Giáo trình tổng hợp những cách giải các bài toán phức tạp bằng phương pháp lập trường số phức phần 3 doc

Chơng 1. Số Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 15 hiệu là t lim f(t) = l nếu > 0, > 0 : t I, 0 < | t - | < | f(t) - L | < Hàm f gọi là dần ra vô hạn khi t dần đến và kí hiệu là t lim f(t) = nếu M > 0, > 0 : t I, 0 < | t - | < | f(t) | > M Các trờng hợp khác định nghĩa tơng tự. Định lý Cho hàm f : I , t f(t) = u(t) + iv(t), I và L = l + ik t lim f(t) = L t lim u(t) = l và t lim v(t) = k (1.6.2) Chứng minh Lập luận tơng tự nh chứng minh công thức (1.5.2) Hệ quả 1. t lim f(t) = L t lim )t(f = L t lim | f(t) | = | L | 2. t lim [f(t) + g(t)] = t lim f(t) + t lim g(t) t lim [f(t)g(t)] = t lim f(t) t lim g(t), t lim [f(t) / g(t)] = t lim f(t) / t lim g(t) 3. Các tính chất khác tơng tự giới hạn hàm trị thực Từ các kết quả trên thấy rằng, các tính chất của hàm trị thực đợc mở rộng tự nhiên thông qua phần thực, phần ảo cho hàm trị phức. Hàm f(t) = u(t) + iv(t) gọi là khả tích (liên tục, có đạo hàm, thuộc lớp C k , ) nếu các hàm u(t) và v(t) là khả tích (liên tục, có đạo hàm, thuộc lớp C k , ) và ta có I dt)t(f = I dt)t(u + i I dt)t(v f (k) (t) = u (k) (t) + iv (k) (t) , (1.6.3) Hàm f(t) gọi là khả tích tuyệt đối nếu hàm module | f(t) | khả tích. Trên tập số phức không định nghĩa quan hệ thứ tự và do vậy các tính chất liên quan đến thứ tự của f(t) đợc chuyển qua cho module | f(t) |. Ví dụ Cho hàm trị phức f(t) = cost + isint có phần thực x(t) = cost phần ảo y(t) = sint là hàm thuộc lớp C suy ra hàm f(t) thuộc lớp C f(t) = - sint + icost, f(t) = - cost - isint, + 2/ 0 dt)tsinit(cos = 2/ 0 tdtcos + i 2/ 0 tdtsin = 1 + i ánh xạ : [, ] , t (t) (1.6.4) Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 1. Số Phức Trang 16 Giáo Trình Toán Chuyên Đề gọi là một tham số cung. Tập điểm = ([, ]) gọi là quĩ đạo của tham số cung hay còn gọi là một đờng cong phẳng. Phơng trình (t) = x(t) + iy(t), t [, ] gọi là phơng trình tham số của đờng cong phẳng . Tham số cung gọi là kín nếu điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Tức là () = () Tham số cung gọi là đơn nếu ánh xạ : (, ) là một đơn ánh. Tham số cung gọi là liên tục (trơn từng khúc, thuộc lớp C k , ) nếu hàm (t) là liên tục (có đạo hàm liên tục từng khúc, thuộc lớp C k , ) trên [, ]. Sau này chúng ta chỉ xét các tham số cung từ liên tục trở lên. ánh xạ : [, ] [ 1 , 1 ], t s = (t) (1.6.5) có đạo hàm liên tục và khác không gọi là một phép đổi tham số. Nếu với mọi t (, ) đạo hàm (t) > 0 thì phép đổi tham số gọi là bảo toàn hớng, trái lại gọi là đổi hớng. Hai tham số cung : [, ] và 1 : [ 1 , 1 ] gọi là tơng đơng nếu có phép đổi tham số : [, ] [ 1 , 1 ] sao cho t [, ], (t) = 1 o(t) Nếu bảo toàn hớng thì và 1 gọi là cùng hớng, trái lại gọi là ngợc hớng. Có thể thấy rằng qua hệ cùng hớng là một quan hệ tơng đơng theo nghĩa tổng quát. Nó phân chia tập các tham số cung có cùng quĩ đạo thành hai lớp tơng đơng. Một lớp cùng hớng với còn lớp kia ngợc hớng với . Đờng cong phẳng = ([, ]) cùng với lớp các tham số cung cùng hớng gọi là một đờng cong định hớng. Cũng cần lu ý rằng cùng một tập điểm có thể là quĩ đạo của nhiều đờng cong định hớng khác nhau. Sau này khi nói đến đờng cong chúng ta hiểu đó là đờng cong định hớng. Ví dụ Tham số cung x(t) = Rcost, y(t) = Rsint, t [0, 2] là đơn, trơn, kín và có quĩ đạo là đờng tròn tâm tại gốc toạ độ, bán kính R và định hớng ngợc chiều kim đồng hồ. Đờng cong gọi là đơn (kín, liên tục, trơn từng khúc, lớp C k , ) nếu tham số cung là đơn (kín, liên tục, trơn từng khúc, lớp C k , ). Đờng cong gọi là đo đợc nếu tham số cung có đạo hàm khả tích tuyệt đối trên [, ]. Khi đó kí hiệu s() = + dt)t(y)t(x 22 (1.6.6) và gọi là độ dài của đờng cong . Có thể chứng minh rằng đờng cong đơn, trơn từng khúc là đo đợc. Đ7. Tập con của tập số phức Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 1. Số Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 17 Cho a và > 0. Hình tròn B(a, ) = {z : | z - a | < } gọi là - lân cận của điểm a. Cho tập D , điểm a gọi là điểm trong của tập D nếu > 0 sao cho B(a, ) D. Điểm b gọi là điểm biên của tập D nếu > 0, B(b, ) D và B(b, ) ( - D) . Kí hiệu D 0 là tập hợp các điểm trong, D là tập hợp các điểm biên và D = D D là bao đóng của tập D. Rõ ràng ta có D 0 D D (1.7.1) Tập D gọi là tập mở nếu D = D 0 , tập D gọi là tập đóng nếu D = D . Tập A D gọi là mở (đóng) trong tập D nếu tập A D là tập mở (đóng). Ví dụ Hình tròn mở B(a, ) = { z : | z - a | < } là tập mở. Hình tròn đóng B (a, ) = { z : | z - a | } là tập đóng Tập D = { z = x + iy : x > 0, y 0 } là tập không đóng và cũng không mở. Định lý Tập mở, tập đóng có các tính chất sau đây. 1. Tập và là tập mở 2. Tập D là tập mở khi và chỉ khi a D, B(a, ) D 3. Nếu các tập D và E là tập mở thì các tập D E và D E cũng là tập mở 4. Tập D là tập mở khi và chỉ khi tập - D là tập đóng 5. Tập D là tập đóng khi và chỉ khi (z n ) n D và +n lim z n = a thì a D Chứng minh 1. - 3. Suy ra từ định nghĩa tập mở 4. Theo định nghĩa điểm biên D = ( - D) Theo định nghĩa tập mở, tập đóng tập D mở D D D - D tập - D đóng 5. Giả sử tập D là tập đóng và dy số phức z n hội tụ trong D đến điểm a. Khi đó > 0, z n B(a, ) B(a, ) D a D = D Ngợc lại, với mọi a D theo định nghĩa điểm biên = 1/n, z n B(a, ) D z n a Theo giả thiết a D suy ra D D. Tập D gọi là giới nội nếu R > 0 sao cho D B(O, R). Tập đóng và giới nội gọi là tập compact . Cho các tập D, E , kí hiệu d(D, E) = Inf{ | a - b | : (a, b) D ì E } (1.7.2) gọi là khoảng cách giữa hai tập D và E. Định lý Cho các tập D, E 1. Tập D là tập compact khi và chỉ khi (z n ) n D, dy con z (n) a D a b D Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 1. Số Phức Trang 18 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 2. Nếu tập D là tập compact và tập E D là đóng trong D thì tập E là tập compact 3. Nếu các tập D, E là tập compact và D E = thì d(D, E) > 0 4. Nếu tập D là tập compact và n , D n D đóng, D n+1 D n thì + =0n n D = a D Chứng minh 1. Giả sử tập D là tập compact. Do tập D bị chặn nên dy (z n ) n là dy có module bị chặn. Suy ra dy số thực (x n ) n và (y n ) n là dy bị chặn. Theo tính chất của dy số thực x (n) và y (n) suy ra z (n) a = + i. Do tập D là tập đóng nên a D. Ngợc lại, do mọi dy z n a D nên tập D là tập đóng. Nếu D không bị chặn thì có dy z n không có dy con hội tụ. Vì vậy tập D là tập đóng và bị chặn. 2. - 4. Bạn đọc tự chứng minh Cho a, b , tập [a, b] = {(1 - t)a + tb : t [0, 1]} là đoạn thẳng nối hai điểm a và b. Hợp của các đoạn thẳng [a 0 , a 1 ], [a 1 , a 2 ], , [a n-1 , a n ] gọi là đờng gấp khúc qua n +1 đỉnh và kí hiệu là < a 0 , a 1 , , a n >. Tập D gọi là tập lồi nếu (a, b) D 2 , [a, b] D. Tập D gọi là tập liên thông đờng nếu (a, b) D 2 , có đờng cong nối điểm a với điểm b và nằm gọn trong tập D. Tất nhiên tập lồi là tập liên thông đờng nhng ngợc lại không đúng. Tập D gọi là tập liên thông nếu phân tích D = A B với A B = và các tập A, B vừa mở và vừa đóng trong D thì hoặc A = D hoặc B = D. Tập D mở (hoặc đóng) và liên thông gọi là một miền. Định lý Trong tập số phức các tính chất sau đây là tơng đơng. 1. Tập D là liên thông 2. (a, b) D 2 , có đờng gấp khúc < a 0 = a, a 1 , , a n = b > D 3. Tập D là liên thông đờng Chứng minh 1. 2. a D, đặt A = {z D : đờng gấp khúc <a, , z > D}. Tập A vừa là tập mở vừa là tập đóng trong tập D và A nên A = D 2. 3. Theo định nghĩa liên thông đờng 3. 1. Giả sử ngợc lại tập D không liên thông. Khi đó D = A B với A B = và các tập A, B vừa mở vừa đóng trong D. Chọn (a, b) A ì B, theo giả thiết có đờng cong (a, b) nằm gọn trong D. Chia đôi đờng cong (a, b) bằng điểm c. Nếu c A xét đờng cong (a 1 = c, b 1 = b), còn nếu c B xét đờng cong (a 1 = a, b 1 = c). Tiếp tục chia đôi đờng cong chúng ta nhận đợc dy thắt lại a n , b n c A B. Trái với giả thiết A B = . Cho tập D bất kì. Hai điểm a, b D gọi là liên thông, kí hiệu là a ~ b nếu có đờng cong nối a với b và nằm gọn trong D. Có thể chứng minh rằng quan hệ liên thông Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 1. Số Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 19 là một quan hệ tơng đơng theo nghĩa tổng quát. Do đó nó chia tập D thành hợp các lớp tơng đơng không rỗng và rời nhau. Mỗi lớp tơng đơng [a] = { b D : b ~ a } (1.7.3) gọi là một thành phần liên thông chứa điểm a. Tập D là tập liên thông khi và chỉ khi nó có đúng một thành phần liên thông. Miền D gọi là đơn liên nếu biên D gồm một thành phần liên thông, trờng hợp trái lại gọi là miền đa liên. Biên D gọi là định hớng dơng nếu khi đi theo hớng đó thì miền D nằm phía bên trái. Sau nay chúng ta chỉ xét miền đơn hoặc đa liên có biên gồm hữu hạn đờng cong đơn, trơn từng khúc và định hớng dơng. Nh vậy nếu miền D là miền đơn liên thì hoặc là D = hoặc là D + là đờng cong kín định hớng ngợc chiều kim đồng hồ. Trong giáo trình này chúng ta thờng xét một số miền đơn liên và đa liên có biên định hớng dơng nh sau. Bài tập chơng 1 | z | < R 0 < arg z < Re z > 0 a < Re z < b a < Im z < b | z | > R D Im z > 0 r < | z | < R - [ - 1, 1] Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C h a n g e V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m . V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 1. Số Phức Trang 16 Giáo Trình Toán Chuyên Đề gọi là một tham số cung. Tập điểm = ([, ]) gọi là quĩ đạo của tham số cung hay còn gọi là một đờng cong phẳng. Phơng trình (t) =. V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 1. Số Phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 19 là một quan hệ tơng đơng theo nghĩa tổng quát. Do đó nó chia tập D thành hợp các lớp tơng đơng không rỗng và rời. V i e w e r w w w . d o c u - t r a c k . c o m Chơng 1. Số Phức Trang 18 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 2. Nếu tập D là tập compact và tập E D là đóng trong D thì tập E là tập compact 3. Nếu các tập D, E là tập compact và