán theo tất phơng pháp số Tuy nhiên sau sai số bắt đầu giảm, liên quan tới di chuyển nhiễu động ngoi miền lới số trị Sai số bình phơng trung bình (theo ton miền) mô hình WAM 12 hớng đạt 8% sau 12 v 20% sau 40 sau bắt đầu truyền nhiễu động Xê dịch hớng sở gãc / thùc tÕ dÉn tíi cïng sai số ny Tăng số hớng gấp hai lần lm giảm mức sai số khoảng lần giai đoạn truyền sóng giữa, giai đoạn đầu sai số giữ mức cũ Phơng pháp nội suy tia 12 dïng h−íng vμ cïng b−íc thêi gian 20 ph dÉn tíi sai sè 5% t¹i thêi gian trun sãng t 12 giê vμ 12,5% t¹i t 40 Song tăng bớc thời gian lên giê cho sai sè 3% t¹i t 12 giê vμ 11% t¹i t 40 giê B−íc thêi gian giê dÉn tíi sai sè 10% t¹i t 40 Nh sai số tính toán giảm tăng bớc thời gian 103 Hình 3.3 Biến trình thời gian tham số tích phân nghiệm số trị a) tổng lợng quy chuẩn (t); nhiễu ; b) tọa độ vĩ độ dịch chuyển tâm miền c) mức khuếch tán lợng theo không gian (t); d) sai số bình phơng trung bình độ cao sóng tính toán RMS(t) nghiệm giải tích; mô hình WAM 12 hớng, bớc thời gian 20 ph; mô hình WAM 24 h−íng, b−íc thêi gian 20 ph; 4 mo hình WAM 12 hớng, bớc thời gian 20 ph, xê dịch hớng sở /2; phơng pháp INTERPOL 12 hớng, bớc thòi gian 20 ph; phơng pháp INTERPOL 12 hớng, bớc thòi gian giờ; phơng pháp INTERPOL 12 hớng, bớc thòi gian Để nghiên cứu phụ thuộc kết tính vo hình dáng không gian nhiễu động ban đầu đà lặp lại tính toán cho loạt hm v mức thuyên giảm xa dần tâm nhiễu Thấy với miền lới đà cho, hình dáng nhiễu ban đầu không ảnh hởng đáng kể tới phân bố v tiến triển độ cao sóng Về định tính, chi tiết phân bố không gian độ cao sóng v diễn biến tham số tích phân l tơng tự nh tất dạng nhiễu ban đầu khác Tuy nhiên, định 104 lợng, sai số địa phơng v mức bất đẳng hớng không gian độ cao sóng tăng theo mức độ giảm dần độ dn trải không gian nhiễu ban đầu 3.6 Tích phân số hm nguồn phơng trình cân lợng sóng Tổng quan vấn đề mục trớc đà xét nghiệm giải tích phơng trình cân l−ỵng sãng tr−êng hỵp hμm ngn chÊp nhËn b»ng không Đà chứng minh phơng pháp nội suy tia l phơng pháp số hiệu Nhng thùc tÕ, tÝnh sãng theo tr−êng giã, ng−êi ta quan tâm giải phơng trình với hm nguồn không không hình thnh nên phổ sóng gió dới tác động chế vật lý khác Giải số phơng trình cân lợng sóng cho phép tách thnh hai phần: tính toán số trị phân bố lợng sóng v tích phân hm nguồn Trong mô hình hóa toán học sóng gió, việc giải nhiệm vụ thứ gắn liền không với thân việc thực hóa số trị, m với chất vật lý trình tạo sóng đợc quan niệm mô hình Nh H Tolman [372] đà cho thấy, độ xác thấp nghiệm số trị dẫn đến giải thích sai trình vật lý hình thnh phổ sóng gió Hiện nay, để tích phân số vế phải phơng trình cân lợng sóng sử dụng nhiều sơ đồ số v ẩn, bậc nh bậc hai [170, 331], kể sơ đồ RungeKutta Ta lu ý sử dụng sơ đồ số bậc cao trở thnh không hiệu mô hình sóng gió, tính cồng kềnh thực tính toán sóng theo trờng gió 105 Vấn đề chỗ vùng khác phổ sóng gió tiến triển với tốc độ khác nhau, tốc độ ny phía lại phụ thuộc vo độ lớn tốc độ gió v tần số sóng Điều dẫn đến chỗ vùng phổ cao tần trình hình thnh phổ diễn nhanh Để tính toán số trị với chúng đòi hỏi sử dụng bớc thời gian bé, lm tăng số bớc v khối lợng tính toán Trong mô hình số khác vấn đề ny đợc giải cách khác Đại đa số trờng hợp, tăng trởng phổ vùng tần cao ngời ta đề giới hạn định độ lớn mật độ phổ, đòi hỏi lm để không vợt trội giá trị khoảng cân [331] Trong sơ đồ số mô hình WAM [303, 365] phổ đợc chia thμnh hai vïng: vïng dù b¸o, bao gåm vùng cực đại phổ v vùng tần thấp nó, v vùng chẩn đoán mô tả phần đuôi tần cao cđa phỉ Ng−êi ta ®Ị hai ®iỊu kiƯn ®èi với độ lớn phổ vùng hai Điều kiện thứ l: Bắt đầu từ tần số no mật độ phổ lợng đợc cho mối phụ thuộc S () Ngoi ra, đòi hỏi tốc độ tiến triển mật độ phổ lợng sóng (hay hm nguồn) không vợt trội giá trị no đó, giá trị ny thực số trị mô hình WAM đợc biểu diễn G ( S , , ) signG ( S , , ) G , Gmax , (3.39) ®ã Gmax 0,62 10 4 f 5 , f tÇn sè tuÇn hoμn f / 2 Nh− G Burgers [227] ®· nhËn xÐt, đa hạn chế nh chứng tỏ mô tả cha thoả đáng trình tiêu tán lợng sóng v tính hiệu lực thuật giải số trị với phơng trình cân lợng sóng Trong thực số mô hình WAM, sử dụng hạn chế ny phổ v hm nguồn đà xuất câu hỏi đề đặc điểm ảnh hởng hạn chế lên phổ: liệu có phá vỡ tính chất 106 thụ động lợng sóng không, liệu hạn chế có trở thnh nguồn bổ sung hay nguồn tiêu lợng không? Ta lu ý điều quan trọng nữa, liên quan tới tính toán sóng gió thực tế Khi thực tính toán chẩn đoán v dự báo sóng gió thông tin ban đầu tốc độ gió đợc đa vo mô hình với hạn thời gian no đó, thờng trùng với hạn synop Hạn ny khác tuỳ thuộc vo loạt hon c¶nh, thÝ dơ, t thc vμo kho¶ng thêi gian mμ thông tin đợc truyền từ trung tâm thời tiết hạn vừa hay khoảng thời gian lập đồ synop Th−êng kho¶ng thêi gian nμy b»ng 12 giê hay giờ, trờng hợp thuận lợi Vì vậy, sơ đồ tối u l sơ đồ số giải phơng trình cân lợng sóng với số lần lặp nhỏ nhận đợc nghiệm số trị xác bi toán cho thời ®iĨm trïng víi h¹n synop, tøc vμo thêi ®iĨm kÕt xuất kết tính yếu tố trờng sóng Ta hình dung sơ đồ số "lý tởng" phải đa giá trị tính toán xác vo hạn synop tơng ứng sau lần lặp số trị Tuy nhiên điều ny đà đạt đợc, nguyên nhân bất ổn định số, độ xác tính toán cha đủ Có lẽ l cần thoả hiệp bớc thời gian nhập thông tin ban đầu, số luợng bớc lặp số trị v trị số sai số tính toán Những sơ đồ số tích phân hm nguồn phơng trình cân lợng sóng Nhằm mục đích khảo sát độ xác v tính tối u sơ đồ số khác nhau, dẫn sơ đồ số thờng dùng để tích phân hm nguồn phơng trình cân lợng mô hình toán sóng gió phân thnh sơ đồ: hiện, nửa ẩn v ẩn Các sơ đồ Với t cách sơ đồ hiện, xét hai sơ đồ số đơn giản sau 107 Sơ đồ hiƯn Euler bËc nhÊt viÕt d−íi d¹ng S n 1 S n tG ( S n , U n ) , (3.40) ®ã S n , S n giá trị mật độ phổ lợng bớc thời gian n v n ; t b−íc thêi gian; G hm nguồn, tính theo giá trị mật độ phổ S n v tốc độ gió U n Sơ đồ hai bớc Adams (phơng pháp dự báo sửa sai) đợc tiến hnh thnh hai bớc tuần tù: ( S n1)1 S n tG ( S n , U n ) ; (3.41a) ( ( S n2 ) S n t G ( S n , U n ) G ( S n1)1 , U n 1 ) , (3.41b) 1 ( S n1)1 giá trị mật độ phổ (dự báo), ( S n2) giá trị xác hóa (sửa sai) bớc thời gian n trï tÝnh r»ng hμm ngn G n cã thĨ phơ thuộc vo tốc độ gió U , có trị số khác vo thời điểm n v n Sơ đồ nửa ẩn mô hình WAM Với t cách sơ đồ nửa ẩn dẫn sơ đồ số đợc đề xuất mô hình WAM [303, 365] Sơ đồ ny dựa sử dụng công thức hình thang ẩn S n 1 S n G ( S n , U n ) G ( S n 1 , U n 1 ) t (3.42) §Ĩ cã đại lợng S n dới dạng phải giải phơng trình 1 S n G ( S n 1 ,U n 1 ) t S n t G ( S n ,U n ) t , (3.43) 2 ®iỊu nμy cã thể thực số trờng hợp đơn giản nhất, hm nguồn G ( S n 1 , U n 1 ) cã thĨ phơ thc vo mật độ phổ S n cách phức tạp Trong sơ đồ nửa ẩn tác giả mô hình WAM đề xuất để giải phơng trình (3.43) theo S n hm nguồn G n đợc khai 108 triển thnh chuỗi Taylor G n S (3.44) S Đạo hm phiếm hm (3.44) đợc biểu diễn dới dạng ma trận đờng chéo n v không đờng chÐo N n G n 1 G n G n n Nn S ThÕ (3.45) vo (3.43) đa đến biểu thức sau đây: (3.45) 1 1 n (U n 1 ) N n (U n 1 ) t S G ( S n , U n ) G ( S n , U n 1 ) t (3.46) ®ã S S n 1 S n Nh− c¸c tác giả mô hình WAM [303, 365] khẳng định, phần đóng góp số hạng không đờng chéo (3.46) tỏ nhỏ để bỏ qua chúng Nh biến thiên mật độ phổ b−íc thêi gian sÏ b»ng 1 1 S G ( S n , U n ) G ( S n , U n 1 ) t 1 t n (U n 1 ) (3.47) 2 Khi sử dụng sơ đồ nửa ẩn (3.47), ngoi hm nguồn, phải tính đạo hm (3.43) Lu ý sơ đồ (3.40)(3.41) v nửa ẩn (3.47) đợc dùng với dạng tổng quát hm nguồn G Các sơ đồ ẩn Phơng pháp hiệu để giải số phơng trình cân lợng sóng l sử dụng sơ đồ số ẩn Tuy nhiên không tồn dẫn xây dựng sơ đồ ẩn dới dạng tổng quát Trong trờng hợp cụ thể phải tiến hnh khảo sát chuyên biệt có tính tới vế phải 109 phơng trình cân lợng sóng đợc cho dới dạng Sử dụng sơ đồ ẩn đòi hỏi cho trớc dạng giải tích hm nguồn Vì hm nguồn dới dạng chung lμ ch−a biÕt, cã thĨ thư biĨu diƠn nã dới dạng đa thức hay khai triển theo luỹ thừa mật độ phổ G (, , S ,U ) Ai S i (, ,U ) , (3.48) i ®ã Ai nh÷ng hƯ sè khai triĨn, nãi chung, cã thĨ phơ thc vμo tÇn sè , h−íng trun thμnh phÇn phỉ vμ tèc ®é giã U Trong tình đơn giản nhất, giả thiết phần đóng góp chủ yếu vo hm nguồn l sè h¹ng tun tÝnh thep phỉ G Ai S , (trong Ai hệ số tổng quát ), sử dụng phơng pháp hình thang (3.42) đa tới biểu thức sau để xấp xỉ đại lợng phổ 1 tAn (3.49) S n 1 S n 1 tAn 1 L−u ý phơng pháp số dựa sử dụng công thức (3.49) có tên l phơng pháp bậc tối u [6] Vây ta hình dung việc xây dựng sơ đồ tối u phải vo dạng công thức hm nguồn có tính tới thnh phÇn khai triĨn phi tun cđa nã ThÝ dơ nh− sử dụng hm lợng sóng tiêu tán phi tuyến l hiệu Trong trờng hợp ny biết dạng hm nguồn, không cần sử dụng khai triển hm nguồn thnh chuỗi Taylor nh đà lm sơ đồ nửa ẩn (3.47) Giả sử hm nguån cã d¹ng 110 G ( S ) BS (1 cS ) , (3.50) ®ã B, c vμ mét sè hƯ sè tỉng qu¸t, ngoμi B cã thĨ cịng phơ thc vμo thêi gian t ThÝ dơ, víi sãng giã cã thĨ chấp nhận B l gia số tăng trởng lợng sóng nhờ nạp lợng từ gió cho sóng (theo lý thuyÕt Miles) Tham sè c h¹n chÕ sù gia tăng lợng trình tiêu tán sóng giá trị tới hạn no Nếu ta chấp nhận khoảng cân S (, ) lm giá trị tới hạn, c S Chẳng hạn, ta thấy chế tiêu tán sóng O Phillips [336] đề xuất v liên quan tới trình đổ nho đỉnh sóng, hm tiêu tán phụ thuộc vo phổ dới dạng hm lập phơng Trong trờng hợp ny việc xác định công thức sơ đồ số ẩn giải phơng trình cân lợng sóng quy việc giải phơng trình đại số 1 S n 1 1 Bn 1 (1 cS n 1 )t S n G ( S n , U n ) t , 2 (3.51) phơng trình ny giải tơng đối dễ, thí dụ với hay NghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh (3.51) víi cã ý nghÜa vËt lý, biểu diễn dới dạng sau thuận lợi cho tính toán số: A2 S n , (3.52) b b 4a A2 ®ã 1 b2 Bn 1 t ; a cBn 1 (t ) ; 2 A2 S n G ( S n , U n ) t NhËn xÐt r»ng, cịng cã thĨ x©y dùng tht giải tơng tự 111 cho trờng hợp đa vo hm nguồn tơng tác phi tuyến yếu (xem mục 4.1) Tuy nhiên, nảy sinh khó khăn bổ sung, ta phải tính tới không mật độ phổ cho hợp phần sóng đợc xét {i , j } , m giá trị tơng tự cho hợp phần khác i k , j n , v× vËy phải giải phơng trình (3.51), m hệ phơng trình đại số phi tuyến tơng ứng Những kết thử nghiệm đồ số Ta tiến hanh thử nghiệm sơ đồ số đà dẫn đây, so sánh nghiệm số trị với giá trị giải tích xác cho trờng hợp giá trị ny nhận đợc dới dạng Chẳng hạn, nghiệm xác cho trờng hợp gió không đổi v hm nguồn viết dới dạng (3.50) Vậy ta giả thiết gió tốc độ không đổi 15 m/s thổi mặt biển rộng vô hạn Theo phơng trình cân lợng sóng (3.1) bình lu lợng sóng v phát triển sóng diễn víi thêi gian §Ĩ nhËn nghiƯm cã thĨ sư dơng công thức đà dẫn Nghiệm giải tích xác phơng trình động học với hm nguồn (3.50) đợc viết dới dạng S (t ) S0 cS0 cS0 e Bt 1 / , (3.53) ®ã lÊy dấu (+) cS lớn không, lấy dấu () trờng hợp ngợc lai Trên hình 3.4 dẫn giá trị mật độ phổ lợng tính theo số thuật giải số cho thời điểm 18 phút sau bắt đầu tiến triển sóng Khi lấy tích phân số đà dùng bớc thời gian phút Từ hình vẽ thấy kết tính có khác biệt đáng kể, bớc tích phân nhỏ Những khác biệt 112 ny xảy vùng cực đại phổ v vùng tần cao bên phải Nếu so sánh kết số với nghiệm giải tích, nói giá trị tính theo phớng Euler có độ xác nhỏ Nhận thấy rằng, kết phơng pháp Adams phù hợp với nghiệm giải tích, nhng tần số rađ/s bất ổn định số đà xuất giá trị số âm dị thờng Gần với nghiệm giải tích l giá trị tính theo phơng pháp nửa ẩn (3.47) v sơ đồ ẩn (3.52) giải tích: RMSi (t ) N ,M j 1, k 1 Si ( j , k , t ) Sanal ( j , k , t ) Sanal ( j , k , t ) max ( N 1)( M 1) , (3.54) ®ã lÊy tỉng theo tất hợp phần phổ: theo tất tần số ( j 1, N ) v h−íng ( k 1, M ) ChØ sè i sơ đồ số khác Tiếp tục thực tính với bớc tích phân tăng Nhận thấy kết sử dụng sơ đồ Euler v Adams tỏ không ổn định, đặc biệt vùng tần số cao Vì lý ny sơ đồ ny không đợc tiếp tục sử dụng Trên hình 3.5 dẫn kết tính giải tích v theo ba sơ đồ số với bớc tích phân 20 ph cho thời điểm Đặc trng với giai đoạn tính toán đầu l giá trị mật độ phổ tính theo sơ đồ ẩn (3.52) bị cao hơn, theo sơ đồ nửa ẩn (3.47) v (3.49) bị thấp hơn, ngoi sơ đồ (3.49) chí cho trị số âm Khi kéo di tính toán tiếp tất ba nghiệm số trị xấp xỉ tiến tới nghiệm giải tích với mức độ khác Trong xác l phơng pháp ẩn (3.52), trở nên gần với nghiệm giải tích ton dải tần sau 46 bớc lặp Những tính toán tơng tự đợc lặp lại với bớc tích phân số 1, 3, vμ thËm chÝ 12 giê Nh÷ng kÕt tính theo tất ácc sơ đồ tỏ ổn định Tuy nhiên với bớc tích phân số lớn kết sơ đồ ẩn (3.52) tỏ đáng chấp nhận Nghiệm giải tích (3.53) cho phép ớc lợng định lợng sai số tơng đối nghiệm số trị Nó đợc xác định trê bớc thời gian nh l hiệu số tổng cộng nghiệm số trị v nghiệm giải tích đợc quy chuẩn với trị số cực đại nghiệm 113 Hình 3.4 Các giá trị mật độ phổ lợng tính theo thuật toán khác cho thời ®iĨm t 18 ph , b−íc tÝch ph©n t ph 114 Xu thÕ chung gi¶m sai sè tính toán liên quan tới tiến dần giá trị số trị tới nghiệm giải tích v tăng trị số cực đại mật độ phổ dùng để quy chuẩn sai số tính toán (3.54) Hình 3.5 Các giá trị mật độ phổ tính theo thuật toán số trị với bớc tích phân t 20 ph cho thời điểm nghiệm giải tích; phơng pháp nửa ẩn (3.47); phơng pháp bậc tối u (3.49); sơ đồ ẩn (3.52) Đờng gạch nối giá trị khoảng cân Lu ý quy chuẩn theo trị số cực đại mật độ phổ nghiệm giải tích cho "ớc lợng từ dới" Nếu nh quy chuẩn không theo trị số cực đại, m theo trị số mật độ phổ, sai số lớn nhiều Trên hình 3.6 biĨu diƠn biÕn thiªn theo thêi gian cđa sai số tính toán với phơng pháp khác v bớc tích phân theo thời gian 115 Hình 3.6 Những giá trị sai số RMS phơng pháp, bớc tích phân theo thời gian t phơng pháp nửa ẩn (3.47) phơng pháp ẩn (3.52) phơng pháp bậc tối u (3.49) Biến thiên tơng đối sai số tính toán giống nh kết phơng ¸n tr−íc §é chÝnh x¸c cao nhÊt 116 thc vỊ sơ đồ ẩn (3.52): thực tế ton dải tính toán, ngoại trừ bớc tích phân đầu tiên, đêu có việt rõ nét so với sơ ®å kh¸c C¸c thÝ nghiƯm sè cho thÊy r»ng , số sơ đồ (3.40), (3.41) phơng pháp dự báo sửa sai (3.41) có độ xác cao Tuy nhiên tăng bớc tích phân theo thời gian sơ đồ ny độ ổn định v bớc thời gian t ph (víi tèc ®é giã U 15 m/s ) trở nên thực tế không dùng đợc chí với điều kiện tạo sóng đơn giản Trên chung, sơ đồ số dựa công thức (3.49) (phơng pháp bậc tối u) cho kết đạt Sơ đồ ny ổn định v đợc dùng với bớc thời gian lớn tới tận t 15 ph Sơ đồ số nửa ẩn, đề xuất mô hình WAM (3.47), tỏ ổn định bớc thời gian lớn Tuy nhiên lu ý tăng bớc tích phân theo thời gian độ xác giảm Sơ đồ ẩn (3.51) tỏ ổn định Nó biểu kết ổn định với bớc thời gian t 60 ph, mμ c¶ víi t giê, chí t 12 Về độ xác: Mặc dù bớc tích phân sai số tính toán lớn, nhng sau đó, sau qua "ngỡng" no đó, sai số giảm dần v chấp nhận giá trị hon ton thoả mÃn Để có kết với độ xác thoả mÃn cần thực 46 bớc lặp số Phơng pháp phân rà Từ trớc đến đà xét nghiệm số trị phơng trình cân lợng sóng ddó không tính tới hm tơng tác phi tun u G nl VỊ hμm cđa phỉ sãng Do biểu thức tơng tác phi tuyến yếu phức tạp, nên việc sử dụng sơ đồ ẩn để tích phân số phơng trình cân lợng sóng trở thnh khó khăn l sử dụng sơ đồ (3.40)(3.41), l sơ đồ nửa ẩn (3.47) Thực sơ đồ số ny gây nên hạn chế bổ sung nghiệm [303, 365] Nh đà nhận xét, hạn chế nh mang nhiều tính chất đáng ngờ Trong mục ny ta thử đề xuất sơ đồ thay thế, hữu hiệu so với sơ đồ đà nêu phơng pháp phân rà Thực chất phơng pháp ny nh sau Hμm ngn tỉng céng G , gåm phÇn cung cấp lợng từ gió cho sóng, phần tiêu tán lợng sóng phi tuyến theo phổ v phần tơng tác phi tuyến yêu G nl , viết d−íi d¹ng G ( S ) BS (1 cS ) G nl Để giải bi to¸n tiÕn triĨn phỉ sãng theo thêi gian, ta biĨu diễn phơng trình xuất phát dới dạng S / t G S , (3.56) vμ viÕt d¹ng triĨn khai sè trÞ cđa nã nh− sau S n 1 S n BS n Bc( S 1 ) n G nl (3.57) t Sơ đồ ny đợc sử dụng víi mäi Nhí l¹i ta có sơ đồ Euler, sơ đồ ẩn, phơng pháp hình chữ nhật chấp nhận 1/ Xét sơ đồ (3.57) với bớc phân số Tại bớc thứ tính biến thiên nghiệm tơng tác phi tuyến yếu ny bn luận chơng sau lu ý tính toán hm tơng tác phi tuyến yếu G nl l công việc phức tạp tính toán số v đẫn tới bất ổn định ghiệm vïng tÇn cao 117 (3.55) S n S n G nl t (3.58) T¹i b−íc thø hai ta xác định biến thiên nghiệm phần 118 lại hm nguồn S n S n BS n Bc( S 1 ) n t (3.59) Sơ đồ với bớc phân số trở sơ đồ (3.57) nh từ phơng trình thứ nhÊt (3.58) rót S n vμ thÕ vo vế trái phơng trình thứ hai (3.59) hay lấy tổng số hạng hai phơng trình ny Sơ đồ sai phân (3.59) thực tế l sơ đồ Euler đòi hỏi bớc thời gian nhỏ so với sơ đồ khác đà biết Mặt khác, ta chuyển đổi ngợc lại từ phơng trình sai phân sang phơng trình vi phân giải cho bớc (1 ) t Ta viết lại phơng trình (3.59) d−íi d¹ng S n 1 S n BS n Bc( S 1 ) n (1 )t (3.60) Tơng ứng với phơng trình ny l phơng trình vi phân S ( BS BcS 1 ) (3.61) t víi điều kiện đầu S n tìm theo (3.58) Phơng trình (3.61) có nghiệm giải tích (3.53) đại lợng B đợc thay B /(1 ) Sơ đồ với bớc phân số (3.58) v (3.59), phơng trình thứ hai đợc thay phơng trình vi phân (3.61) với , từ ta gọi l phơng pháp phân rà hay phơng phơng pháp phân rÃ, so sánh nghiệm số trị với kết nhận đợc theo sơ đồ xác số sơ đồ đơn giản phơng pháp dự báo sửa sai (3.41) Khác với thử nghiệm trớc (xem mục 4.1), ta có đợc nghiệm giải tích xác phơng trình cân lợng sóng chứa hm vận chuyển lợng phi tuyến yếu Vì vậy, thay nghiệm giải tích ta sử dụng nghiệm số trị xác Trong tính toán, hm cung ứng lợng từ gió cho sóng đà đợc chấp nhận giống nh mô hình WAM [365] Độ lớn tốc độ gió cho 18,45 m/s Sự tiêu tán đợc xác định theo (3.50), tham số cho biến thiên Lúc đầu giá trị đợc cho 2, tức tơng ứng với tiêu tán lập phơng, sau đà tính toán với giá trị tham số ny nh hμm cđa tÇn sè: ( / max ) , ®ã 1, Các thí nghiệm số đà cho thấy tích phân phơng trình (3.56) phơng pháp dự báo sửa sai (3.41) ta nhận đợc kết ổn định bớc tích phân lấy không lớn ph Tuy nhiên phải quy định giới hạn cho gia tăng mật độ phổ lợng sóng vùng tần cao (tại tần số lớn hai lần tần số cực đại phổ) lm để trị số không vợt giá trị khoảng cân pháp bán giải tích, nghiệm phơng trình (3.61) tồn dới dạng giải tích (3.53) Có thể sử dụng nghiệm ny bớc thời gian, phải giải phơng trình chung (3.57) Nh kết tính toán số trị đà cho thấy, nghiệm phơng pháp phân rà tỏ ổn định bớc thời gian b»ng 1, vμ thËm chÝ giê V× không cần thiết phải đa hạn chế nμo ®ã ®èi víi nghiƯm hay ®èi víi hμm ngn nói chung Những kết thử nghiệm sơ đồ số giải phơng trình cân lợng sóng có tính tới hm vận chuyển lợng phi tuyến yếu Ta thử nghiệm Trên hình 3.7 biểu diễn kết tính toán số trị với phổ tần số cho thời điểm t 30 Tính toán đợc thực theo phơng pháp dự báo sửa sai v phơng pháp phân rà với 119 120 bớc tích phân thời gian khác Nh đà thấy từ phép so sánh, kết phơng pháp dự báo sửa sai (với bớc tích phân ph) thực tế xác trùng với kết tính phơng pháp phân rà với bớc tích phân giê vμ 20% víi b−íc giê Trong tr−êng hợp ny độ lớn mật độ phổ trở nên gần với giá trị mật độ phổ không tính đến tơng tác phi tuyến yếu Điều ny chứng tỏ giảm thấp đóng góp chế ny bớc thời gian lớn tích phân số Hình 3.8 Biến thiên lợng với thời gian tính theo phơng pháp tích phân khác Các ký hiệu nh hình 3.7 Hình 3.7 Những nghiệm số trị mật độ phổ thời điểm t 30 tình theo phơng pháp khác nghiệm không tính tới G nl ; phơng pháp dự báo sửa sai, bớc tích phân ph; nghiƯm víi b−íc tÝch ph©n giê; 4 nghiƯm víi b−íc tÝch ph©n giê; 5 nghiƯm víi b−íc tÝch phân Ngoi ra, tăng bớc tích phân ®Õn vμ giê th× ®é lín mËt ®é phổ giữ gần kết phơng pháp dự báo sửa sai, nhỏ khoảng 10% với bớc tích phân 121 Trên hình 3.8 biểu diễn kết tính biến thiên l−ỵng tỉng céng víi thêi gian thùc hiƯn theo cïng phơng pháp đà nêu Kết so sánh chứng tá vỊ møc chÝnh x¸c kh¸ cao cđa c¸c kÕt tính phơng pháp phân rà ton khoảng thêi gian (tíi 2,0 105 s 55,6 giê) với bớc tích phân Khi tăng bớc tích phân đến v quan sát thấy giảm tăng trởng lợng sóng 122 Có lẽ sai khác ny liên quan tới việc sử dụng phơng pháp tích phân Euler thô (3.40) bớc phân số thứ (3.58) Sai khác giảm đáng kể sử dụng phơng pháp tích phân xác hơn, thí dụ phơng pháp (3.41) hay nưa Èn (3.47) §Ĩ kÕt ln ta nhËn xÐt thử nghiệm đà cho thấy tính hiệu cao việc sử dụng phơng pháp phân rà để tích phân phơng trình cân lợng sóng trờng hợp vế phải có mặt hm tái phân bố phi tuyến yếu phổ sóng gió Đơng nhiên nảy sinh vấn đề bổ sung tính hm nguồn chứa phần nạp lợng v phần tiêu tán, dạng giải tích phần cho phép ta có nghiệm giải tích (3.53) Về vấn đề luận lựa chọn hm nguồn trở lại chơng sau, lu ý hm tiêu tán m ta đà chấp nhận có chứa loạt tham số tự do, lựa chọn chúng đắn lm cho mô hình thích hợp với nhiều dạng hm mô tả chế phi tuyến tiêu tán lợng sóng gió Hòa hợp tích phân hm nguồn với sơ đồ tính truyền lợng sóng Những tính toán tiến triển sóng nêu đà đợc thực cho ®iĨm kh«ng gian vμ mét tr−êng giã ®ång nhÊt Khi nảy sinh câu hỏi tự nhiên liệu có không sử dụng cách tiếp cận ny vo trờng hợp phức tạp hơn: tính sóng thủy vực cụ thể, trờng gió không đồng v không dừng Vấn đề chỗ: dùng bớc tích phân lớn theo thời gian, sóng qua khoảng cách m trờng gió đợc xem l đồng v dừng đợc Sử dụng phơng pháp nội suy tia kết hợp với phơng pháp số trị hữu hiệu để tích phân hμm ngn cho phÐp gi¶m 123 nhĐ viƯc gi¶i bμi toán v tăng đáng kể bớc tích phân số Dĩ nhiên bớc thời gian bị giới hạn điều kiện độ xác nghiệm, nh quy mô biến đổi trờng gió thời gian Nh trớc đây, bớc giải thứ nhất: cø vμo nót l−íi ®Ịu (i , j ) , dùng phơng trình (3.2)(3.4), xác định tọa độ điểm đầu (0 , ) , m chùm sóng đợc xét với i j tÇn sè k vμ h−íng trun l n»m thời điểm trớc Điểm ny không trùng với nút lới Vì phải xác định giá trị ®Çu cđa phỉ S ij ë ®iĨm (0 , 0 ) , nªn cã thĨ sư dơng néi suy ®a thøc i j (3.27) Trong tr−êng hỵp nÕu hμm nguồn G không không, mật độ phổ không giữ nguyên không đổi dọc theo quỹ đạo truyền chùm sóng Để lấy tích phân số hm nguồn dọc đờng đặc trng, dùng phơng pháp đà mô tả (phơng pháp dự báo sửa sai (3.41), phơng pháp nửa ẩn (3.47) hay phơng pháp phân rà (3.58), (3.59) điều quan trọng phải thấy rằng: thời điểm đầu bớc thêi gian, ë ®iĨm (0 , 0 ) mËt ®é phổ lợng i j 0 S ij , hm nguồn Gij v tốc độ gió U đợc xác định phép nội suy kiểu (3.27) với t t n v thời điểm cuối bớc đại lợng ny đợc lấy nút (i , j ) víi t t n 1 Nhận thấy phơng pháp giải ny dễ dng khái quát hóa cho trờng hợp giải bi toán (1.84), (1.86)(1.90) dạng phát biểu tổng quát, tức mặt cầu, có tính tới diện dòng chảy bất đồng v độ sâu thủy vực Để sử dụng vo tính toán thực tế, trớc hết nên tính mảng tọa độ v góc lan truyền hi điều ho cho nút miền lới có tính đến khúc xạ sóng dòng chảy 124 v nớc nông; quy mô biến thiên đặc trng dòng chảy v địa hình lớn nhiều so với khoảng cách nút lới Tại bớc tiếp theo, việc tính toán số với phơng trình cân lợng sóng thực nhanh, việc giải bi toán quy phép nội suy m hệ số nội suy đà đợc tính trớc 3.7 Nhận xét kết v kết luận Trong chơng ny đà xét vấn đề sơ đồ số tối u giải phơng trình cân lợng sóng Lợi dụng thực tế l: bớc thời gian, việc giải bi toán tách thnh việc: tính lan truyền lợng sóng v tính biến thiên mật độ phổ tác ®éng cđa hμm ngn tỉng céng, chóng ta ®· x©y dựng đợc thuật giải bi toán hiệu đà cố gắng sử dụng tối đa nghiệm giải tích xác kết hợp với phơng pháp nội suy v sơ đồ sai phân hữu hạn đơn giản Những thí dụ tính toán số lan truyền sóng lừng thực công trình ny đà cho thấy sơ đồ số giải phơng trình cân lợng sóng m WAM đà dùng mắc sai số đáng kể tính lan truyền lợng sóng Phơng pháp nội suy tia đợc đề xuất l phơng pháp số thay Sự khác biệt sơ đồ số mô hình WAM v phơng pháp nội suy tia l chỗ: phơng pháp thứ nhÊt dùa trªn viƯc sư dơng phÐp xÊp xØ sai phân hữu hạn phơng trình cân lợng sóng v độ ổn định phơng pháp ny bị hạn chế điều kiện CourantLevi Nó hạn chế bớc tích phân mô hình điều kiện t ( R cos / C g ); ( R / C g ) , ®ã vμ bớc không gian theo vĩ độ v kinh độ Trong mô hình WAM hạn chế ny (đặc biệt vĩ độ cao) đẫn tới phải sử dơng b−íc thêi gian t 15 20 ph Mặt khác phơng pháp nội suy tia sử dụng nghiệm giải tích xác mô tả lan truyền lợng sóng Vì tuyệt đối ổn định bớc thời gian tuỳ ý v không cần phải thoả mÃn điều kiện CourantLevi Bớc thời gian dùng phơng pháp nội suy tia nguyên tắc bị hạn chế biên vật lý bi toán Độ xác phơng pháp nội suy tia phơ thc vμo sai sè cđa phÐp néi suy xác định giá trị đầu phổ bớc thời gian Hiển nhiên, sai số ny nhỏ lới không gian mịn v bớc thời gian lớn hơn, với tổng thời gian phát triển sóng đà cho theo phơng pháp ny, ton số bớc sai số đợc tích luỹ, nhỏ Phơng pháp nội suy tia u việt không so với sơ đồ số bậc ngợc dòng đợc dùng mô hình WAM Nó đợc xem nh phơng pháp song đề tổng quát để tính sóng gió có mặt hm nguồn Kết hợp với phơng pháp tích phân số ẩn hay nửa ẩn vế phải phơng trình cân lợng sóng cho phép lập sơ đồ tối u để giải bi toán trờng hợp chung Sơ đồ ny l sơ đồ ổn định b−íc thêi gian lín, cho phÐp tÝnh ®Õn hμm ngn dới dạng đầy đủ, bao gồm tơng tác phi tuyến yếu phổ sóng gió, v tạo khả năng: số bớc lặp tối thiểu nhận đợc nghiệm xác cho thời điểm trùng với hạn synop, tức thời điểm kết xuất kết tính yếu tè sãng 125 126 ... tìm theo (3 .5 8) Phơng trình (3 .6 1) có nghiệm giải tích (3 .5 3) đại lợng B đợc thay B /(1 ) Sơ đồ với bớc phân số (3 .5 8) v (3 .5 9), phơng trình thứ hai đợc thay phơng trình vi phân (3 .6 1) với ... trị (các biểu thức (3 .32 )( 3 .3 4), (3 .3 7)) đợc biểu diễn hình 3. 3 Các kết chứng tỏ hai sơ đồ số WAM v INTERPOL có khả tái đặc điểm diễn biến hai tham số số tham số đà nêu cách tốt (xem hình 3. 3 a,... sửa sai) đợc tiến hnh thnh hai bớc tuần tự: ( S n 1)1 S n tG ( S n , U n ) ; (3 .41a) ( ( S n2 ) S n t G ( S n , U n ) G ( S n 1)1 , U n 1 ) , (3 .41b) 1 ( ®ã S n 1)1 giá